The main result in this thesis is a new generalization of Selberg's inequality in Hilbert spaces with a proof. In Chapter 1 we define Hilbert spaces and give a proof of the Cauchy-Schwarz inequality and the Bessel inequality. As an example of application of the Cauchy-Schwarz inequality and the Bessel inequality, we give an estimate for the dimension of an eigenspace of an integral operator. Next we give a proof of Selberg's inequality including the equality conditions following [Furuta]. In Chapter 2 we give selected facts on positive semidefinite matrices with proofs or references. Then we use this theory for positive semidefinite matrices to study inequalities. First we give a proof of a generalized Bessel inequality following [Akhiezer,Glazman], then we use the same technique to give a new proof of Selberg's inequality. We conclude with a new generalization of Selberg's inequality with a proof. In the last section of Chapter 2 we show how the matrix approach developed in Chapter 2.1 and Chapter 2.2 can be used to obtain optimal frame bounds. We introduce a new notation for frame bounds.

We give a brief account of the general analytic theory of continued fractions and state and prove the Lorentzen bestness theorem. We investigate the possibility of a new proof of the Lorentzen bestness theorem and gives a related convergence theorem together with a conjecture. We explore some connections between the limit-periodic continued fractions and other parts of mathematics and we give a few suggestions of topics suitable for further research.

This master's thesis explores the area of combinatorics concerned with counting mathematical objects with regards to symmetry. Two main theorems in this field are Burnside's Lemma and P'{o}lya's Enumeration Theoremfootnote{P'{o}lya's Enumeration Theorem is also known as Redfield--P'{o}lya's Theorem.}. Both theorems yield a formula that will count mathematical objects with regard to a group of symmetries. Burnside's Lemma utilizes the concept of orbits to count mathematical objects with regard to symmetry. As a result of the Burnside Lemma's reliance on orbits, implementation of the lemma can be computationally heavy. In comparison, P'{o}lya's Enumeration Theorem's use of the cycle index of a group eases the computational burden. In addition, P'{o}lya's Enumeration Theorem allows for the introduction of weights allowing the reader to tackle more complicated problems. Building from basic definitions taken from abstract algebra a presentation of the theory leading up to P'{o}lya's Enumeration Theorem is given, complete with proofs. Examples are given throughout to illustrate these concepts. Applications of this theory are present in the enumeration of graphs and chemical compounds.

Sammendrag I kapittel 1 gjøres klart hvilke forkunnskaper som er nødvendige for å kunne forstå og ha utbytte av å lese denne oppgaven. Det henvises også til litteratur som kan brukes som oppslagsverk hvis noen begreper under lesningen skulle være ukjente. I kapittel 2 klargjøres sentrale begreper som fikspunkt, kontraksjon og kompletthet. Dernest presenteres Banachs fikspunktteorem med bevis. Kapitlet peker også mot ulike anvendelser av teoremet. Kapittel 3 handler i sin helhet om den velkjente Newtons metode. I sin enkelthet demonstrerer den hvordan vi kan finne tilnærmede løsninger ved iterasjoner. Arbeid med denne metoden er derfor nyttig for forståelse av Banachs fikspunktteorem og anvendelser av teoremet i mer abstrakte sammenhenger. I kapittel 4 viser vi hvordan vi kan finne en tilnærmet løsning av en partiell differensialligning ved hjelp Jacobi-iterasjon. For å demonstrere metoden tar vi utgangspunkt i et velkjent varmeledningsproblem. Vi bruker Banachs fikspunktteorem for å vise at metoden kan brukes i vårt tilfelle. Dette leder oss inn i flere disipliner av matematikken, og vi får derved demonstrert ulike teknikker for å løse denne type problemer. I kapittel 5 dreier det seg om differensialligninger og integralligninger. Som vi skal se har Picards entydighets- og eksistensteorem nær tilknytning til Banachs fikspunktteorem. Vi vil få demonstrert hvordan metoden kan brukes til å finne tilnærmede løsninger og i noen tilfeller eksakte løsninger av ordinære differensialligninger. Vi gir også et enkelt eksempel på bruk av Banachs fikspunktteorem i forhold til en spesiell type integralligning, Fredholm-ligninger. I kapittel 6 bruker vi Banachs fikspunktteorem til å bevise det inverse funksjonsteoremet. I kapittel 7 er siktemålet å sette The Scottish Café inn i en kulturhistorisk sammenheng. Vi begynner med å skissere et historisk bakteppe hvor vi søker å gi en viss oversikt over Polens historie. Behandlingen av jøder i Polen fram til 1940 blir et hovedtema. Dernest beskriver vi historien til The Scottish Café. Vi gir også en vurdering av hvilke faktorer som hadde betydning for utviklingen av miljøet. Noe av hovedkonklusjonen er at utviklinv vi gen av de sterke matematikkmiljøene i Polen i mellomkrigstiden langt på vei kan sees på som en del av nasjonsbyggingen i Polen. Utviklingen av det spesielle og særegne miljøet i The Scottish Café kan derimot sees som en reaksjon på antisemittismen i det polske samfunnet. I kapittel 8 finner vi noen refleksjoner over det vi har arbeidet med.

