We develop novel numerical methods for optimization problems subject to constraints given by nonlinear hyperbolic systems of conservation and balance laws in one space dimension. These types of control problems arise in a variety of applications, in which inverse problems for the corresponding initial value problems are to be solved. The optimization method can be seen as a block Gauss-Seidel iteration. The optimization requires one to numerically solve the hyperbolic system forward in time and the corresponding linear adjoint system backward in time. We test the optimization method on a number of control problems constrained by nonlinear hyperbolic systems of PDEs with both smooth and discontinuous prescribed terminal states. The theoretical foundation of the introduced scheme is provided in the case of scalar hyperbolic conservation laws on an unbounded domain with a strictly convex flux. In addition, we empirically demonstrate that using a higher-order temporal discretization helps to substantially improve both the efficiency and accuracy of the overall numerical method. / acase@tulane.edu

Cette thèse porte sur la dynamique de fronts de réaction-diffusion en présence de défauts localisés. Nous étudions des non-linéarités bistable et monostable pour lesquelles il existe des solutions exactes en milieu homogène. L'équation aux dérivées partielles est résolue numériquement et la solution est approchée en utilisant des solutions exactes. Parallèlement, nous développons une analyse en coordonnées collectives, position et largeur du front, basée sur des lois d'équilibre. Pour les deux non-linéarités, l'analyse approchée est en bon accord avec la solution numérique. Il est de plus possible de prédire l'arrêt du front dans le cas bistable. L'étude révèle des différences qualitatives entre les deux types de non linéarités. Elle montre l'importance des dimensions caractéristiques du défaut et du front. Enfin, elle fournit un modèle standardisé qui peut servir en théorie du contrôle ou pour la détermination de paramètres à partir de séries temporelles. / We study reaction-diffusion fronts in presence of a localized defect. We consider bistable and monostable nonlinearities for which exact solutions exist in the homogeneous case. The partial differential equation is solved numerically and the solution is fitted using these exact solutions. We also develop a collective coordinate analysis for the position and width of a front, based on balance laws. For both non linearities, the approximate analysis agrees well with the numerical solution. We cab predict the pinning of the front in the bistable case. The sudy reveals qualitative differences between the two nonlinearities. It shows the importance of the characteristic lenghts of the defect and the front. Finally it provides a reduced model, useful for control theory or for the determination of parameters from time-series.

