An adaptive mesh refinement algorithm for shallow water equations is presented. The algorithm uses upwind scheme that is Godunov type and which approximately solves the Riemann problem using Roe's technique. A highly accurate solution is achieved by using the adaptive mesh refinement technique of Berger and Oliger for mesh refinement algorithm. The numerical method is second-order accurate and approximately max-min preserving by using van Leer limited-slope technique. One-dimensional nesting algorithm has been implemented successfully. Numerical results on a test problem verify the second order accuracy of the algorithm. The nested grid results yield the equivalent solution to that of the corresponding fine grid solution.

Neste trabalho é proposto um modelo mecanobiológico de remodelagem óssea para a estimativa de variações, provocadas por perturbações mecânicas ou biológicas, na matriz de rigidez estrutural da escala macroscópica e na densidade mineral em uma região do osso. Na cooperação entre as áreas da saúde e da engenharia, como nos estudos estruturais de biomecânica no sistema esquelético, as propriedades mecânicas dos materiais devem ser conhecidas, entretanto os ossos possuem uma constituição material altamente complexa, dinâmica e variante entre indivíduos. Sua dinâmica decorre dos ciclos de absorção e deposição de matriz óssea na remodelagem óssea, a qual ocorre para manter a integridade estrutural do esqueleto e adaptá-lo aos estímulos do ambiente, sejam eles biológicos, químicos ou mecânicos. Como a remodelagem óssea pode provocar alterações no material do osso, espera-se que suas propriedades mecânicas também sejam alteradas. Na literatura científica há modelos matemáticos que preveem a variação da matriz de rigidez estrutural a partir do estímulo mecânico, porém somente os modelos mais recentes incluíram explicitamente processos biológicos e químicos da remodelagem óssea. A densidade mineral óssea é um importante parâmetro utilizado no diagnóstico de doenças ósseas na área médica. Desse modo, para a obtenção da variação da rigidez estrutural e da densidade mineral óssea, propõe-se um modelo numérico mecanobiológico composto por cinco submodelos: da dinâmica da população de células ósseas, da resposta das células ao estímulo mecânico, da porosidade óssea, da densidade mineral óssea e, baseado na Lei de Voigt para materiais compósitos, da rigidez estrutural. Os valores das constantes das equações dos submodelos foram obtidos de literatura. Para a solução das equações do modelo, propõe-se uma implementação numérica e computacional escrita em linguagem C. O método de Runge-Kutta-Dorman-Prince, cuja vantagem consiste no uso de um passo de solução variável, é utilizado no modelo para controlar o erro numérico do resultado do sistema de equações diferenciais. Foi realizada uma avaliação comparativa entre os resultados obtidos com o modelo proposto e os da literatura dos modelos de remodelagem óssea recentes. Conclui-se que o modelo e a implementação propostos são capazes de obter variações da matriz de rigidez estrutural macroscópica e da densidade mineral óssea decorrentes da perturbação nos parâmetros mecânicos ou biológicos do processo de remodelagem óssea. / This Master thesis addresses a mechanobiological model that estimates variations in the bone macroscopic stiffness matrix and mineral density caused by mechanical or biological disturbances in a bone site undergoing the bone remodeling phenomenon. In interdisciplinary studies in health and engineering sciences, as structural biomechanical studies of the skeleton, the mechanical properties of the materials must be known. However, the bone material is highly complex, displays a dynamic behavior and its characteristics vary among individuals. Its dynamic behavior results from the bone matrix deposition and resorption cycles of the bone remodeling phenomenon for the maintenance of the skeletal structural integrity and its adaptation to environmental stimuli, which can be biological, chemical or mechanical. As bone remodeling can change the quantities of the bone material, deviations in the bone mechanical properties are also expected. The literature reports mathematical models that can predict changes in the bone structural stiffness matrix promoted by mechanical stimuli, however, only the newest ones have explicitly included the biochemical processes from bone remodeling. Bone mineral density is an important parameter for the diagnosis of bone diseases, therefore, a mechanobiological numerical model of the bone remodeling phenomenon is proposed for the determination of changes in bone stiffness and mineral density. The method is composed of five modules, namely, bone cells population dynamics, response of bone cells to mechanical stimuli, bone porosity, bone mineral density and bone stiffness calculated by Voigt\'s Law for composite materials. The values of the constants for the equations of the modules were obtained from the literature. A numerical computational code written in C language was implemented, so that the equations of the model could be solved automatically. The Runge-Kutta-Dorman-Prince method, whose advantage is its variable solution step, solved the differential equations ensuring numerically controlled errors for the solutions. A benchmark analysis was conducted using the solutions of the proposed model and the latest bone remodeling models. The model, the numerical method and the code implementation estimated changes in the macroscopic structural stiffness matrix and mineral density of the bone caused by induced disturbances in the mechanical or biological parameters of the bone remodeling process.

