Neste trabalho analisamos a Equação de Lienard. Posteriormente, apresentamos um estudo completo do retrato de fase da Equação de Van der Pol, mostrando que ela possui uma solução periódica e que toda solução não periódica tende para ela. Ao fim do trabalho apresentamos uma prova para sistemas de equações diferenciais mais gerais do que a de Lienard. / In this work we analysed the Lienard Equations. Later, we did a complete study of the phase portrait of the Van der Pol Equation, proving that it has a periodic solution and that every non periodic solution tends to this periodic solution. At the final of this \vork, we presented a proof to more general systems of differencial equations than Lienard.

Neste trabalho analisamos a Equação de Lienard. Posteriormente, apresentamos um estudo completo do retrato de fase da Equação de Van der Pol, mostrando que ela possui uma solução periódica e que toda solução não periódica tende para ela. Ao fim do trabalho apresentamos uma prova para sistemas de equações diferenciais mais gerais do que a de Lienard. / In this work we analysed the Lienard Equations. Later, we did a complete study of the phase portrait of the Van der Pol Equation, proving that it has a periodic solution and that every non periodic solution tends to this periodic solution. At the final of this \vork, we presented a proof to more general systems of differencial equations than Lienard.

Neste trabalho analisamos a Equação de Lienard. Posteriormente, apresentamos um estudo completo do retrato de fase da Equação de Van der Pol, mostrando que ela possui uma solução periódica e que toda solução não periódica tende para ela. Ao fim do trabalho apresentamos uma prova para sistemas de equações diferenciais mais gerais do que a de Lienard. / In this work we analysed the Lienard Equations. Later, we did a complete study of the phase portrait of the Van der Pol Equation, proving that it has a periodic solution and that every non periodic solution tends to this periodic solution. At the final of this \vork, we presented a proof to more general systems of differencial equations than Lienard.

Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Florianópolis, 2015. / Made available in DSpace on 2015-11-24T03:07:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 336114.pdf: 5173221 bytes, checksum: 8f30abdbff1c2a777b7178ce2c1d481a (MD5) Previous issue date: 2015 / Este trabalho propõe uma abordagem que acopla o método dos elementos finitos generalizados global-local (MEFGgl) e o MEFG-CK para a modelagem de problemas bidimensionais que contemplem concentração de tensões. O primeiro método combina o MEF global-local clássico com a estrutura da partição da unidade, construindo funções de enriquecimento numericamente. Estas funções são geradas a partir da solução de problemas de valor de contorno locais na vizinhança de características locais, sendo usadas para enriquecer o problema global. O segundo método é bastante similar ao MEFG clássico (MEFG-C0), exceto pela partição da unidade (PU) que é arbitrariamente suave, gerando campos de tensões arbitrariamente diferenciáveis, o que não é possível com o MEFG-C0 devido à descontinuidade das derivadas normais ao longo das arestas dos elementos. O método proposto é chamado MEFGgl-Ck e sua formulação utiliza funções PU Ck no problema local, construídas através da PU de Shepard, e funções PU C0 nos problemas globais inicial e enriquecido. Assim, o método proposto não depende de soluções analíticas e somente a solução local é usada no problema global como enriquecimento. Neste contexto, pretende-se comparar a performance do MEFGgl-Ck com o MEFGgl clássico, analisando o efeito da regularidade da PU no desempenho das aproximações. Em muitas aplicações práticas de engenharia é comum analisar estruturas complexas que mostram, ao longo de grandes extensões, um comportamento elástico linear, mas que exibem plasticidade confinada em algumas pequenas regiões críticas. Estes tipos de problemas são importantes devido ao alto gradiente do campo de deformações que ocorre ao longo do contorno da zona de processo, que é difícil de representar com malhas grosseiras e funções convencionais do MEF padrão. Desta forma, além do problema de elasticidade, também é modelado um problema elastoplástico com plasticidade confinada numa pequena região do domínio global. Neste caso, os problemas local e global enriquecido são solucionados com um modelo constitutivo elastoplástico e os custos computacionais relacionados às iterações não lineares, quando comparados ao MEFG clássico, podem ser reduzidos com o uso de uma malha grosseira na resolução do problema global. Para representar a resposta irreversível e efeitos de encruamento do material, é considerada a teoria da plasticidade J2 independente de taxa, com encruamento isotrópico do material e critério de plastificação de von Mises. É considerado apenas carregamento monotônico e a cinemática de pequenos deslocamentos e pequenas deformações, com estado plano de deformações. O enriquecimento adotado no problema local é o polinomial uniforme e na interface global-local utiliza-se o método da penalidade, devido à sua simplicidade e generalidade para impor condições de contorno de Cauchy.<br> / Abstract : This work investigates an approach that couples the global-local generalized finite element method (GFEMgl) and the GFEM-CK for modeling two-dimensional problems involving stress concentration. The first method combines classic global-local FEM with the partition of unit structure, building enrichment functions numerically. These functions are generated from the local solution of boundary value problems in the neighborhood of the local features, and are used to enrich the global problem. The second method is quite similar to classic GFEM (GFEM-C°), except that the partition of unit (PoU) is arbitrarily smooth, building continuous stress fields, which is not possible with the GFEM-C° due to the discontinuity of the normal derivatives across interelement edges. The proposed method is called MEFGgl-Ck and its formulation uses C° PoU functions in the initial and the enriched global problems, and Ck PoU functions in local problem constructed by Shepard PoU. Thus, the proposed method does not rely on analytical solutions and only the local solution is used in the global problem as enrichment. In this context, the goal is to compare the MEFGgl-Ck and classic MEFGgl performances, analyzing the effect of PoU regularity in the quality of approximation. For many practical applications in engineering, a complex structure shows linear elastic behavior over almost all its extension, but exhibits confined plasticity contained in some small critical regions. These kinds of problems are important due the high gradient of deformation field which occurs along the boundary of the process zone, which is difficult to be represented with coarse meshes and conventional functions of FEM. Thus, in addition to the elastic problem, an elastoplastic one with plasticity confined in a small area of the global domain is also modeled. In this case, the local and global enriched problems are solved with an elastoplastic constitutive model and the computational costs related to nonlinear iterations, compared to the classic GFEM, can be reduced with the use of a coarse mesh in solving the global problem. The irreversible response and hardening effects of the material is represented by the rate independent J2 plasticity theory with linear isotropic hardening law together with the von Mises yield criteria. Here, it is considered only monotonic loading and the kinematics of small displacements and small deformations and plane strain are assumed. The enrichment adopted in local problem is the uniform polynomial and the penalty method is used in the global-local interface due its simplicity and generality for imposing Cauchy boundary conditions.