Le cadre de cette thèse est la théorie des surfaces minimales dans deux variétés homogènes, R3 et PSL2(R). Dans R3, étant donné un pavage T du plan par des polygones, qui soit invariant par deux translations indépendantes, on construit une famille de surfaces minimales plongées et triplement périodiques qui désingularise T × R. Dans cette perspective, et inspiré par le travail de Martin Traizet, nous ouvrons les nodes d’une surface de Riemann singulière dans le but de coller ensemble des Karcher saddle towers, chacune placée sur un sommet avec ses bouts au long des arrêtes qui se terminent sur ce sommet même. Dans une seconde partie, nous étudions les graphes minimaux dans PSL2(R) et nous fournissons des exemples de surfaces invariantes. Nous obtenons des estimées du gradient pour les solutions de l’équation des surfaces minimales dans l’espace en considération et on étudie le comportement des suites monotones de solutions. Nous concluons par prolonger à PSL2(R) un théorème de Jenkins et Serrin, qui donnent une condition nécessaire et suffisante pour la solvabilité du problème du Dirichlet de l’équation des surfaces minimales dans R3, avec des données infinies sur le bord d’un domaine convexe et borné. / This doctoral thesis deals with minimal surface theory in two homogeneous manifolds, namely, R3 and PSL2(R). In R3, given a tiling T of the plane by straight edge polygons, which is invariant by two independent translations, we construct a family of embedded triply periodic minimal surfaces which desingularizes T ×R. For this purpose, inspired by the work of Martin Traizet, we open the nodes of singular Riemann surfaces to glue together simply periodic Karcher saddle towers, each placed at a vertex of the tiling in such a way that its wings go along the corresponding edges of the tiling ending at that vertex. On the other hand, in PSL2(R) we study minimal graphs and we furnish many invariant examples. We derive gradient estimates for solutions of the minimal surface equation in the underlying space and we study convergence of monotone sequences of solutions. Finally, we extend to PSL2(R) a result of Jenkins and Serrin who provide a necessary and sufficient condition for the solvability of the Dirichlet problem of the minimal surface equation in R3, with infinite data over boundary arcs of a convex bounded region.

Les grassmanniennes symplectiques et, plus généralement, les variétés de drapeaux symplectiques, sont les variétés de sous-espaces isotropes, respectivement de drapeaux de sous-espaces isotropes, relativement à une 2-forme antisymétrique non dégénérée. Ce sont les variétés projectives homogènes du groupe symplectique.<br />Nous étudions les grassmanniennes et les variétés de drapeaux symplectiques impaires, qui sont des objets analogues associés à une 2-forme antisymétrique générique sur un espace vectoriel complexe de dimension impaire. Ces variétés sont munies d'actions naturelles du groupe symplectique impair des transformations linéaires qui préservent la forme antisymétrique. Nous montrons que, bien que ces actions ne soient pas transitives, ces variétés partagent de nombreuses propriétés avec les variétés homogènes.<br />En particulier, nous calculons le groupe d'automorphismes des grassmanniennes symplectiques impaires et obtenons que tous ces automorphismes proviennent de l'action du groupe symplectique impair. De même, nous établissons un théorème de type Borel-Weil pour le groupe symplectique impair et explicitons le lien entre certaines classes de représentations de ce groupe construites par Proctor et par Shtepin. Nous étudions également la cohomologie équivariante de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux. Nous obtenons une formule de type Chevalley-Pieri et nous donnons une présentation à la Borel de l'anneau de cohomologie équivariante. De cette dernière, nous déduisons que l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété des drapeaux symplectiques impairs maximaux est isomorphe à l'anneau de cohomologie ordinaire de la variété de drapeaux quadratiques.

On doit à Friedrich Knop un étonnant théorème qui établit un lien entre algèbres de Lie simples de type A-D-E, et singularités simples de même type. Le résultat est le suivant : on considère la projectivisation de l'orbite de plus haut poids pour l'action adjointe d'un groupe de Lie simple sur son algèbre de Lie (une telle variété est appelée variété adjointe). Il existe alors un hyperplan tangent à l'orbite ayant un unique point singulier du même type que celui de l'algèbre de Lie. Ce théorème est le point de départ de nos travaux. Afin de mieux comprendre ce lien, nous étudions la géométrie des variétés duales des variétés adjointes. Dans le premier chapitre nous prouvons une version duale du théorème de Knop. Notre théorème permet d'obtenir le discriminant d'une singularité simple à partir de la duale de la variété adjointe. L'hyperplan considéré par Knop s'interprète alors comme un point très singulier de la duale. Dans le deuxième chapitre nous considérons le lieu singulier de la duale pour une variétés projective lisse. Nous montrons que l'existence de certaines strates de dimensions maximales équivaut à l'existence de section hyperplane de la variété d'origine admettant des points singuliers d'un type donné. Nous insistons alors sur l'importance de deux strates qui ont un sens géométrique : la duale de la variété des tangentes et la duale de la variété des sécantes. Enfin dans un dernier chapitre nous appliquons ces résultats à l'étude de la normalité des duales des variétés homogènes.