Dresden, Techn. Univ., Diss., 1998.

Die exakte Bestimmung der Dimension invarianter Mengen dynamischer Systeme ist nur in Ausnahmesituationen möglich. In der vorliegenden Arbeit wird untersucht, wie unter Ausnutzung von speziellen Eigenschaften des dynamischen Systems die Hausdorff-Dimension zugehöriger invarianter Mengen nach oben und unten abgeschätzt werden kann. Es wird gezeigt, wie der Grad der Nichtinjektivität der Abbildung, die das dynamische System erzeugt, in die Beschreibung des Deformationsverhaltens von k-Volumina einbezogen werden kann, so daß eine Abschwächung der Kontraktionsbedingung für Hausdorff-Maße erreicht werden kann. Dazu werden äußere Hausdorff-Integrale über beliebige nichtnegative Funktionen betrachtet, die im Falle der Integration über charakteristische Funktionen den gewichteten Hausdorff-Maßen entsprechen. Schrankensätze, die sich als verallgemeinerte Transformationssätze für Integrale ergeben, charakterisieren das Verhalten der äußeren Integrale bei Transformationen. Diese Schrankensätze eignen sich, um Kontraktionsbedingungen für die äußeren Hausdorff-Maße und damit Oberschranken für die Hausdorff-Dimension zu formulieren. Ein weiterer Teil der Arbeit ist der Abschwächung des Konzepts der hyperbolischen Mengen gewidmet. Es werden Mengen mit einer äquivarianten Zerlegung des Tangentialbündels betrachtet, d. h. mit einer Zerlegung, die unter der Tangentialabbildung invariant bleibt. Solch eine Zerlegung ermöglicht die Betrachtung der auf die jeweiligen Teilbündel eingeschränkten Tangentialabbildung, entweder in der ursprünglichen Zeitrichtung oder in umgekehrter Zeitrichtung. Im Gegensatz zu hyperbolischen Mengen werden hier aber keine Voraussetzungen bezüglich der Streckungs- und Stauchungseigenschaften der Tangentialabbildung in den Teilräumen gestellt. Unter diesen abgeschwächten Bedingungen können für invariante Mengen von Diffeomorphismen und Flüssen ähnliche obere Dimensionsschranken wie für hyperbolische Mengen erreicht werden, die sowohl in der Sprache der Singulärwerte als auch der globalen Lyapunov-Exponenten der Tangentialabbildung und der topologischen Entropie der Abbildung formuliert werden können. Es wird außerdem gezeigt, daß sich die für Systeme mit einer äquivarianten Zerlegung des Tangentialbündels angewandte Beweistechnik auch auf eine spezielle Klasse nicht injektiver Abbildungen, die sogenannten k-1-Endomorphismen, anwenden läßt. Untere Dimensionsschranken für invariante Mengen dynamischer Systeme lassen sich in der Regel nur durch das Ausnutzen von Zusatzstrukturen des Systems ableiten. Die Klasse der k-1-Endomorphismen weist solche speziellen Strukturen auf. Die Eigenschaften der invarianten Mengen solcher Endomorphismen ermöglichen die Konstruktion von Minoranten für die Hausdorff-Maße ohne Verwendung potentialtheoretischer Hilfsmittel, aus denen sich eine untere Schranke für die Hausdorff-Dimension ableiten läßt. Eine breite Palette von Beispielsystemen demonstriert die Leistungsfähigkeit der hergeleiteten Abschätzungen der Hausdorff-Dimension. Insbesondere zählen hierzu Hufeisenabbildungen, iterierte Funktionensysteme und Julia-Mengen quadratischer Polynome in der komplexen Ebene.

Die exakte Bestimmung der Dimension invarianter Mengen dynamischer Systeme ist nur in Ausnahmesituationen möglich. In der vorliegenden Arbeit wird untersucht, wie unter Ausnutzung von speziellen Eigenschaften des dynamischen Systems die Hausdorff-Dimension zugehöriger invarianter Mengen nach oben und unten abgeschätzt werden kann. Es wird gezeigt, wie der Grad der Nichtinjektivität der Abbildung, die das dynamische System erzeugt, in die Beschreibung des Deformationsverhaltens von k-Volumina einbezogen werden kann, so daß eine Abschwächung der Kontraktionsbedingung für Hausdorff-Maße erreicht werden kann. Dazu werden äußere Hausdorff-Integrale über beliebige nichtnegative Funktionen betrachtet, die im Falle der Integration über charakteristische Funktionen den gewichteten Hausdorff-Maßen entsprechen. Schrankensätze, die sich als verallgemeinerte Transformationssätze für Integrale ergeben, charakterisieren das Verhalten der äußeren Integrale bei Transformationen. Diese Schrankensätze eignen sich, um Kontraktionsbedingungen für die äußeren Hausdorff-Maße und damit Oberschranken für die Hausdorff-Dimension zu formulieren. Ein weiterer Teil der Arbeit ist der Abschwächung des Konzepts der hyperbolischen Mengen gewidmet. Es werden Mengen mit einer äquivarianten Zerlegung des Tangentialbündels betrachtet, d. h. mit einer Zerlegung, die unter der Tangentialabbildung invariant bleibt. Solch eine Zerlegung ermöglicht die Betrachtung der auf die jeweiligen Teilbündel eingeschränkten Tangentialabbildung, entweder in der ursprünglichen Zeitrichtung oder in umgekehrter Zeitrichtung. Im Gegensatz zu hyperbolischen Mengen werden hier aber keine Voraussetzungen bezüglich der Streckungs- und Stauchungseigenschaften der Tangentialabbildung in den Teilräumen gestellt. Unter diesen abgeschwächten Bedingungen können für invariante Mengen von Diffeomorphismen und Flüssen ähnliche obere Dimensionsschranken wie für hyperbolische Mengen erreicht werden, die sowohl in der Sprache der Singulärwerte als auch der globalen Lyapunov-Exponenten der Tangentialabbildung und der topologischen Entropie der Abbildung formuliert werden können. Es wird außerdem gezeigt, daß sich die für Systeme mit einer äquivarianten Zerlegung des Tangentialbündels angewandte Beweistechnik auch auf eine spezielle Klasse nicht injektiver Abbildungen, die sogenannten k-1-Endomorphismen, anwenden läßt. Untere Dimensionsschranken für invariante Mengen dynamischer Systeme lassen sich in der Regel nur durch das Ausnutzen von Zusatzstrukturen des Systems ableiten. Die Klasse der k-1-Endomorphismen weist solche speziellen Strukturen auf. Die Eigenschaften der invarianten Mengen solcher Endomorphismen ermöglichen die Konstruktion von Minoranten für die Hausdorff-Maße ohne Verwendung potentialtheoretischer Hilfsmittel, aus denen sich eine untere Schranke für die Hausdorff-Dimension ableiten läßt. Eine breite Palette von Beispielsystemen demonstriert die Leistungsfähigkeit der hergeleiteten Abschätzungen der Hausdorff-Dimension. Insbesondere zählen hierzu Hufeisenabbildungen, iterierte Funktionensysteme und Julia-Mengen quadratischer Polynome in der komplexen Ebene.