Alguns métodos aproximados são sugeridos na literatura relacionada para encontrar a resposta de sistemas com amortecimento não-proporcional. Muitas vezes procura-se estabelecer um critério para aproximar o amortecimento não-proporcional por um modelo de amortecimento proporcional. Neste trabalho foram utilizadas simulações de modelos dinâmicos com três graus de liberdade, com amortecimento não proporcional, a fim de analisar os valores obtidos para as freqüências naturais, estimados a partir dos autovalores resultantes desses modelos. Os cálculos das freqüências naturais e dos amortecimentos modais foram feitos admitindo-se a validade das relações entre estes parâmetros e os autovalores do problema como são bem conhecidas no caso do amortecimento proporcional. Observa-se que, para o caso de amortecimento não-proporcional, este procedimento pode levar a erros significativos na avaliação destes parâmetros. Nos problemas simulados é possível quantificar os erros nas avaliações das freqüências naturais, sendo significativos para fatores de amortecimentos altos. Observa-se que para os fatores de amortecimento não é possível quantificar estes erros, sendo que seus valores são apenas aproximações baseadas na teoria de amortecimento proporcional. Este trabalho apresenta dados que possibilitam uma discussão sobre as diferenças encontradas entre os valores das freqüências naturais e os valores estimados pelas expressões clássicas do amortecimento proporcional. / Some approximate methods are suggested in the related literature to find the output of mechanical systems with non-proportional damping. Often they try to establish a criterion that approximates the non-proportional damping to proportional damping model. In this work, stimulations of dynamics models of three degree of freedom with non-proportional damping were used to examine the values of natural frequencies, estimated from the eigenvalues obtained by these models. The calculations of natural frequencies and modal damping ratio were performed assuming the validity of the relationship between these parameters and the well known eigenvalues of the problem in the proportional damping case. In the simulated problems is possible to quantify the errors in the evaluations of the natural frequencies and this errors are significant for the case where the damping factors are high. It is observed that for the damping factors it is not possible to quantify these errors, and their magnitudes are only approximations based on the theory of proportional damping. This work presents data which enables a discussion about the differences between the magnitude of natural frequencies and the magnitude estimated by the classic equations of proportional damping.

Alguns métodos aproximados são sugeridos na literatura relacionada para encontrar a resposta de sistemas com amortecimento não-proporcional. Muitas vezes procura-se estabelecer um critério para aproximar o amortecimento não-proporcional por um modelo de amortecimento proporcional. Neste trabalho foram utilizadas simulações de modelos dinâmicos com três graus de liberdade, com amortecimento não proporcional, a fim de analisar os valores obtidos para as freqüências naturais, estimados a partir dos autovalores resultantes desses modelos. Os cálculos das freqüências naturais e dos amortecimentos modais foram feitos admitindo-se a validade das relações entre estes parâmetros e os autovalores do problema como são bem conhecidas no caso do amortecimento proporcional. Observa-se que, para o caso de amortecimento não-proporcional, este procedimento pode levar a erros significativos na avaliação destes parâmetros. Nos problemas simulados é possível quantificar os erros nas avaliações das freqüências naturais, sendo significativos para fatores de amortecimentos altos. Observa-se que para os fatores de amortecimento não é possível quantificar estes erros, sendo que seus valores são apenas aproximações baseadas na teoria de amortecimento proporcional. Este trabalho apresenta dados que possibilitam uma discussão sobre as diferenças encontradas entre os valores das freqüências naturais e os valores estimados pelas expressões clássicas do amortecimento proporcional. / Some approximate methods are suggested in the related literature to find the output of mechanical systems with non-proportional damping. Often they try to establish a criterion that approximates the non-proportional damping to proportional damping model. In this work, stimulations of dynamics models of three degree of freedom with non-proportional damping were used to examine the values of natural frequencies, estimated from the eigenvalues obtained by these models. The calculations of natural frequencies and modal damping ratio were performed assuming the validity of the relationship between these parameters and the well known eigenvalues of the problem in the proportional damping case. In the simulated problems is possible to quantify the errors in the evaluations of the natural frequencies and this errors are significant for the case where the damping factors are high. It is observed that for the damping factors it is not possible to quantify these errors, and their magnitudes are only approximations based on the theory of proportional damping. This work presents data which enables a discussion about the differences between the magnitude of natural frequencies and the magnitude estimated by the classic equations of proportional damping.

Orientador: Gilberto Pechoto de Melo / Resumo: O uso da metodologia de observadores de estado para detecção de dano requer a análise da observabilidade do modelo físico-matemático do sistema e aponta para a necessidade de posicionar sensores de forma otimizada. Visto que plataformas veiculares podem se apresentar como sistemas com amortecimento não proporcional, é apresentada uma metodologia para o cálculo de índices de posicionamento H2 para este tipo de sistema. Para a plataforma veicular analisada com amortecimento proporcional, índices de posicionamento H2 são comparados com índices grammianos, sendo demonstrado que ambos resultam em uma mesma configuração ótima de sensores. A análise da observabilidade é conduzida a partir dos principais modos de vibrar , sendo utilizada a norma H2 para definição de quais modos devem ser retidos no modelo reduzido. Observadores robustos, atuando em paralelo com o sistema, são utilizados para localização e quantificação da severidade do dano. É mostrado que, para plataformas veiculares excitadas pela base com deslocamentos do tipo degrau, um índice de dano que compara as saídas medidas e estimadas permite alcançar este objetivo. / Abstract: The use of state observer's methodology for damage detection requires the observability analysis of the physical-mathematical model of the system and points to the need of positioning sensors optimally. Since vehicle platforms can be presented as systems with non-proportional damping, a methodology for calculating H2 positioning indices for this type of system is presented. For the vehicle platform analyzed with proportional damping, H2 positioning indices are compared with Grammian indices, showing that both result in the same optimal sensor con guration. The observability analysis is conducted from the main modes of vibration, using the H2 norm to define which modes should be retained in the reduced model. Robust observers acting in parallel with the system are used to locate and quantify the severity of the damage. It is shown that, for vehicle platforms stimulated by the base with step-type displacements, a damage index that compares the measured and estimated outputs reaches this goal. / Mestre