No description available.

No description available.

A solution of a differential system can be interpreted as a maximal submanifold determined by the Cartan distribution on jet bundle. By using an exact couple, we obtain the spectral sequence associated with the bigraded structure or equivalently the differential variational bicomplex on the jet bundle, that tremendously simplifies Vinogradov's approach. The spectral sequence consists of leaves of cohomology groups, which are closely related to conservation laws. Similarly to the jet bundle structure, we construct a space for difference systems, the prolongation bundle, on which the difference variational bicomplex is built accordingly. It allows us to describe discrete mechanics globally and is applied to find conservation laws for (difference) multisymplectic systems. The exact couple methodology is applied to the corresponding (difference) bigraded structure and shows a coherence between the differential and difference cases . When the difference system contributes to an empty constraint, we prove the exactness of an amended (difference) bicomplex. This thesis also focuses on the applications of the moving frame method to Noether's theorems. we generalize group actions on smooth manifolds to the prolongation bundle, which helps us to establish a discrete counterpart of a moving frame. This is used to illustrate a discrete version of Noether's first theorem by taking a relevant variational symmetry group action and its Adjoint action into consideration. We also consider Noether's second theorem dealing with invariant variational problems whose s:ymmetry characteristics are determined by some smooth functions. The Adjoint action is used to achieve the differential relationships among the invariant Euler-Lagrange equations. When symmetry characteristics depend on constrained smooth functions, conservation laws with respect to the related Euler-Lagrange equations can be constructed. The method is illustrated by some physical examples possessing (local) SU(n) gauge symmetries.

This thesis consists of four parts. In the first part, we prove the following conjecture [HL091. Conjecture: Let (C2d-2, 0) - (C2d-1, 0) be the minimal cross cap of multiplicity d >2 and V be its image. In the second part, we develop computational method suitable for perform ing the classification theory. A computer package called CAST is developed. This is written in the Singular program and performs calculations such as complete transversals, finite determinacy and triviality. We discuss the pack- age in detail and give examples of calculations performed in this thesis. We consider the case where V is the image of the minimal crosscap cif multiplicity d > 2. In the final part, we give an application to classification problems. We classify corank 1 Ae-codimension 2 map-germs

Αποδεικνύουμε την ύπαρξη καθολικών σειρών taylor στην περίπτωση συγκεκριμένου μη απλά συνεκτικού τόπου, καθώς και την ύπαρξη ενός πυκνού διανυσματικού υποχώρου. / We prove the existence of universal taylor series in the case of a specific non simply connected domain. We also prove the existence of a dense vector subspace.

Η ανάλυση πολυμεταβλητών δεδομένων καθίσταται ιδιαίτερα δύσκολη όταν το πλήθος των μεταβλητών, p (διάσταση των δεδομένων), είναι μεγάλο. Επίσης δυσκολία υπάρχει στην ανάλυση, όταν οι μεταβλητές είναι υψηλά συσχετισμένες μεταξύ τους. Η ανάλυση κύριων συνιστωσών είναι πολυμεταβλητή στατιστική τεχνική που ασχολείται με την δομή διασπορών – συνδιασπορών, μέσω μερικών γραμμικών συνδυασμών των αρχικών μεταβλητών. Γενικότερα τα αντικείμενα της είναι (1) η μείωση των δεδομένων και (2) η ανάλυση (ερμηνεία) τους. Παρόλο που απαιτούνται p μεταβλητές για να ερμηνευτεί η συνολική μεταβλητότητα του συστήματος, συχνά, η περισσότερη από αυτή τη μεταβλητότητα μπορεί να ερμηνευτεί από ένα μικρό αριθμό k κύριων συνιστωσών. Αν πράγματι συμβεί αυτό, τότε, υπάρχει (σχεδόν) τόση πληροφορία στις k συνιστώσες, όση υπάρχει στις p αρχικές μεταβλητές. Οι k κύριες συνιστώσες μπορούν τότε να αντικαταστήσουν τις αρχικές p μεταβλητές, και το αρχικό σύνολο δεδομένων που αποτελείται από n μετρήσεις των p μεταβλητών, μειώνεται σε ένα σύνολο δεδομένων που αποτελείται από n μετρήσεις των k μεταβλητών. Οι k κύριες συνιστώσες είναι γραμμικός συνδυασμός των p αρχικών μεταβλητών, και μάλιστα είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους. Έτσι, οδηγούμαστε από ένα σύνολο p συσχετισμένων μεταβλητών, σ’ ένα μικρότερο σύνολο k ασυσχέτιστων μεταβλητών. Η μείωση αυτή των δεδομένων είναι πολύ σημαντικό γεγονός, διότι αντί να αναλύουμε δεδομένα στο R p , αναλύουμε δεδομένα στο R k . Σε ορισμένες περιπτώσεις το k, η νέα διάσταση, είναι 2 ή 3 και τότε έχουμε μια οπτική ιδέα, μια εικόνα των δεδομένων. Κλείνοντας την εισαγωγή, θα πρέπει να αναφέρουμε ότι η τεχνική κύριων συνιστωσών δεν επιτυγχάνει πάντοτε την μείωση της διάστασης, π.χ., αυτό συμβαίνει όταν οι αρχικές μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες. Τότε θα πρέπει να αναζητηθούν άλλες μέθοδοι μείωσης της διάστασης. / -

