Neste trabalho estudamos os homomorfismos entre anéis de polinômios do ponto de vista da teoria de bases de Groebner. Em particular, determinamos o núcleo de um tal homomorfismo e desenvolvemos um método para determinar quando este é sobrejetivo. Estes resultados são então generalizados para anéis quocientes. O estudo de tais homomorfismos nos permite determinar os polinômos minimais de elementos em extensões de corpos, bem como encontrar soluções para um problema de programação inteira. / In this work we study the homomorphisms between polynomial rings as an application of the Groebner basis theory. In particular, we determine generators for the kemel of such a homomorphism and we give a method to determine whether it is onto. We then generalize these results to the case of quocient rings. The study of these homomorphisms allows us to determine mini mal polynomials of elements in field extensions, as well as to find solutions to an integer programming problem.

Neste trabalho estudamos os homomorfismos entre anéis de polinômios do ponto de vista da teoria de bases de Groebner. Em particular, determinamos o núcleo de um tal homomorfismo e desenvolvemos um método para determinar quando este é sobrejetivo. Estes resultados são então generalizados para anéis quocientes. O estudo de tais homomorfismos nos permite determinar os polinômos minimais de elementos em extensões de corpos, bem como encontrar soluções para um problema de programação inteira. / In this work we study the homomorphisms between polynomial rings as an application of the Groebner basis theory. In particular, we determine generators for the kemel of such a homomorphism and we give a method to determine whether it is onto. We then generalize these results to the case of quocient rings. The study of these homomorphisms allows us to determine mini mal polynomials of elements in field extensions, as well as to find solutions to an integer programming problem.

Neste trabalho estudamos os homomorfismos entre anéis de polinômios do ponto de vista da teoria de bases de Groebner. Em particular, determinamos o núcleo de um tal homomorfismo e desenvolvemos um método para determinar quando este é sobrejetivo. Estes resultados são então generalizados para anéis quocientes. O estudo de tais homomorfismos nos permite determinar os polinômos minimais de elementos em extensões de corpos, bem como encontrar soluções para um problema de programação inteira. / In this work we study the homomorphisms between polynomial rings as an application of the Groebner basis theory. In particular, we determine generators for the kemel of such a homomorphism and we give a method to determine whether it is onto. We then generalize these results to the case of quocient rings. The study of these homomorphisms allows us to determine mini mal polynomials of elements in field extensions, as well as to find solutions to an integer programming problem.

The main objective of this dissertation is to present an algebraic method capable of determining a solution, if any, of a non linear polynomial equation systems using Gröbner basis. In order to accomplish that, we first present some concepts and theorems linked to polynomial rings with several undetermined and monomial ideals where we highlight the division extended algorithm, the Hilbert Basis and the Buchberger´s algorithm. Beyond that, using basics of Elimination and Extension Theorems, we present an algebraic solution to the map coloring that use 3 colors as well as a general solution to the Sudoku puzzle. / O objetivo principal desse trabalho é, usando bases de Gröbner, apresentar um método algébrico capaz de determinar a solução, quando existir, de sistemas de equações polinomiais não necessariamente lineares. Para tanto, necessitamos inicialmente apresentar alguns conceitos e teoremas ligados a anéis de polinômios com várias indeterminadas e de ideais monomiais, dentre os quais destacamos o algoritmo extendido da divisão, o teorema da Base de Hilbert e o algoritmo de Buchberger. Além disso, usando noções básicas da Teoria de eliminação e extensão, apresentamos uma solução algébrica para o problema da coloração de mapas usando três cores, bem como um solução geral para o puzzle Sudoku.