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This thesis studies uniform finite time stabilisation of uncertain variable structure and non-smooth systems with resets. Control of unilaterally constrained systems is a challenging area that requires an understanding of the underlying mechanics that give rise to reset or jumps while synthesizing stabilizing controllers. Discontinuous systems with resets are studied in various disciplines. Resets in states are hard nonlinearities. This thesis bridges non-smooth Lyapunov analysis, the quasi-homogeneity of differential inclusions and uniform finite time stability for a class of impact mechanical systems. Robust control synthesis based on second order sliding mode is undertaken in the presence of both impacts with finite accumulation time and persisting disturbances. Unlike existing work described in the literature, the Lyapunov analysis does not depend on the jumps in the state while also establishing proofs of uniform finite time stability. Orbital stabilization of fully actuated mechanical systems is established in the case of persisting impacts with an a priori guarantee of finite time convergence between t he periodic impacts. The distinguishing features of second order sliding mode controllers are their simplicity and robustness. Increasing research interest in the area has been complemented by recent advances in Lyapullov based frameworks which highlight the finite time Convergence property. This thesis computes the upper bound on the finite settling time of a second order sliding mode controller. Different to the latest advances in the area, a key contribution of this thesis is the theoretical proof of the fact that finite settling time of a second order sliding mode controller tends to zero when gains tend to infinity. This insight of the limiting behaviour forms the basis for solving the converse problem of finding an explicit a priori tuning formula for the gain parameters of the controller when and arbitrary finite settling time is given. These results play a central role ill the analysis of impact mechanical systems. Another key contribution of the thesis is that it extends the above results on variable structure systems with and without resets to non-smooth systems arising from continuous finite time controllers while proving uniform finite time stability. Finally, two applications are presented. The first application applies the above theoretical developments to the problem of orbital stabilization of a fully actuated seven link biped robot which is a nonlinear system with periodic impacts. The tuning of the controller gains leads to finite time convergence of the tracking errors between impacts while being robust to disturbances. The second application reports the outcome of an experiment with a continuous finite time controller.

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Σε αυτή τη διπλωματική εργασία παρουσιάζονται μερικές μέθοδοι ομαλών διαταραχών και η εφαρμογή τους στις "διάσημες" μη γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Duffing, Castor και van der Pol.Οι μέθοδοι διαταραχών μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρούμε προσεγγιστικές λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις οι οποίες είναι μη γραμμικές και μια ακριβή λύση δεν μπορεί να βρεθεί. Η μέθοδος της θεωρίας διαταραχών γίνεται με σεβασμό ως προς μια μικρή παράμετρο ε, 0<ε<<1. Οι προσεγγιστικές αυτές μέθοδοι προυποθέτουν ότι γνωρίζουμε πλήρως τη λύση του προβλήματος για την τιμή ε=0 μιας παραμέτρου και επιχειρούμε να εκφράσουμε τη γενική λύση, για 0<ε<<1, υπό μορφή σειράς όρων του ε,ε^2,...κ.τ.λ. / In this thesis we present some regular perturbation methods and their applications to the famous non-linear ordinary differential equations of Duffing, Castor and van der Pol. The method of perturbations can be used to develop approximate solutions to differential equations, which have nonlinearities or variable coefficients so that an exact solution cannot be constructed. The method of perturbation expansion is carried out with respect to a small parameter ε,0<ε<<1. These approximate methods require that we know the solution of the problem for ε=0 and try to expess the general solution, for 0<ε<<1, as a series of terms ε,ε^2,...e.t.c.

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Dans cette thèse de doctorat, nous apportons quelques contributions à la stabilité de Lyapunov non-régulière des inclusions différentielles de premier ordre avec opérateurs monotones maximaux, dans un cadre Hilbertien de dimension infini. Nous fournissons des caractérisations explicites, primales et/ou duales, des paires de Lyapunov faibles et fortes, dont les fonctions sont semi-continues inférieurement à valeurs réelles étendues, et associées à des inclusions différentielles dont la partie de droite est gouvernée par des perturbations Lipschitziennes des opérateurs dits Cusco F, ou des opérateurs monotones maximaux A, ou les deux à la fois x(t) ∈ F(x(t}} A(x(t}} t ≥ 0, x(0) ∈ domA. De manière équivalente, nous étudions l'invariance faible et forte des ensembles fermés pour ces inclusions différentielles. Comme dans L'approche classique de Lyapunov à la stabilité des équations différentielles, les résultats présentés dans cette thèse n'utilisent que les données du système différentiel; c'est-à-dire, l'opérateur A et la multifonction F, et donc pas besoin de connaître les solutions, ni les semi-groupes générés par les opérateurs monotones en question. Parce que les paires de Lyapunov sont formées par des fonctions qui sont simplement semi-continues inférieurement, et les ensembles invariants ne sont que ensembles fermés, nous faisons usage dans cette thèse à des outils de l'analyse non-lisse, afin de fournir des critères du premier ordre, utilisant des sous-différentiels généraux et des cônes normaux. Nous fournissons une analyse similaire pour les inclusions différentielles gouvernées par le cône normal proximal à des ensembles prox-réguliers. Notre analyse ci-dessus, nous a permis de présenter ces systèmes prox-réguliers d’apparence plus générale, comme des inclusions différentielles avec opérateurs monotones maximaux. Nous utilisons aussi nos résultats pour étudier la géométrie des opérateurs monotones maximaux, et plus précisément, la caractérisation de la frontière des valeurs de ces opérateurs seulement au moyen des valeurs situées à proximité, distinctes du point de référence. Ce résultat a des applications dans la stabilité des problèmes de la programmation semi-infinie. Nous utilisons également nos résultats sur les paires de Lyapunov et les ensembles invariants pour établir une étude systématique des observateurs de type Luenberger pour des inclusions différentielles avec des cônes normaux à des ensembles prox-réguliers. / In this PhD thesis, we make some contributions to nonsmooth Lyapunov stability of first-order differential inclusions with maximal monotone operators, in the setting of infinite-dimensional Hilbert spaces. We provide primal and dual explicit characterizations for parameterized weak and strong Lyapunov pairs of lower semicontinuous extended-real-valued functions, referred to as a-Lyapunov pairs, associated to differential inclusions with right-hand-sides governed by Lipschitz or Cusco perturbationsF of maximal monotone operators A, x(t) ∈ F(x(t}} A(x(t}} t ≥ 0, x(0) ∈ domA. Equivalently, we study the weak and strong invariance of sets with respect to such differential inclusions. As in the classical Lyapunov approach to the stability of differential equations, the presented results make use of only the data of the differential system; that is, the operator A and the multifunction F, and so no need to know about the solutions, nor the semi-groups generated by the monotone operators. Because our Lyapunov pairs and invariant sets candidates are just lower semicontinuous and closed, respectively, we make use of nonsmooth analysis to provide first-order-like criteria using general subdifferentials and normal cones. We provide similar analysis to non-convex differential inclusions governed by proximal normal cones to prox-regular sets. Our analysis above allowed to prove that such apparently more general systems can be easily coined into our convex setting. We also use our results to study the geometry of maximal monotone operators, and specifically, the characterization of the boundary of the values of such operators by means only of the values at nearby points, which are distinct of the reference point. This result has its application in the stability of semi-infinite programming problems. We also use our results on Lyapunov pairs and invariant sets to provide a systematic study of Luenberger-like observers design for differential inclusions with normal cones to prox-regular sets.