On doit à Friedrich Knop un étonnant théorème qui établit un lien entre algèbres de Lie simples de type A-D-E, et singularités simples de même type. Le résultat est le suivant : on considère la projectivisation de l'orbite de plus haut poids pour l'action adjointe d'un groupe de Lie simple sur son algèbre de Lie (une telle variété est appelée variété adjointe). Il existe alors un hyperplan tangent à l'orbite ayant un unique point singulier du même type que celui de l'algèbre de Lie. Ce théorème est le point de départ de nos travaux. Afin de mieux comprendre ce lien, nous étudions la géométrie des variétés duales des variétés adjointes. Dans le premier chapitre nous prouvons une version duale du théorème de Knop. Notre théorème permet d'obtenir le discriminant d'une singularité simple à partir de la duale de la variété adjointe. L'hyperplan considéré par Knop s'interprète alors comme un point très singulier de la duale. Dans le deuxième chapitre nous considérons le lieu singulier de la duale pour une variétés projective lisse. Nous montrons que l'existence de certaines strates de dimensions maximales équivaut à l'existence de section hyperplane de la variété d'origine admettant des points singuliers d'un type donné. Nous insistons alors sur l'importance de deux strates qui ont un sens géométrique : la duale de la variété des tangentes et la duale de la variété des sécantes. Enfin dans un dernier chapitre nous appliquons ces résultats à l'étude de la normalité des duales des variétés homogènes.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.