Nesta tese são estudados alguns tópicos sobre otimização ergódica e formalismo termodinâmico que generalizam resultados, de Contreras, Lopes e Thieullen (2006), Garibaldi e Lopes (2008) no primeiro caso e Baraviera, Lopes e Thieullen (2006), Bissacot, Mengue e Pérez (2006) no segundo, para contextos onde não existem medidas de Gibbs, ou, em outras palavras, não é satisfeita a propriedade BIP. É demonstrada a existência de subações calibradas para potenciais coercivos de variação finita em espaços shift transitivos de alfabeto enumerável. O método usado é a construção da barreira de Peierls nesse contexto. Provam-se algumas das propriedades da barreira de Peierls e, como consequência das construções, é mostrada uma classificação dos shifts que possuem subações calibradas e limitadas. Posteriormente é realizado um estudo do formalismo termodinâmico para potenciais somáveis de variação finita e pressão finita com medida maximizante única f em shifts topologicamente mixing. Fazendo uso dos resultados de Freire e Vargas (2015), são estudadas a famlia de estados de equilbrio correspondente com f e a famlia de funções 1/B log h_ B , onde h_B são auto vetores do operador de Ruelle para Bf . É demonstrado que os pontos de acumulação quando B vai para infinito são subações uniformemente contnuas. Finalmente é provada uma propriedade dos grandes desvios para a famlia de estados de equilbrio \\mu_B com hipóteses sobre a convergência de uma famlia de funções g_B que normaliza o operador de Ruelle para cada B> 1 (Veja seção 4.4) / In this thesis, the study of topics on ergodic optimization and thermodynamic formalism for countable Markov shifts is presented. It provides a generalization of the previous results, in Contreras, Lopes and Thieullen (2006), Garibaldi and Lopes (2008) for the first subject and Baraviera, Lopes and Thieullen (2006), Bissacot, Mengue e Pérez (2006) for the second one, to situations where there are no Gibbs measures, ie, the BIP property is not verified. The existence of calibrated subactions for coercive potentials with finite variation over transitive countable Markov shifts is proved. The method is based on the construction of the Peierls barrrier in this context. Some properties of the Peierls barrier are proved and, as consequence of the proof, a classification of the Markov shifts which support calibrated and limited subactions is shown. Subsequently, the thermodynamic formalism for topologically mixing Markov shift and summable potentials with finite variation, finite pressure and unique maximizing measure f is studied. Using results in Freire and Vargas (2015), the class of equilibrium states corresponding with f and the class of functions 1/ log h_B are studied where h_B are the eigenfunctions for the Ruelle operator. It is proved that its accumulation points, as goes to infinity, are uniformly continuous subactions. Finally, it is proved a large deviation principle for the equilibrium states family \\mu_B , assuming a hypothesis about the convergence in a family of functions that normalizes the Ruelle operator (See section 4.4 for more details).

Nesta tese são estudados alguns tópicos sobre otimização ergódica e formalismo termodinâmico que generalizam resultados, de Contreras, Lopes e Thieullen (2006), Garibaldi e Lopes (2008) no primeiro caso e Baraviera, Lopes e Thieullen (2006), Bissacot, Mengue e Pérez (2006) no segundo, para contextos onde não existem medidas de Gibbs, ou, em outras palavras, não é satisfeita a propriedade BIP. É demonstrada a existência de subações calibradas para potenciais coercivos de variação finita em espaços shift transitivos de alfabeto enumerável. O método usado é a construção da barreira de Peierls nesse contexto. Provam-se algumas das propriedades da barreira de Peierls e, como consequência das construções, é mostrada uma classificação dos shifts que possuem subações calibradas e limitadas. Posteriormente é realizado um estudo do formalismo termodinâmico para potenciais somáveis de variação finita e pressão finita com medida maximizante única f em shifts topologicamente mixing. Fazendo uso dos resultados de Freire e Vargas (2015), são estudadas a famlia de estados de equilbrio correspondente com f e a famlia de funções 1/B log h_ B , onde h_B são auto vetores do operador de Ruelle para Bf . É demonstrado que os pontos de acumulação quando B vai para infinito são subações uniformemente contnuas. Finalmente é provada uma propriedade dos grandes desvios para a famlia de estados de equilbrio \\mu_B com hipóteses sobre a convergência de uma famlia de funções g_B que normaliza o operador de Ruelle para cada B> 1 (Veja seção 4.4) / In this thesis, the study of topics on ergodic optimization and thermodynamic formalism for countable Markov shifts is presented. It provides a generalization of the previous results, in Contreras, Lopes and Thieullen (2006), Garibaldi and Lopes (2008) for the first subject and Baraviera, Lopes and Thieullen (2006), Bissacot, Mengue e Pérez (2006) for the second one, to situations where there are no Gibbs measures, ie, the BIP property is not verified. The existence of calibrated subactions for coercive potentials with finite variation over transitive countable Markov shifts is proved. The method is based on the construction of the Peierls barrrier in this context. Some properties of the Peierls barrier are proved and, as consequence of the proof, a classification of the Markov shifts which support calibrated and limited subactions is shown. Subsequently, the thermodynamic formalism for topologically mixing Markov shift and summable potentials with finite variation, finite pressure and unique maximizing measure f is studied. Using results in Freire and Vargas (2015), the class of equilibrium states corresponding with f and the class of functions 1/ log h_B are studied where h_B are the eigenfunctions for the Ruelle operator. It is proved that its accumulation points, as goes to infinity, are uniformly continuous subactions. Finally, it is proved a large deviation principle for the equilibrium states family \\mu_B , assuming a hypothesis about the convergence in a family of functions that normalizes the Ruelle operator (See section 4.4 for more details).