Cette thèse concerne les équations différentielles fonctionnelles à retard. Son objectif est d'étendre la technique de stroboscopie initialement élaborée dans le cadre des équations différentielles ordinaires, puis de présenter une approche nouvelle dans la justification de la méthode de moyennisation basée sur ladite technique. Dans un premier temps, nous proposons une formulation adaptée de la technique de stroboscopie originale que nous appliquons pour montrer des résultats de moyennisation pour des équations qui se ramènent à la forme dite normale. Dans un second temps, nous commençons par étendre aux cas des équations différentielles fonctionnelles à retard, et de manière naturelle, la technique de stroboscopie proposée. Nous l'utilisons ensuite pour étendre les résultats de moyennisation aux équations rapidement oscillantes. Les résultats sur la moyennisation obtenus dans cette thèse généralisent ceux de la littérature existante.

Le chapitre 1 rappelle la théorie de Tikhonov pour les systèmes lents-rapides quand la dynamique rapide est stationnaire. Le chapitre 2 examine le théorème de Pontryagin-Rodygin dans lequel la dynamique rapide est périodique. Ce résultat est redémontré en marquant son caractère topologique. Ces résultats concernent les temps finis. Nous indiquons dans le chapitre 3 comment la théorie géométrique des perturbations étudie le cas de la dynamique rapide oscillante. Dans le chapitre 4, des résultats d'approximations pour des temps infinis sont établis quand la dynamique lente converge vers un compact positivement invariant et sont interprétés en termes de stabilité pratique. Le chapitre 5 est consacré au cas où l'équation rapide admet des cycles avec relaxation. Un résultat rigoureux décrit le mouvement lent, la preuve étant basée sur la méthode de stroboscopie. Les résultats sont énoncés dans le cadre des mathématiques classiques mais démontrés à l'aide des outils de l'analyse non standard. Le chapitre 6 est une étude d'un modèle de compétition de dimension 4. Le point de départ se trouve dans des exposés du Pr. C. Lobry qui a construit un modèle où trois espèces x1, x2 et x3 sont en compétition sur une seule proie s, la coexistence de x2 et x3 semblant possible au travers de simulations numériques, pendant que s et x1 oscillent. Nous déterminons le système moyennisé qui décrit l'évolution lente du couple (x2,x3). Nous établissons des conditions suffisantes de persistance et illustrons les résultats par des exemples et des simulations numériques.

L’Analyse Non Standard (l’ANS) est un formalisme mathématique particulier inventé dans les années 1960 par le mathématicien A. Robinson. Ce formalisme permet de renouer avec les infinitésimaux de Leibniz qui avaient été abandonnés au XIXème siècle pour satisfaire aux exigences nouvelles de la « rigueur ». Sa pertinence a été contestée par divers mathématiciens parmi les plus grands et a donné naissance à une polémique dans les milieux mathématiques français ; les partisans de l’ANS en sont sortis vaincus et ne se sont plus guère exprimés après 1995. Un quart de siècle plus tard l’ANS est considérée au plan international comme une pratique tout à fait légitime et certains mathématiciens, à leur tour parmi les plus grands, en préconisent l’usage.Pourquoi cette mauvaise réception d’idées nouvelles en mathématiques dans un pays réputé pour son excellence dans ce domaine ?Il est normal que des idées révolutionnaires, voire simplement nouvelles, rencontrent de la résistance et suscitent un débat. Toutefois on observe que ce débat qui commençait à prendre de l’importance au début des années 1980 a été étouffé dans les années 1990 par ceux qui avaient en charge les institutions de la communauté mathématique. Pourquoi ce refus du débat ?La thèse soutenue est que, à cette époque, une des fonctions que l’idéologie dominante assigne aux mathématiques est de dire le vrai ; par exemple les théories économiques libérales prétendent à la scientificité parce que fortement mathématisées. Ne dit-on pas c’est mathématique pour affirmer d’une chose qu’elle est inéluctable. Une dispute trop visible sur la nature de la rigueur mathématique aurait risqué de brouiller cette image du mathématicien. Dans le même ordre d’idées, à la même époque, la communauté mathématique (et plus généralement scientifique) avait refusé de débattre avec un de ses membres les plus brillants, A. Grothendieck, de la responsabilité sociale du savant.Cette question de la réception de l’ ANS illustre la thèse bien connue que si une science se développe en partie pour résoudre des problèmes qu’elle se pose à elle même, ici donner un statut logique irréprochable à la pratique des infinitésimaux, cette motivation interne ne suffit pas à elle seule à expliquer tous les aspects de son développement. Les savants doivent tenir compte de la société dans laquelle ils vivent. Il est intéressant de faire ce constat dans le domaine des mathématiques dites pures, c’est à dire qui se prétendent en dehors de toute contrainte et ne travailler que pour l’honneur de l’esprit humain, pour reprendre la célèbre formule de Jacobi. / Non Standard Analysis (ANS) is a particular mathematical formalism invented in the 1960s by the mathematician A. Robinson. This formalism allows to reconnect with the infinitesimals of Leibniz which had been abandoned in the nineteenth century to satisfy the new requirements of rigor. Its relevance has been challenged by various mathematicians among the greatest and gave birth to a controversy in the French mathematical circles ; the supporters of the ANS came out defeated and hardly spoke after 1995. A quarter of a century later, ANS is considered internationally as a perfectly legitimate practice and some mathematicians, including famous ones, advocate its use.Why this bad reception of new ideas in a country renowned for its excellence in the field of mathematical research?It is natural for revolutionaries, or simply news ideas, to be at the origin of resistance and debate. However, we observe that this debate, which was starting and gaining importance in the early 1980’s, was stifled by those who were in charge of the institutions of the mathematical community. Why this refusal of debate?My thesis is that, at this time, one of the functions that the dominant ideology assigned to mathematics was to « say the truth »; for example liberal economic theories claim to scientificity because they are highly mathematized. It is commun to say « it is mathematical » to say that something is unavoidable. A dispute too visible about the nature of mathematical rigor could blur this image of the mathematician. In the same vein, at the same time, the mathematical (and more generally scientific) community had refused to debate with one of its most brilliant members, A. Grothendieck, on the social responsibility of the scientist.This question of the reception of the ANS illustrates the well-known thesis that if a science develops partly to solve problems that it poses to itself, in our case to give an irreproachable logical status to the practice of infinitesimals, this internal motivation is not enough on its own to explain all aspects of its development. Scholars must consider the society in which they live. It is interesting to make this observation in the so-called field of pure mathematics, which claim to be free from all constraints and work only « for the honor of the human mind » to use Jacobi's famous formula.

