Darbe nagrinėjamas AR(1) procesų $X_{i,t} = a_i X_{i,t-1} + \vep_t, \ i=1,\cdots, N$ su atsitiktiniais n.v.p. koeficientais $a_i \in (-1,1)$ ir n.v.p. bendrais triukšmais $\{\vep_t\}$ agregavimas, kai triukšmai priklauso $\alpha-$stabilaus dėsnio normaliajai traukos sričiai, $(0< \alpha \le 2)$. Nagrinėjamas atvejis, kai atsitiktinių koeficientų tikimybinis tankis auga į begalybę taškuose $a = 1 $ ir $a=-1$. Gautos sąlygos, kurioms esant egzistuoja ribinis agreguotas procesas $\bar X_t = \lim_{N \to \infty} N^{-1}\sum_{i=1}^N X_{i,t} $, išnagrinėta kada jis turi ilgalaikę atmintį. Taip pat parodyta, kad atitinkamai normuotos $\bar X_t$ dalinės sumos konverguoja į trupmeninį $\alpha-$stabilų judesį. Ir esant tam tikroms sąlygoms ribinis agreguotas procesas $\{\bar X_t\}$ turi LRD(SAV) (angl. long-range dependence (sample Allen variance)) sąvybę, bei skirstinių ilgąją atmintį. Šis darbas išplečia kai kuriuos P. Zaffaroni rezultatus nuo baigtinės dispersijos atvejo iki begalinės dispersijos atvejo. / Aggregation of random coefficient AR(1) processes $X_{i,t} = a_i X_{i,t-1} + \vep_t, \ i=1,\cdots, N$ with i.i.d. coefficients $a_i \in (-1,1)$ and common i.i.d. innovations $\{\vep_t\}$ belonging to the domain of attraction of $\alpha-$stable law $(0< \alpha \le 2)$ is discussed. Particular attention is given to the case of slope coefficient having probability density growing regularly to infinity at points $a = 1 $ and $a=-1$. Conditions are obtained under which the limit aggregate $\bar X_t = \lim_{N \to \infty} N^{-1}\sum_{i=1}^N X_{i,t} $ exists and exhibits long memory, in certain sense. In particularly, I show that suitably normalized partial sums of the $\bar X_t$'s tend to fractional $\alpha-$stable motion, and that $\{\bar X_t\}$ satisfies the long-range dependence (sample Allen variance) property and distributional long memory. The present paper also extends some results of P. Zaffaroni from finite variance case to infinite variance case.

Value-at-risk (VaR) model as a tool to estimate market risk is considered in the thesis. It is a statistical model defined as the maximum future loss due to likely changes in the value of financial assets portfolio during a certain period with a certain probability. A new definition of the aggregated VaR is given and the empirical study about different currencies position VaR estimates’ dependence on data aggregation functions (pointwise, maximum value, minimum value and average value) is provided. Functional ρ−GARCH(1,1) model is introduced and theorems of the stationary solution existence and maximum likelihood estimators of model parameters consistency are proved. Additionally, some examples of the model taking known density function of aggregated observations are given. Next, the general Hilbert space valued time series is presented and GARCH(1,1) model with univariate volatility is investigated. Theorems of the stationary solution existence, maximum likelihood estimators of model parameters consistency and asymptotic normality are proved; the analysis of residuals is provided. In the last chapter of the thesis the empirical study about Hurst index intraday value dependence on data aggregation taking different foreign currencies’ absolute returns is presented. / Disertacijoje nagrinėjamas vertės pokyčio rizikos modelis. Tai toks statistinis modelis, kurį taikant su tam tikra tikimybe įvertinamas didžiausias galimas nustatyto laikotarpio nuostolis, kredito įstaigos patiriamas dėl neigiamų taikomos finansinės priemonės vertės pokyčių. Apibrėžiamas agreguotų duomenų vertės pokyčio rizikos modelis ir pateikiamas praktinis tyrimas apie valiutų pozicijos vertės pokyčio rizikos modelio įvertinių priklausomybę nuo duomenų agregavimo taisyklės (pataškio, didžiausios vertės, mažiausios vertės ir vidutinės vertės). Kitame disertacijos skyriuje pristatomas naujas funkcinis ρ−GARCH(1,1) modelis, įrodomos stacionaraus sprendinio egzistavimo ir didžiausio tikėtinumo metodu įvertintų parametrų suderinamumo teoremos. Taip pat pateikiama keletas apibrėžtojo modelio pavyzdžių, kai žinoma agreguotų grąžų tankio funkcija. Disertacijoje apibrėžiamas Hilberto erdvės GARCH(1,1) modelis su vienmačiu kintamumu. Nagrinėjamos modelio savybės ir įrodomos stacionaraus sprendinio egzistavimo, didžiausio tikėtinumo metodu vertinamų parametrų suderinamumo ir asimptotinio normalumo teoremos, atliekama liekanų analizė. Paskutiniame disertacijos skyriuje aprašomas atliktas empirinis tyrimas apie Hursto indekso, kaip ilgos atminties parametro, priklausomybę nuo agregavimo taisyklės dienos metu, pasitelkiant absoliučias valiutų kursų grąžas.