Neste trabalho é proposto um modelo mecanobiológico de remodelagem óssea para a estimativa de variações, provocadas por perturbações mecânicas ou biológicas, na matriz de rigidez estrutural da escala macroscópica e na densidade mineral em uma região do osso. Na cooperação entre as áreas da saúde e da engenharia, como nos estudos estruturais de biomecânica no sistema esquelético, as propriedades mecânicas dos materiais devem ser conhecidas, entretanto os ossos possuem uma constituição material altamente complexa, dinâmica e variante entre indivíduos. Sua dinâmica decorre dos ciclos de absorção e deposição de matriz óssea na remodelagem óssea, a qual ocorre para manter a integridade estrutural do esqueleto e adaptá-lo aos estímulos do ambiente, sejam eles biológicos, químicos ou mecânicos. Como a remodelagem óssea pode provocar alterações no material do osso, espera-se que suas propriedades mecânicas também sejam alteradas. Na literatura científica há modelos matemáticos que preveem a variação da matriz de rigidez estrutural a partir do estímulo mecânico, porém somente os modelos mais recentes incluíram explicitamente processos biológicos e químicos da remodelagem óssea. A densidade mineral óssea é um importante parâmetro utilizado no diagnóstico de doenças ósseas na área médica. Desse modo, para a obtenção da variação da rigidez estrutural e da densidade mineral óssea, propõe-se um modelo numérico mecanobiológico composto por cinco submodelos: da dinâmica da população de células ósseas, da resposta das células ao estímulo mecânico, da porosidade óssea, da densidade mineral óssea e, baseado na Lei de Voigt para materiais compósitos, da rigidez estrutural. Os valores das constantes das equações dos submodelos foram obtidos de literatura. Para a solução das equações do modelo, propõe-se uma implementação numérica e computacional escrita em linguagem C. O método de Runge-Kutta-Dorman-Prince, cuja vantagem consiste no uso de um passo de solução variável, é utilizado no modelo para controlar o erro numérico do resultado do sistema de equações diferenciais. Foi realizada uma avaliação comparativa entre os resultados obtidos com o modelo proposto e os da literatura dos modelos de remodelagem óssea recentes. Conclui-se que o modelo e a implementação propostos são capazes de obter variações da matriz de rigidez estrutural macroscópica e da densidade mineral óssea decorrentes da perturbação nos parâmetros mecânicos ou biológicos do processo de remodelagem óssea. / This Master thesis addresses a mechanobiological model that estimates variations in the bone macroscopic stiffness matrix and mineral density caused by mechanical or biological disturbances in a bone site undergoing the bone remodeling phenomenon. In interdisciplinary studies in health and engineering sciences, as structural biomechanical studies of the skeleton, the mechanical properties of the materials must be known. However, the bone material is highly complex, displays a dynamic behavior and its characteristics vary among individuals. Its dynamic behavior results from the bone matrix deposition and resorption cycles of the bone remodeling phenomenon for the maintenance of the skeletal structural integrity and its adaptation to environmental stimuli, which can be biological, chemical or mechanical. As bone remodeling can change the quantities of the bone material, deviations in the bone mechanical properties are also expected. The literature reports mathematical models that can predict changes in the bone structural stiffness matrix promoted by mechanical stimuli, however, only the newest ones have explicitly included the biochemical processes from bone remodeling. Bone mineral density is an important parameter for the diagnosis of bone diseases, therefore, a mechanobiological numerical model of the bone remodeling phenomenon is proposed for the determination of changes in bone stiffness and mineral density. The method is composed of five modules, namely, bone cells population dynamics, response of bone cells to mechanical stimuli, bone porosity, bone mineral density and bone stiffness calculated by Voigt\'s Law for composite materials. The values of the constants for the equations of the modules were obtained from the literature. A numerical computational code written in C language was implemented, so that the equations of the model could be solved automatically. The Runge-Kutta-Dorman-Prince method, whose advantage is its variable solution step, solved the differential equations ensuring numerically controlled errors for the solutions. A benchmark analysis was conducted using the solutions of the proposed model and the latest bone remodeling models. The model, the numerical method and the code implementation estimated changes in the macroscopic structural stiffness matrix and mineral density of the bone caused by induced disturbances in the mechanical or biological parameters of the bone remodeling process.