Vi innfører klassen av kvasikonforme avbildninger i det komplekse planet, og viser en rekke fundamentale egenskaper ved disse. Herunder den målbare avbildningssatsen. Heretter anvendes disse resultatene til å vise klassifikasjonssetningen for fikserte fatoukomponenter i sin optimale form. Det vil si, vi viser riktigheten av Fatous formodning om vandrende komponenter, og eksistens av siegeldisker og hermanringer. Fokus i bevisførelsen er på anvendelser av kvasikonforme avbildninger.

Oppgaven handler om fouriertransformasjon av generaliserte funksjoner, med spesiell vekt på fouriertransformasjon av hyperfunksjoner. Transformasjonen på hyperfunksjoner er deretter sammenlignet med Carlemans fouriertransform, som er en av de tidlige generaliseringene av den klassiske fouriertransformen. Det er vist at begge transformene er symmetriske, det vil si at invers fouriertransform er også definert på samme rom. Videre vises det at begge transformene generaliserer både den klassiske fouriertransformen og Schwartz' fouriertransform av distribusjoner med kompakt support.

La recherche qui suit consiste en une analyse des vidéoclips de musique, mais plus précisément l’influence pornographique dans les vidéoclips de musique. L’arrivée des médias de masse a permis à la pornographie à s’introduire dans des éléments qui ne lui étaient pas auparavant accessibles. Nous retrouvons maintenant les codes pornographiques et techniques de caméra utilisé dans les films pornographiques au sein des vidéoclips. Cette étude a deux composantes, premièrement une analyse des liens entre l’industrie pornographique et l’industrie de la musique et, deuxièmement, deux différentes analyses de contenu des vidéoclips diffusés par la chaîne de télévision Much Music. La première analyse concerne une émission spécialisée diffusée l’hiver 2007 intitulée « The top 50 sexiest music videos » et la deuxième couvre les vidéoclips diffusés du top trente de la période de janvier 2009 à avril 2009. En comparant nos trouvailles à ceux des autres chercheurs, il est possible de postuler qu’il y a aujourd’hui une importante augmentation de la représentation sexuelle implicite et explicite dans les vidéoclips. Les liens établis entre l’industrie pornographique et l’industrie de la musique sont désormais directs.

La recherche qui suit consiste en une analyse des vidéoclips de musique, mais plus précisément l’influence pornographique dans les vidéoclips de musique. L’arrivée des médias de masse a permis à la pornographie à s’introduire dans des éléments qui ne lui étaient pas auparavant accessibles. Nous retrouvons maintenant les codes pornographiques et techniques de caméra utilisé dans les films pornographiques au sein des vidéoclips. Cette étude a deux composantes, premièrement une analyse des liens entre l’industrie pornographique et l’industrie de la musique et, deuxièmement, deux différentes analyses de contenu des vidéoclips diffusés par la chaîne de télévision Much Music. La première analyse concerne une émission spécialisée diffusée l’hiver 2007 intitulée « The top 50 sexiest music videos » et la deuxième couvre les vidéoclips diffusés du top trente de la période de janvier 2009 à avril 2009. En comparant nos trouvailles à ceux des autres chercheurs, il est possible de postuler qu’il y a aujourd’hui une importante augmentation de la représentation sexuelle implicite et explicite dans les vidéoclips. Les liens établis entre l’industrie pornographique et l’industrie de la musique sont désormais directs.

Les graphiques biplots peuvent être associés à l'analyse des correspondances principales, à l'analyse canonique, aux modèles biadditifs, à l'analyse des correspondances ainsi qu'à l'analyse des correspondances multiples. Chacune de ces techniques nécessite des mathématiques algébriques particulières afin de tracer les graphiques biplots. Dans le cadre de ce travail, on présente la théorie mathématique de l'analyse des correspondances multiples ainsi que celle du biplot associé à cette analyse. La méthodologie du biplot y est présentée à l'aide d'une analyse des correspondances multiples sur un ensemble de données; celui-ci fut recueilli à la suite d'une enquête faite par madame Suzanne Laberge sur la mixité au secondaire dans les cours d'éducation physique. Une première étude avait auparavant été faite avec le logiciel statistique SPSS. Ce travail présente tout d'abord ce premier rapport ainsi que la transcription des programmes SPSS en programmes SAS (logiciel utilisé à l'UQÀM). Puis, les résultats obtenus de la première étude de madame Laberge sont analysés à l'aide des graphiques biplots et les résultats que nous obtiendrons nous amèneront à vouloir améliorer cette étude.

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