Disertacijoje nagrinėjamas vertės pokyčio rizikos modelis. Tai toks statistinis modelis, kurį taikant su tam tikra tikimybe įvertinamas didžiausias galimas nustatyto laikotarpio nuostolis, kredito įstaigos patiriamas dėl neigiamų taikomos finansinės priemonės vertės pokyčių. Apibrėžiamas agreguotų duomenų vertės pokyčio rizikos modelis ir pateikiamas praktinis tyrimas apie valiutų pozicijos vertės pokyčio rizikos modelio įvertinių priklausomybę nuo duomenų agregavimo taisyklės (pataškio, didžiausios vertės, mažiausios vertės ir vidutinės vertės). Kitame disertacijos skyriuje pristatomas naujas funkcinis ρ−GARCH(1,1) modelis, įrodomos stacionaraus sprendinio egzistavimo ir didžiausio tikėtinumo metodu įvertintų parametrų suderinamumo teoremos. Taip pat pateikiama keletas apibrėžtojo modelio pavyzdžių, kai žinoma agreguotų grąžų tankio funkcija. Disertacijoje apibrėžiamas Hilberto erdvės GARCH(1,1) modelis su vienmačiu kintamumu. Nagrinėjamos modelio savybės ir įrodomos stacionaraus sprendinio egzistavimo, didžiausio tikėtinumo metodu vertinamų parametrų suderinamumo ir asimptotinio normalumo teoremos, atliekama liekanų analizė. Paskutiniame disertacijos skyriuje aprašomas atliktas empirinis tyrimas apie Hursto indekso, kaip ilgos atminties parametro, priklausomybę nuo agregavimo taisyklės dienos metu, pasitelkiant absoliučias valiutų kursų grąžas. / Value-at-risk (VaR) model as a tool to estimate market risk is considered in the thesis. It is a statistical model defined as the maximum future loss due to likely changes in the value of financial assets portfolio during a certain period with a certain probability. A new definition of the aggregated VaR is given and the empirical study about different currencies position VaR estimates’ dependence on data aggregation functions (pointwise, maximum value, minimum value and average value) is provided. Functional ρ−GARCH(1,1) model is introduced and theorems of the stationary solution existence and maximum likelihood estimators of model parameters consistency are proved. Additionally, some examples of the model taking known density function of aggregated observations are given. Next, the general Hilbert space valued time series is presented and GARCH(1,1) model with univariate volatility is investigated. Theorems of the stationary solution existence, maximum likelihood estimators of model parameters consistency and asymptotic normality are proved; the analysis of residuals is provided. In the last chapter of the thesis the empirical study about Hurst index intraday value dependence on data aggregation taking different foreign currencies’ absolute returns is presented.