La théorie présentée ici est issue d'années d'enseignement de l'analyse au niveau pré-universitaire en utilisant d'abord le concept d'infiniment petit, tel que défini dans l'analyse nonstandard de Robinson, puis ensuite d'ultrapetit, tel que défini dans notre travail en collaboration avec Hrbacek et Lessmann et présenté en annexe. A la suite de ces recherches, s'est posée la question : Si l'on a à disposition des quantités finies mais ultragrandes, est-il possible de se passer de quantités dites infinies ? La théorie alternative des ensembles de Vopěnka est une théorie avec des ensembles finis et des classes qui, elles, peuvent être infinies. La théorie des objets est le résultat d'un mélange de certains axiomes de Vopěnka avec des axiomes déterminant des niveaux de visibilité tels que dans l'analyse relative. On s'est donné comme premier principe : $x\subseteq y\Rightarrow x\sqsubseteq y$ qui spécifie que si l'objet $x$ est inclus dans l'objet $y$, alors $x$ "paraît" au niveau de $y$. Cette affirmation serait fausse avec des quantités infinies ; elle est néanmoins une caractérisation des ensembles finis : cela est bien connu en analyse nonstandard. L'introduction de ce principe comme point de départ est donc une affirmation forte que les objets devront être finis au sens habituel de ce terme. L'autre axiome fondateur ici est le schéma d'axiomes d'induction de Gordon et Andreev : Si $\Phi$ est une formule, et si $\Phi(\emptyset)$ est vrai et que $\Phi(x)$ et $\Phi(y)$ impliquent $\Phi(x\cup\{y\})$, alors $\Phi(x)$ est vrai pour tout $x$. Un accent particulier est mis sur le concept de formules dites contextuelles. Ce concept est une de nos contributions à l'analyse relative de Hrbacek et détermine les formules bien formées. On montre que le système qui en résulte est relativement cohérent avec la théorie FRIST de Hrbacek et la théorie RIST de Péraire qui sont elles-mêmes des extensions conservatives de ZFC. La théorie des objets est une extension de la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel sans axiome du choix et négation de l'axiome de l'infini. Les nombres entiers et rationnels sont définis et ces derniers sont munis de relations d'ultraproximité. Une ébauche d'une construction de "grains numériques" est présentée : ces nombres pourraient avoir des propriétés suffisamment semblables aux nombres réels pour permettre de faire de l'analyse. / The theory presented here stemmed from years of teaching analysis at pre-university level first using the concept of infinitesimal as defined in nonstandard analysis by Robinson, then the concept of ultrasmall as defined in our joint work with Hrbacek and Lessmann presented in the appendix. This research led to the question : If one has finite yet ultralarge quantities, is it possible to avoid infinite quantities ? The alternative set theory of Vopěnka is a theory of finite sets including classes that can be infinite. The theory of objects is a merger of certain axioms of Vopěnka with axioms that determine levels of visibility as in relative analysis. We took as first principle : $x\subseteq y\Rightarrow x\sqsubseteq y$, which specifies that if object $x$ is included in object $y$, then $x$ "appears" at the level of $y$. This statement would be false with infinite quantities and is in fact a characterisation of finite sets : this is a well-known theorem of nonstandard analysis. The introduction of this principle as starting point is making a strong point that all objects will be finite - in the usual sense of the word. The other founding axiom is Gordon and Andreev's axiom schema : If $\Phi$ is a formula, and if $\Phi(\emptyset)$ is true and that $\Phi(x)$ and $\Phi(y)$ imply $\Phi(x\cup\{y\})$, then $\Phi(x)$ is true for all $x$. An emphasis is made on the concept of contextual formulae. This concept is one of our contributions to relative analysis of Hrbacek and determines an equivalence to well-formed formulae. We show that the resulting system is relatively consistent with Hrbacek's FRIST and Péraire's RIST which are conservative extensions of ZFC. The theory of objects extends set theory of Zermelo and Fraenkel without choice and with negation of the infinity axiom. Integers and rationals are defined and endowed with an ultraproximity relation. A draft of a construction of "numeric grains" is presented : these numbers could prove to have properties sufficiently similar to real numbers to allow to perform analysis.

Les systèmes industriels complexes sont des objets artificiels conçus par l'Homme, et constitués d'un grand nombre de composants hétérogènes (e.g. matériels, logiciels ou organisationnels) collaborant pour accomplir une mission globale. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation du comportement fonctionnel de tels systèmes, ainsi qu'à leur intégration. Nous modéliserons donc les systèmes réels par le biais d'une approche de boîte noire fonctionnelle avec un état interne, dont la structure et le comportement fonctionnel peuvent être obtenus par l'intégration récursive de composants élémentaires hétérogènes.