La création et la compréhension des déformations de surfaces sont des thèmes récurrent pour le traitement de géométrie 3D. Comme les surfaces lisses peuvent être représentées de multiples façon allant du nuage ​​de points aux maillages polygonales, un enjeu important est de pouvoir comparer ou déformer des formes discrètes indépendamment de leur représentation. Une réponse possible est de choisir une représentation flexible des surfaces déformables qui peut facilement être transportées d'une structure de données à une autre.Dans ce but, les "functional map" proposent de représenter des applications entre les surfaces et, par extension, des déformations comme des opérateurs agissant sur des fonctions. Cette approche a été introduite récemment pour le traitement de modèle 3D, mais a été largement utilisé dans d'autres domaines tels que la géométrie différentielle, la théorie des opérateurs et les systèmes dynamiques, pour n'en citer que quelques-uns. Le principal avantage de ce point de vue est de détourner les problèmes encore non-résolus, tels que la correspondance forme et le transfert de déformations, vers l'analyse fonctionnelle dont l'étude et la discrétisation sont souvent mieux connues. Cette thèse approfondit l'analyse et fournit de nouvelles applications à ce cadre d'étude. Deux questions principales sont discutées.Premièrement, étant donné deux surfaces, nous analysons les déformations sous-jacentes. Une façon de procéder est de trouver des correspondances qui minimisent la distorsion globale. Pour compléter l'analyse, nous identifions les parties les moins fiables du difféomorphisme grâce une méthode d'apprentissage. Une fois repérés, les défauts peuvent être éliminés de façon différentiable à l'aide d'une représentation adéquate des champs de vecteurs tangents.Le deuxième développement concerne le problème inverse : étant donné une déformation représentée comme un opérateur, comment déformer une surface en conséquence ? Dans une première approche, nous analysons un encodage de la structure intrinsèque et extrinsèque d'une forme en tant qu'opérateur fonctionnel. Dans ce cadre, l'objet déformé peut être obtenu, à rotations et translations près, en résolvant une série de problèmes d'optimisation convexe. Deuxièmement, nous considérons une version linéarisée de la méthode précédente qui nous permet d'appréhender les champs de déformation comme agissant sur la métrique induite. En conséquence la résolution de problèmes difficiles, tel que le transfert de déformation, sont effectués à l'aide de simple systèmes linéaires d'équations. / Creating and understanding deformations of surfaces is a recurring theme in geometry processing. As smooth surfaces can be represented in many ways from point clouds to triangle meshes, one of the challenges is being able to compare or deform consistently discrete shapes independently of their representation. A possible answer is choosing a flexible representation of deformable surfaces that can easily be transported from one structure to another.Toward this goal, the functional map framework proposes to represent maps between surfaces and, to further extents, deformation of surfaces as operators acting on functions. This approach has been recently introduced in geometry processing but has been extensively used in other fields such as differential geometry, operator theory and dynamical systems, to name just a few. The major advantage of such point of view is to deflect challenging problems, such as shape matching and deformation transfer, toward functional analysis whose discretization has been well studied in various cases. This thesis investigates further analysis and novel applications in this framework. Two aspects of the functional representation framework are discussed.First, given two surfaces, we analyze the underlying deformation. One way to do so is by finding correspondences that minimize the global distortion. To complete the analysis we identify the least and most reliable parts of the mapping by a learning procedure. Once spotted, the flaws in the map can be repaired in a smooth way using a consistent representation of tangent vector fields.The second development concerns the reverse problem: given a deformation represented as an operator how to deform a surface accordingly? In a first approach, we analyse a coordinate-free encoding of the intrinsic and extrinsic structure of a surface as functional operator. In this framework a deformed shape can be recovered up to rigid motion by solving a set of convex optimization problems. Second, we consider a linearized version of the previous method enabling us to understand deformation fields as acting on the underlying metric. This allows us to solve challenging problems such as deformation transfer are solved using simple linear systems of equations.

