According to the theory of NPcompleteness, many problems that have important realworld applications are NPhard. This excludes the possibility of solving them in polynomial time unless P=NP. A number of approaches have been proposed in dealing with NPhard problems, among them are approximation algorithms and parameterized algorithms. The study of approximation algorithms tries to find good enough solutions instead of optimal solutions in polynomial time, while parameterized algorithms try to give exact solutions when a natural parameter is small. In this thesis, we study the structural properties of parameterized computation and approximation algorithms for NP optimization problems. In particular, we investigate the relationship between parameterized complexity and polynomialtime approximation scheme (PTAS) for NP optimization problems. We give nice characterizations for two important subclasses in PTAS: Fully Polynomial Time Approximation Scheme (FPTAS) and Effcient Polynomial Time Approximation Scheme (EPTAS), using the theory of parameterized complexity. Our characterization of the class FPTAS has its advantages over the former characterizations, and our characterization of EPTAS is the first systematic investigation of this new but important approximation class. We develop new techniques to derive strong computational lower bounds for certain parameterized problems based on the theory of parameterized complexity. For example, we prove that unless an unlikely collapse occurs in parameterized complexity theory, the clique problem could not be solved in time O(f (k)no(k)) for any function f . This lower bound matches the upper bound of the trivial algorithm that simply enumerates and checks all subsets of k vertices in the given graph of n vertices. We then extend our techniques to derive computational lower bounds for PTAS and EPTAS algorithms of NP optimization problems. We prove that certain NP optimization problems with known PTAS algorithms have no PTAS algorithms of running time O(f (1/Epsilon)no(1/Epsilon)) for any function f . Therefore, for these NP optimization problems, although theoretically they can be approximated in polynomial time to an arbitrarily small error bound Epsilon, they have no practically effective approximation algorithms for small error bound Epsilon. To our knowledge, this is the first time such lower bound results have been derived for PTAS algorithms. This seems to open a new direction for the study of computational lower bounds on the approximability of NP optimization problems.

Portfolio Management is the process of allocating an investor's wealth to in­ vestment opportunities over a given planning period. Not only should Portfolio Management be treated within a multi-period framework, but one should also take into consideration the stochastic nature of related parameters. After a short review of key concepts from Finance Theory, e.g. utility function, risk attitude, Value-at-rusk estimation methods, a.nd mean-variance efficiency, this work describes a framework for the formulation of the Portfolio Management problem in a Stochastic Programming setting. Classical solution techniques for the resolution of the resulting Stochastic Programs (e.g. L-shaped Decompo­ sition, Approximation of the probability function) are presented. These are discussed within both the two-stage and the multi-stage case with a special em­ phasis on the former. A description of how Importance Sampling and EVPI are used to improve the efficiency of classical methods is presented. Postoptimality Analysis, a sensitivity analysis method, is also described. / Statistics / M. Sc. (Operations Research)

Portfolio Management is the process of allocating an investor's wealth to in­ vestment opportunities over a given planning period. Not only should Portfolio Management be treated within a multi-period framework, but one should also take into consideration the stochastic nature of related parameters. After a short review of key concepts from Finance Theory, e.g. utility function, risk attitude, Value-at-rusk estimation methods, a.nd mean-variance efficiency, this work describes a framework for the formulation of the Portfolio Management problem in a Stochastic Programming setting. Classical solution techniques for the resolution of the resulting Stochastic Programs (e.g. L-shaped Decompo­ sition, Approximation of the probability function) are presented. These are discussed within both the two-stage and the multi-stage case with a special em­ phasis on the former. A description of how Importance Sampling and EVPI are used to improve the efficiency of classical methods is presented. Postoptimality Analysis, a sensitivity analysis method, is also described. / Statistics / M. Sc. (Operations Research)