Μελετάμε την έννοια του άπειρου γινομένου μιγαδικών αριθμών και τη συσχέτισή τους με τις άπειρες σειρές. Στη συνέχεια μελετάμε το θεώρημα παραγοντοποίησης του Weierstrass καθώς και το Θεώρημα Mittag-Leffler. / We study the concept of the infinite products and their relationship with the infinite series. We also study Weierstrass' Approximation Theorem and also Mittag-Leffler's Theorem.

On dit qu'une variété est feuilletée lorsqu'il existe une partition de celle-ci en sous-variétés immergées. La théorie des feuilletages a des applications très profondes dans divers champs des Mathématiques et de la Physique, et il semble d'autant plus intéressant de pouvoir analyser le feuilletage à partir de ce qui semble être une donnée plus fondamentale : sa distribution de champs de vecteurs associée. C'est ainsi que nous avons observé que si le feuilletage est résolu par un fibré gradué, on peut relever le crochet de Lie des champs de vecteurs en une structure de Lie infini-algébroide sur ce fibré. D'autre part, cette structure est universelle dans le sens où toute autre résolution du feuilletage sera isomorphe à celle-ci dans un sens L_infini, mais seulement à homotopie près. Lorsqu'on se limite à l'étude au dessus d'un point, on observe que la cohomologie associée à la résolution devient potentiellement non triviale. La structure de Lie infini-algébroide universelle se réduit alors à une algèbre de Lie graduée sur cette cohomologie. Cette structure algébrique peut être transportée (non canoniquement) tout le long de la feuille, transformant la cohomologie au dessus d'une feuille en algébroide de Lie gradué. Cela nous permet de retrouver des résultats déjà connus par ailleurs et de déduire des avancées prometteuses / A smooth manifold is said to be foliated when it is partitioned into immersed submanifolds. Foliation Theory has profound applications in various fields of Mathematics and Physics, and it seems much more interesting to analyze the foliation from what seems to be a more fundamental point of view: its associated distribution of vector fields. Thus we have noticed that if the foliation is resolved by a graded fiber bundle, one can lift the Lie bracket of vector fields into a Lie infinity-algebroid structure on this fiber bundle. Moreover, this structure is universal in the sense that any other resolution of the foliation is isomorphic to it in the L_infinity setup, but only up to homotopy. When one restricts the analysis over a point, we observe that the cohomology associated to the resolution may become non trivial. The universal Lie infinity-algebroid structure hence reduces to a graded Lie algebra structure on this cohomology. This algebraic structure can be carried (non canonically) along the leaf, providing the cohomology over a leaf with a graded Lie algebroid structure. This enables us to retrieve former well-known results, as well as promising advances