Un médicament, ou tout autre petite molécule biologique, agit sur l’organisme via des interactions chimiques qui se produisent avec d’autres macromolécules telles que les protéines qui régissent le fonctionnement des cellules. La détermination de l’ensemble des cibles, c’est à dire de l’ensemble des macromolécules susceptibles de lier une même molécule, est essentielle pour mieux comprendre les mécanismes moléculaires à l’origine des effets d’un médicament. Cette connaissance permettrait en effet de guider la conception d’un composé pour éviter au mieux les effets secondaires indésirables, ou au contraire découvrir de nouvelles applications à des molécules connues. Les avancées de la biologie structurale nous permettent maintenant d’avoir accès à un très grand nombre de structures tridimensionnelles de protéines impliquées dans ces interactions, ce qui motive l’utilisation d’outils in silico (informatique) pour complémenter ou guider les expériences in vitro ou in vivo plus longues et plus chères.La thèse s’inscrit dans le cadre d’une collaboration entre le laboratoire DAVID de l’Université de Versailles-Saint-Quentin, et l’entreprise Bionext SA qui propose une suite logicielle permettant de visualiser et d’étudier les interactions chimiques. Les travaux de recherches ont pour objectif de développer un algorithme permettant, à partir des données structurales des protéines, de déterminer des cibles potentielles pour un composé donné. L’approche choisie consiste à utiliser la connaissance d’une première interaction entre un composé et une protéine afin de rechercher par similarité d’autres protéines pour lesquelles on peut inférer la capacité à se lier avec le même composé. Il s’agit plus précisément de rechercher une similarité locale entre un motif donné, qui est la région permettant à la cible connue de lier le composé, et un ensemble de protéines candidates.Un algorithme a été développé, BioBind, qui utilise un modèle des surfaces des macromolécules issu de la théorie des formes alpha afin de modéliser la surface accessible ainsi qu’une topologie sur cette surface permettant la définition de régions en surface. Afin de traiter le problème de la recherche d’un motif en surface, une heuristique est utilisée consistant à définir des motifs réguliers qui sont une approximation de disques géodésiques et permettant un échantillonnage exhaustif à la surface des macromolécules. Ces régions circulaires sont alors étendues à l’ensemble du motif recherché afin de déterminer une mesure de similarité.Le problème de la prédiction de cibles est ramené à un problème de classification binaire, où il s’agit pour un ensemble de protéines données de déterminer lesquelles sont susceptibles d’interagir avec le composé considéré, par similarité avec la première cible connue. Cette formalisation permet d’étudier les performances de notre approche, ainsi que de la comparer avec d’autres approches sur différents jeux de données. Nous utilisons pour cela deux jeux de données issus de la littérature ainsi qu’un troisième développé spécifiquement pour cette problématique afin d’être plus représentatif des molécules pertinentes du point de vue pharmacologique, c’est-à-dire ayant des propriétés proches des médicaments. Notre approche se compare favorablement sur ces trois jeux de données par rapport à une autre approche de prédiction par similarité, et plus généralement notre analyse confirme que les approches par docking (amarrage) sont moins performantes que les approches par similarité pour le problème de la prédiction de cibles. / The action of a drug, or another small biomolecule, is induced by chemical interactions with other macromolecules such as proteins regulating the cell functions. The determination of the set of targets, the macromolecules that could bind the same small molecule, is essential in order to understand molecular mechanisms responsible for the effects of a drug. Indeed, this knowledge could help the drug design process so as to avoid side effects or to find new applications for known drugs. The advances of structural biology provides us with three-dimensional representations of many proteins involved in these interactions, motivating the use of in silico tools to complement or guide further in vitro or in vivo experiments which are both more expansive and time consuming.This research is conducted as part of a collaboration between the DAVID laboratory of the Versailles-Saint-Quentin University, and Bionext SA which offers a software suite to visualize and analyze chemical interactions between biological molecules. The objective is to design an algorithm to predict these interactions for a given compound, using the structures of potential targets. More precisely, starting from a known interaction between a drug and a protein, a new interaction can be inferred with another sufficiently similar protein. This approach consists in the search of a given pattern, the known binding site, across a collection of macromolecules.An algorithm was implemented, BioBind, which rely on a topological representation of the surface of the macromolecules based on the alpha shapes theory. Our surface representation allows to define a concept of region of any shape on the surface. In order to tackle the search of a given pattern region, a heuristic has been developed, consisting in the definition of regular region which is an approximation of a geodesic disk. This circular shape allows for an exhaustive sampling and fast comparison, and any circular region can then be extended to the actual pattern to provide a similarity evaluation with the query binding site.The target prediction problem is formalized as a binary classification problem, where a set of macromolecules is being separated between those predicted to interact and the others, based on their local similarity with the known target. With this point of view, classic metrics can be used to assess performance, and compare our approach with others. Three datasets were used, two of which were extracted from the literature and the other one was designed specifically for our problem emphasizing the pharmacological relevance of the chosen molecules. Our algorithm proves to be more efficient than another state-of-the-art similarity based approach, and our analysis confirms that docking software are not relevant for our target prediction problem when a first target is known, according to our metric.