Aggregated data appears in many areas such as econimics, sociology, geography, etc. This motivates an importance of studying the (dis)aggregation problem. One of the most important reasons why the contemporaneous aggregation become an object of research is the possibility of obtaining the long memory phenomena in processes. The aggregation provides an explanation of the long-memory effect in time series and a simulation method of such series as well. Accumulation of short-memory non-ergodic random processes can lead to the long memory ergodic process, that can be used for the forecasts of the macro and micro variables. We explore the aggregation scheme of AR(1) processes and nearest-neighbour random fields with infinite variance. We provide results on the existence of limit aggregated processes, and find conditions under which it has long memory properties in certain sense. For the random fields on Z^2, we introduce the notion of (an)isotropic long memory based on the behavior of partial sums. In L_2 case, the known aggregation of independent AR(1) processes leads to the Gaussian limit. While we describe a new model of aggregation based on independent triangular arrays. This scheme gives the limit aggregated process with finite variance which is not necessary Gaussian. We study a discrete time risk insurance model with stationary claims, modeled by the aggregated heavy-tailed process. We establish the asymptotic properties of the ruin probability and the dependence structure... [to full text] / Agreguoti duomenys naudojami daugelyje mokslo sričių tokių kaip ekonomika, sociologija, geografija ir kt. Tai motyvuoja tirti (de)agregavimo uždavinį. Viena iš pagrindinių priežasčių kodėl vienalaikis agregavimas tapo tyrimų objektu yra galimybė gauti ilgos atminties procesus. Agregavimas paaiškina ilgos atminties atsiradima procesuose ir yra vienas iš būdų tokius procesus generuoti. Agreguodami trumpos atminties neergodiškus atsitiktinius procesus, galime gauti ilgos atminties ergodišką procesą, kuris gali būti naudojamas mikro ir makro kintamųjų prognozavimui. Disertacijoje nagrinėjama AR(1) procesų bei artimiausio kaimyno atsitiktinių laukų, turinčių begalinę dispersiją, agregavimo schema, randamos sąlygos, kurioms esant ribinis agreguotas procesas egzistuoja, ir turi ilgąją atmintį tam tikra prasme. Atsitiktinių laukų atveju, įvedamas anizotropinės/izotropinės ilgos atminties apibrėžimas, kuris yra paremtas dalinių sumų elgesiu. Baigtinės dispersijos atveju yra gerai žinoma nepriklausomų AR(1) procesų schema, kuri rezultate duoda Gauso ribinį agreguotą procesą. Disertacijoje aprašoma trikampio masyvo agregavimo modelis, kuris baigtinės dispersijos atveju duoda nebūtinai Gauso ribinį agreguotą procesą. Taip pat disertacijoje nagrinėjama bankroto tikimybės asimptotika, kai žalos yra aprašomos sunkiauodegiu agreguotu procesu, nusakoma priklausomybė tarp žalų, apibūdinama žalų ilga atmintis.

Agreguoti duomenys naudojami daugelyje mokslo sričių tokių kaip ekonomika, sociologija, geografija ir kt. Tai motyvuoja tirti (de)agregavimo uždavinį. Viena iš pagrindinių priežasčių kodėl vienalaikis agregavimas tapo tyrimų objektu yra galimybė gauti ilgos atminties procesus. Agregavimas paaiškina ilgos atminties atsiradima procesuose ir yra vienas iš būdų tokius procesus generuoti. Agreguodami trumpos atminties neergodiškus atsitiktinius procesus, galime gauti ilgos atminties ergodišką procesą, kuris gali būti naudojamas mikro ir makro kintamųjų prognozavimui. Disertacijoje nagrinėjama AR(1) procesų bei artimiausio kaimyno atsitiktinių laukų, turinčių begalinę dispersiją, agregavimo schema, randamos sąlygos, kurioms esant ribinis agreguotas procesas egzistuoja, ir turi ilgąją atmintį tam tikra prasme. Atsitiktinių laukų atveju, įvedamas anizotropinės/izotropinės ilgos atminties apibrėžimas, kuris yra paremtas dalinių sumų elgesiu. Baigtinės dispersijos atveju yra gerai žinoma nepriklausomų AR(1) procesų schema, kuri rezultate duoda Gauso ribinį agreguotą procesą. Disertacijoje aprašoma trikampio masyvo agregavimo modelis, kuris baigtinės dispersijos atveju duoda nebūtinai Gauso ribinį agreguotą procesą. Taip pat disertacijoje nagrinėjama bankroto tikimybės asimptotika, kai žalos yra aprašomos sunkiauodegiu agreguotu procesu, nusakoma priklausomybė tarp žalų, apibūdinama žalų ilga atmintis. / Aggregated data appears in many areas such as econimics, sociology, geography, etc. This motivates an importance of studying the (dis)aggregation problem. One of the most important reasons why the contemporaneous aggregation become an object of research is the possibility of obtaining the long memory phenomena in processes. The aggregation provides an explanation of the long-memory effect in time series and a simulation method of such series as well. Accumulation of short-memory non-ergodic random processes can lead to the long memory ergodic process, that can be used for the forecasts of the macro and micro variables. We explore the aggregation scheme of AR(1) processes and nearest-neighbour random fields with infinite variance. We provide results on the existence of limit aggregated processes, and find conditions under which it has long memory properties in certain sense. For the random fields on Z^2, we introduce the notion of (an)isotropic long memory based on the behavior of partial sums. In L_2 case, the known aggregation of independent AR(1) processes leads to the Gaussian limit. While we describe a new model of aggregation based on independent triangular arrays. This scheme gives the limit aggregated process with finite variance which is not necessary Gaussian. We study a discrete time risk insurance model with stationary claims, modeled by the aggregated heavy-tailed process. We establish the asymptotic properties of the ruin probability and the dependence structure... [to full text]