Les dynamiques des systèmes modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDPs) en dimension infinie sont largement liées aux réseaux physiques. La synthèse de la commande et l'analyse de la stabilité de ces systèmes sont étudiées dans cette thèse. Les systèmes singulièrement perturbés, contenant des échelles de temps multiples sont naturels dans les systèmes physiques avec des petits paramètres parasitaires, généralement de petites constantes de temps, les masses, les inductances, les moments d'inertie. La théorie des perturbations singulières a été introduite pour le contrôle à la fin des années $1960$, son assimilation dans la théorie du contrôle s'est rapidement développée et est devenue un outil majeur pour l'analyse et la synthèse de la commande des systèmes. Les perturbations singulières sont une façon de négliger la transition rapide, en la considérant dans une échelle de temps rapide séparée. Ce travail de thèse se concentre sur les systèmes hyperboliques linéaires avec des échelles de temps multiples modélisées par un petit paramètre de perturbation. Tout d'abord, nous étudions une classe de systèmes hyperboliques linéaires singulièrement perturbés. Comme le système contient deux échelles de temps, en mettant le paramètre de la perturbation à zéro, deux sous-systèmes, le système réduit et la couche limite, sont formellement calculés. La stabilité du système complet de lois de conservation implique la stabilité des deux sous-systèmes. En revanche un contre-exemple est utilisé pour illustrer que la stabilité des deux sous-systèmes ne suffit pas à garantir la stabilité du système complet. Cela montre une grande différence avec ce qui est bien connu pour les systèmes linéaires en dimension finie modélisés par des équations aux dérivées ordinaires (EDO). De plus, sous certaines conditions, l'approximation de Tikhonov est obtenue pour tels systèmes par la méthode de Lyapunov. Plus précisément, la solution de la dynamique lente du système complet est approchée par la solution du système réduit lorsque le paramètre de la perturbation est suffisamment petit. Deuxièmement, le théorème de Tikhonov est établi pour les systèmes hyperboliques linéaires singulièrement perturbés de lois d'équilibre où les vitesses de transport et les termes sources sont à la fois dépendant du paramètre de la perturbation ainsi que les conditions aux bords. Sous des hypothèses sur la continuité de ces termes et sous la condition de la stabilité, l'estimation de l'erreur entre la dynamique lente du système complet et le système réduit est obtenue en fonction de l'ordre du paramètre de la perturbation. Troisièmement, nous considérons des systèmes EDO-EDP couplés singulièrement perturbés. La stabilité des deux sous-systèmes implique la stabilité du système complet où le paramètre de la perturbation est introduit dans la dynamique de l'EDP. D'autre part, cela n'est pas valable pour le système où le paramètre de la perturbation est présent dans l'EDO. Le théorème Tikhonov pour ces systèmes EDO-EDP couplés est prouvé par la technique de Lyapunov. Enfin, la synthèse de la commande aux bords est abordée en exploitant la méthode des perturbations singulières. Le système réduit converge en temps fini. La synthèse du contrôle aux bords est mise en œuvre pour deux applications différentes afin d'illustrer les résultats principaux de ce travail. / Systems modeled by partial differential equations (PDEs) with infinite dimensional dynamics are relevant for a wide range of physical networks. The control and stability analysis of such systems become a challenge area. Singularly perturbed systems, containing multiple time scales, often occur naturally in physical systems due to the presence of small parasitic parameters, typically small time constants, masses, inductances, moments of inertia. Singular perturbation was introduced in control engineering in late $1960$s, its assimilation in control theory has rapidly developed and has become a tool for analysis and design of control systems. Singular perturbation is a way of neglecting the fast transition and considering them in a separate fast time scale. The present thesis is concerned with a class of linear hyperbolic systems with multiple time scales modeled by a small perturbation parameter. Firstly we study a class of singularly perturbed linear hyperbolic systems of conservation laws. Since the system contains two time scales, by setting the perturbation parameter to zero, the two subsystems, namely the reduced subsystem and the boundary-layer subsystem, are formally computed. The stability of the full system implies the stability of both subsystems. However a counterexample is used to illustrate that the stability of the two subsystems is not enough to guarantee the full system's stability. This shows a major difference with what is well known for linear finite dimensional systems. Moreover, under certain conditions, the Tikhonov approximation for such system is achieved by Lyapunov method. Precisely, the solution of the slow dynamics of the full system is approximated by the solution of the reduced subsystem for sufficiently small perturbation parameter. Secondly the Tikhonov theorem is established for singularly perturbed linear hyperbolic systems of balance laws where the transport velocities and source terms are both dependent on the perturbation parameter as well as the boundary conditions. Under the assumptions on the continuity for such terms and under the stability condition, the estimate of the error between the slow dynamics of the full system and the reduced subsystem is the order of the perturbation parameter. Thirdly, we consider singularly perturbed coupled ordinary differential equation ODE-PDE systems. The stability of both subsystems implies that of the full system where the perturbation parameter is introduced into the dynamics of the PDE system. On the other hand, this is not true for system where the perturbation parameter is presented to the ODE. The Tikhonov theorem for such coupled ODE-PDE systems is proved by Lyapunov technique. Finally, the boundary control synthesis is achieved based on singular perturbation method. The reduced subsystem is convergent in finite time. Boundary control design to different applications are used to illustrate the main results of this work.

Interface balance laws are derived to describe transport across a phase interface. This is used to derive generalized conditions for phase nucleation and growth, valid even for solids with inhomogeneous surface stress.<div><br></div><div>An explicit interface tracking approach called Enriched Isogeometric Analysis (EIGA) is used to simulate phase evolution. Algebraic level sets are used as a measure of distance and for point projection, both necessary operations in EIGA. Algebraic level sets are observed to often fail for surfaces. Rectification measures are developed to make algebraic level sets more robust and applicable for general surfaces. The proposed methods are demonstrated on electromigration problems. The simulations are validated by modeling electromigration experiments conducted on Cu-TiN line structures.</div><div><br></div><div>To model topological changes, common in phase evolution problems, Boolean operations are performed on the algebraic level sets using R-functions. This is demonstrated on electromigration simulations on solids with multiple voids, and on a bubble coalescence problem. </div>