The shallow water system plays an important role in the numerical simulation of oceanic models, coastal flows and dam-break floods. Several kinds of source terms can be taken into account in this model, such as the influence of bottom topography, Manning friction effects and Coriolis force. For large scale oceanic phenomena, the Coriolis force due to the Earth’s rotation plays a central role since the atmospheric or oceanic circulations are frequently observed around the so-called geostrophic equilibrium which corresponds to the balance between the pressure gradient and the Coriolis source term. The ability of numerical schemes to well capture the lake at rest, has been widely studied. However, the geostrophic equilibrium issue, including the divergence free constraint on the velocity, is much more complex and only few works have been devoted to its preservation. In this manuscript, we design finite volume schemes that preserve the discrete geostrophic equilibriuminordertoimprovesignificantlytheaccuracyofnumericalsimulationsofperturbations around this equilibrium. We first develop collocated and staggered schemes on rectangular and triangular meshes for a linearized model of the original shallow water system. The crucial common point of the various methods is to adapt and combine several strategies known as the Apparent Topography, the Low Mach and the Divergence Penalisation methods, in order to handle correctly the numerical diffusions involved in the schemes on different cell geometries, so that they do not destroy geostrophic equilibria. Finally, we extend these strategies to the non-linear case and show convincing numerical results. / Le système de Saint-Venant joue un rôle important dans la simulation de modèles océaniques, d’écoulements côtiers et de ruptures de barrages. Plusieurs sortes de termes sources peuvent être pris en compte dans ce modèle, comme la topographie, les effets de friction de Manning et la force de Coriolis. Celle-ci joue un rôle central dans les phénomènes à grande échelle spatiale car les circulations atmosphériques ou océaniques sont souvent observées autour de l’équilibre géostrophique qui correspond à l’équilibre du gradient de pression et de cette force. La capacité des schémas numériques à bien reproduire le lac au repos a été largement étudiée; en revanche, la question de l’équilibre géostrophique (incluant la contrainte de vitesse à divergence nulle) est beaucoup plus complexe et peu de travaux lui ont été consacrés. Dans cette thèse, nous concevons des schémas volumes finis qui préservent les équilibres géostrophiques discrets dans le but d’améliorer significativement la précision des simulations numériques de perturbations autour de ces équilibres. Nous développons tout d’abord des schémas colocalisés et décalés sur des maillages rectangulaires ou triangulaires pour une linéarisation du modèle d’origine. Le point commun décisif de ces méthodes est d’adapter et de combiner les stratégies dites "topographie apparente", "bas Mach" et "pénalisation de divergence" pour contrôler l’effet de la diffusion numérique contenue dans les schémas, de telle sorte qu’elle ne détruise pas les équilibres géostrophiques. Enfin, nous étendons ces stratégies au cas non-linéaire et montrons des résultats prometteurs.

On étudie dans le cadre de la thèse une famille de schémas numériques permettant de résoudre les équations de Saint-Venant. Ces schémas utilisent une décomposition d'opérateur de type Lagrange-projection afin de séparer les ondes de gravité et les ondes de transport. Un traitement implicite du système acoustique (relié aux ondes de gravité) permet aux schémas de rester stable avec de grands pas de temps. La correction des flux de pression rend possible l'obtention d'une solution approchée précise quel que soit le régime d'écoulement vis-à-vis du nombre de Froude. Une attention toute particulière est portée sur le traitement du terme source qui permet la prise en compte de l'influence de la topographie. On obtient notamment la propriété dite équilibre permettant de conserver exactement certains états stationnaires, appelés état du "lac au repos". Des versions 1D et 2D sur maillages non-structurés de ces méthodes ont été étudiées et implémentées dans un cadre volumes finis. Enfin, une extension vers des méthodes ordres élevés Galerkin discontinue a été proposée en 1D avec des limiteurs classiques ainsi que combinée avec une boucle MOOD de limitation a posteriori. / In this thesis we study a family of numerical schemes solving the shallow water equations system. These schemes use a Lagrange-projection like splitting operator technique in order to separate the gravity waves and the transport waves. An implicit-explicit treatment of the acoustic system (linked to the gravity waves) allows the schemes to stay stable with large time step. The correction of the pressure fluxes enables the obtain of a precise approximation solution whatever the regime flow is with respect to the Froude number. A particular attention has been paid over the source term treatment which permits to take the topography into account. We especially obtain the so-called well-balanced property giving the exact conservation of some steady states, namely the "lake at rest" state. 1D and 2D versions of this methods have been studied and implemented in the finite volumes framework. Finally, a high order discontinuous Galerkin extension has been proposed in 1D with classical limiters along with a combined MOOD loop a posteriori limiting strategy.