Seja (G,w,t) uma tripla formada por um grafo conexo G = (V,E), uma função peso não-negativa w definida em E e um número real t >= 1, chamado de fator de dilatação. Um t-spanner de G é um subgrafo gerador H de G tal que para cada par de vértices u, v, a distância entre u e v em H é no máximo t vezes a distância entre u e v em G. Quando H é uma árvore, dizemos que H é uma árvore t-spanner. Nesta tese focamos o problema da árvore t- spanner de peso mínimo (cuja sigla em inglês é MWTSP), definido a seguir. Dada uma tripla (G,w,t), encontrar uma árvore t-spanner em G de peso mínimo. É sabido que MWTSP é NP-difícil para cada t > 1 fixo. Propomos duas formulações lineares inteiras para MWTSP, baseadas em arborescência, de tamanho polinomial no tamanho de G. A formulação que possui variáveis representando distâncias entres os pares de vértices apresentou resultados melhores na prática. Também abordamos o problema de t-spanner de peso mínimo (cuja sigla em inglês é MWSP), cuja entrada é a mesma do MWTSP e cujo objetivo é encontrar um t-spanner de peso mínimo. Mesmo para grafos com peso unitário, MWSP é NP-difícil para cada t >= 2 fixo. Tratamos este problema de duas formas. Propomos uma formulação linear inteira para o MWSP que possui um número exponencial de restrições, mas cujo problema da separação para o programa linear relaxado correspondente é polinomial no tamanho de G. Apresentamos também uma implementação de um algoritmo de branch-and-price para o MWSP baseado numa formulação linear inteira proposta por Sigurd e Zachariasen (2004). Exibimos resultados de experimentos realizados com as duas formulações para o MWTSP e também com o algoritmo de branch-and-price para o MWSP. / Let (G, w, t) be a triplet consisting of a connected graph G = (V, E) with a nonnegative weight function w defined on E, and a real number t >= 1. A t-spanner of G is a spanning subgraph H of G such that for each pair of vertices u,v, the distance between u and v in H is at most t times the distance between u and v in G. If H is a tree then we call it a tree t-spanner of G. We address the Minimum Weight Tree Spanner Problem (MWTSP), defined as follows. Given a triplet (G, w, t), find a minimum weight tree t-spanner in G. It is known that MWTSP is NP-hard for every fixed t > 1. We propose two ILP formulations for MWTSP, based on arborescences, of polynomial size in the size of G. The formulation that has variables representing distances between pairs of vertices has shown to be better in practice. We also address the Minimum Weight t-Spanner Problem (MWSP) that has the same input as MWTSP and seeks for a minimum weight t-spanner in G. Even for unweighted graphs, it is known that MWSP is NP-hard for every fixed t >= 2. We approach this problem in two ways. We propose an ILP formulation for MWSP that has an an exponential number of restrictions but we show that the separation problem for the corresponding relaxed linear program can be solved in polynomial time in the size of G. We also present a branch-and-price algorithm for MWSP based on an ILP formulation proposed by Sigurd and Zachariasen (2004). We show results on the computational experiments with both formulations for MWTSP and also with the branch-and-price algorithm that we implemented for MWSP.

Made available in DSpace on 2014-12-17T15:48:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ElderGP_DISSERT.pdf: 2430148 bytes, checksum: e80c00c94f59463e3fe65b2466f0f400 (MD5) Previous issue date: 2014-03-21 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / The Hiker Dice was a game recently proposed in a software designed by Mara Kuzmich and Leonardo Goldbarg. In the game a dice is responsible for building a trail on an n x m board. As the dice waits upon a cell on the board, it prints the side that touches the surface. The game shows the Hamiltonian Path Problem Simple Maximum Hiker Dice (Hidi-CHS) in trays Compact Nth , this problem is then characterized by looking for a Hamiltonian Path that maximize the sum of marked sides on the board. The research now related, models the problem through Graphs, and proposes two classes of solution algorithms. The first class, belonging to the exact algorithms, is formed by a backtracking algorithm planed with a return through logical rules and limiting the best found solution. The second class of algorithms is composed by metaheuristics type Evolutionary Computing, Local Ramdomized search and GRASP (Greed Randomized Adaptative Search). Three specific operators for the algorithms were created as follows: restructuring, recombination with two solutions and random greedy constructive.The exact algorithm was teste on 4x4 to 8x8 boards exhausting the possibility of higher computational treatment of cases due to the explosion in processing time. The heuristics algorithms were tested on 5x5 to 14x14 boards. According to the applied methodology for evaluation, the results acheived by the heuristics algorithms suggests a better performance for the GRASP algorithm / O Hiker Dice foi um jogo proposto recentemente em um software projetado por Mara Kuzmich e Leonardo Goldbarg. No jogo um dado ? respons?vel pela constru??o de uma trilha sobre um tabuleiro n x m. O dado ao visitar uma c?lula do tabuleiro imprime (marca) a face que entra em contato com a superf?cie. O jogo apresenta o Problema do Caminho Hamiltoniano Simples M?ximo Hiker Dice (CHS-HiDi) em Tabuleiros Compactos de ordem N , esse problema ? ent?o caracterizado por buscar um caminho hamiltoniano que maximize a soma dos faces do dado marcados no tabuleiro. A pesquisa presentemente relatada, modela o problema atrav?s de Grafos, e prop?e duas classes de algoritmos de solu??o. A primeira classe, pertencente aos algoritmos exatos, ? constitu?da por um algoritmo em backtracking aparelhado com um retorno realizado atrav?s de regras l?gicas e limite da melhor solu??o encontrada. A segunda classe de algoritmos ? constitu?da por metaheur?sticas do tipo Computa??o Evolucion?ria, Busca Local Aleatorizada e GRASP (Greed Randomized Adaptative Search). Para os algoritmos foram criados tr?s operadores espec?ficos da seguinte forma: de reestrutura??o, de recombina??o com duas solu??es e construtivo guloso aleat?rio. O algoritmo exato foi testado em tabuleiros 4x4 a 8x8 esgotando a possibilidade de tratamento computacional dos casos maiores em virtude da explos?o em tempo de processamento. Os algoritmos heur?sticos foram testados nos tabuleiros 5x5 at? 14x14. Segundo a metodologia de avalia??o utilizada, os resultados encontrados pelos algoritmos heur?sticos sugere um melhor potencial de desempenho para o algoritmo GRASP