Le travail présenté dans cette thèse concerne l'étude de la notion de conversion inhérente à tous système de types dépendants. Plusieurs présentations de ces systèmes ont été étudiées pour des usages variés: typage, recherche de preuve, cohérence de logique... Chacune de ces représentation est accompagnée d'une notion d'égalité différente, suivant les besoins du moment. Mais il n'est pas certains que toutes ces représentations parlent en fin de compte d'une seule et même logique. Nous nous intéressons ici à une famille assez conséquente de systèmes de types, appelés Systèmes de Types Purs, et nous allons prouver que pour ces systèmes, toutes les représentations habituellement utilisées sont en fait équivalentes, c'est à dire qu'il existe des traductions constructives entre chacune de ces présentations. Ces traductions reposent toutes sur la manière de porter une égalité d'un système à l'autre. Ce travail se concentre donc sur les mécanismes de ces égalités, et prouve qu'il est possible de typer n'importe quelle égalité syntaxique en égalité sémantique, et ainsi qu'il est donc possible de passer d'un système à l'autre. L'intégralité de cette thèse a en outre été vérifiée et certifiée correcte à l'aide de l'assistant à la preuve Coq, qui a activement été utilisé tout au long de l'élaboration des preuves. ~

Les contributions majeures de cette thèse s'articulent autour des trois axes de base de la linguistique computationnelle, à savoir la logique, la linguistique et l'informatique. Nous proposons ainsi un nouveau système non-directionnel GLE permettant de simuler les opérations transformationnelles du Programme Minimaliste dans un cadre logique qui fait appel au raisonnement hypothétique de manière contrôlée. La pertinence de ce formalisme est soulignée en montrant sa capacité à prendre en charge des phénomènes linguistiques complexes, nécessitant un partage contraint de ressources, tels que le liage d'anaphores ou la résolution d'ellipse. En outre, nous présentons un atelier logique, nommé ICHARATE, destiné à la recherche et l'enseignement de la linguistique computationnelle. Cet outil est composé de bibliothèques pour l'assistant à la démonstration Coq, qui comprennent la formalisation de systèmes logiques avancés dédiés au traitement des langues naturelles, dont la logique multimodale.

Cette thèse a pour but de certifier des bornes inférieures de fonctions multivariées à valeurs réelles, définies par des expressions semi-algébriques ou transcendantes et de prouver leur validité en vérifiant les certificats dans l'assistant de preuves Coq. De nombreuses inégalités de cette nature apparaissent par exemple dans la preuve par Thomas Hales de la conjecture de Kepler. Dans le cadre de cette étude, on s'intéresse à des fonctions non-linéaires, faisant intervenir des opérations semi-algébriques ainsi que des fonctions transcendantes univariées (cos, arctan, exp, etc). L'utilisation de différentes méthodes d'approximation permet de relâcher le problème initial en un problème d'optimisation semi-algébrique. On se ramène ainsi à des problèmes d'optimisation polynomiale, qu'on résout par des techniques de sommes de carrés creuses. Dans un premier temps, nous présentons une technique classique d'optimisation globale. Les fonctions transcendantes univariées sont approchées par les meilleurs estimateurs polynomiaux uniformes de degré d. Par la suite, nous présentons une méthode alternative, qui consiste a borner certains des constituants de la fonction non-linéaire par des suprema de formes quadratiques (approximation maxplus, introduite à l'origine en contrôle optimal) de courbures judicieusement choisies. Enfin, cet algorithme d'approximation est amélioré, en combinant l'idée des estimateurs maxplus et de la méthode des gabarits développée par Manna et al. (en analyse statique). Les gabarits non-linéaires permettent un compromis sur la precision des approximations maxplus afin de contrôler la complexité des estimateurs semi-algébriques. Ainsi, on obtient une nouvelle technique d'optimisation globale, basée sur les gabarits, qui exploite à la fois la precision des sommes de carrés et la capacité de passage à l'échelle des méthodes d'abstraction. L'implémentation de ces méthodes d'approximation a abouti à un outil logiciel : NLCertify. Cet outil génère des certificats à partir d'approximations semi-algébriques et de sommes de carrés. Son interface avec Coq permet de bénéficier de l'arithmétique certifiée disponible dans l'assistant de preuves, et ainsi d'obtenir des estimateurs et des bornes valides pour chaque approximation. Nous démontrons les performances de cet outil de certification sur divers problèmes d'optimisation globale ainsi que sur des inégalités serrées qui interviennent dans la preuve de Hales.