Le but de cette thèse est de définir une méthode d'optimisation de formes qui conjugue l'utilisation de la dérivée seconde de forme et la méthode des lignes de niveaux pour la représentation d'une forme.On considèrera d'abord deux cas plus simples : un cas d'optimisation paramétrique et un cas d'optimisation discrète.Ce travail est divisé en quatre parties.La première contient le matériel nécessaire à la compréhension de l'ensemble de la thèse.Le premier chapitre rappelle des résultats généraux d'optimisation, et notamment le fait que les méthodes d'ordre deux ont une convergence quadratique sous certaines hypothèses.Le deuxième chapitre répertorie différentes modélisations pour l'optimisation de formes, et le troisième se concentre sur l'optimisation paramétrique puis l'optimisation géométrique.Les quatrième et cinquième chapitres introduisent respectivement la méthode des lignes de niveaux (level-set) et la méthode des éléments-finis.La deuxième partie commence par les chapitres 6 et 7 qui détaillent des calculs de dérivée seconde dans le cas de l'optimisation paramétrique puis géométrique.Ces chapitres précisent aussi la structure et certaines propriétés de la dérivée seconde de forme.Le huitième chapitre traite du cas de l'optimisation discrète.Dans le neuvième chapitre on introduit différentes méthodes pour un calcul approché de la dérivée seconde, puis on définit un algorithme de second ordre dans un cadre général.Cela donne la possibilité de faire quelques premières simulations numériques dans le cas de l'optimisation paramétrique (Chapitre 6) et dans le cas de l'optimisation discrète (Chapitre 7).La troisième partie est consacrée à l'optimisation géométrique.Le dixième chapitre définit une nouvelle notion de dérivée de forme qui prend en compte le fait que l'évolution des formes par la méthode des lignes de niveaux, grâce à la résolution d'une équation eikonale, se fait toujours selon la normale.Cela permet de définir aussi une méthode d'ordre deux pour l'optimisation.Le onzième chapitre détaille l'approximation d'intégrales de surface et le douzième chapitre est consacré à des exemples numériques.La dernière partie concerne l'analyse numérique d'algorithmes d'optimisation de formes par la méthode des lignes de niveaux.Le Chapitre 13 détaille la version discrète d'un algorithme d'optimisation de formes.Le Chapitre 14 analyse les schémas numériques relatifs à la méthodes des lignes de niveaux.Enfin le dernier chapitre fait l'analyse numérique complète d'un exemple d'optimisation de formes en dimension un, avec une étude des vitesses de convergence / The main purpose of this thesis is the definition of a shape optimization method which combines second-order differentiationwith the representation of a shape by a level-set function. A second-order method is first designed for simple shape optimization problems : a thickness parametrization and a discrete optimization problem. This work is divided in four parts.The first one is bibliographical and contains different necessary backgrounds for the rest of the work. Chapter 1 presents the classical results for general optimization and notably the quadratic rate of convergence of second-order methods in well-suited cases. Chapter 2 is a review of the different modelings for shape optimization while Chapter 3 details two particular modelings : the thickness parametrization and the geometric modeling. The level-set method is presented in Chapter 4 and Chapter 5 recalls the basics of the finite element method.The second part opens with Chapter 6 and Chapter 7 which detail the calculation of second-order derivatives for the thickness parametrization and the geometric shape modeling. These chapters also focus on the particular structures of the second-order derivative. Then Chapter 8 is concerned with the computation of discrete derivatives for shape optimization. Finally Chapter 9 deals with different methods for approximating a second-order derivative and the definition of a second-order algorithm in a general modeling. It is also the occasion to make a few numerical experiments for the thickness (defined in Chapter 6) and the discrete (defined in Chapter 8) modelings.Then, the third part is devoted to the geometric modeling for shape optimization. It starts with the definition of a new framework for shape differentiation in Chapter 10 and a resulting second-order method. This new framework for shape derivatives deals with normal evolutions of a shape given by an eikonal equation like in the level-set method. Chapter 11 is dedicated to the numerical computation of shape derivatives and Chapter 12 contains different numerical experiments.Finally the last part of this work is about the numerical analysis of shape optimization algorithms based on the level-set method. Chapter 13 is concerned with a complete discretization of a shape optimization algorithm. Chapter 14 then analyses the numerical schemes for the level-set method, and the numerical error they may introduce. Finally Chapter 15 details completely a one-dimensional shape optimization example, with an error analysis on the rates of convergence

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Le problème du « Shape From Shading » est aujourd'hui considéré comme un problème mal posé et difficile à résoudre. Afin de bien comprendre les difficultés de ce problème et d'apporter des solutions fiables et pertinentes, nous proposons une approche rigoureuse basée sur la notion de solution de viscosité.<br />Après avoir considéré et exploité au maximum les équations (aux dérivées partielles) obtenues à partir de la modélisation classique du problème du « Shape From Shading », nous proposons et étudions de nouvelles équations provenant de modélisations plus réalistes que celles qui avaient été traitées classiquement dans la littérature. Cette démarche nous permet alors de démontrer qu'avec de telles nouvelles modélisations, le problème du « Shape From Shading » est généralement un problème complètement bien posé. En d'autres termes, nous prouvons que la version classique du problème du « Shape from Shading » est devenu mal posée à cause d'une trop grande simplification de la modélisation.<br />Dans ce travail, nous proposons aussi une extension de la notion de solutions de viscosité singulières développée récemment par Camilli et Siconolfi. Cette extension nous permet de proposer une nouvelle caractérisation des solutions de viscosité discontinues. Ce nouveau cadre théorique nous permet aussi d'unifier les différents résultats théoriques proposés dans le domaine du « Shape From Shading ».