Orientadores: Marcia Assumpção Guimarães Scialom, Jaime Angulo Pava / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-14T19:50:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 BanquetBrango_CarlosAlberto_D.pdf: 1282052 bytes, checksum: f15f0bcd3c49e3ffb900f598aafc2f73 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: O objetivo da tese é estudar algumas propriedades de soluções de equações diferenciais dispersivas. Primeiro, estabelecemos uma teoria de boa colocação local e global para a equação de Benjamin-Ono regularizada no contexto peri'odico, depois mostramos que o problema de Cauchy para esta equação (em ambos os casos periódico e não periódico) não pode ser resolvido usando um esquema iterativo baseado na fórmula de Duhamel em espaços de Sobolev com índice negativo. Adicionalmente, apresentamos a prova da existência de uma curva suave de soluções ondas viajantes periódicas, para a equação Benjamin-Ono regularizada, via o Teorema do Somatório de Poisson, com período minimal 2L fixo. Também é mostrado que estas soluções são não linearmente estáveis no espaço de energia H1/2per por perturbações do mesmo período. Como uma extensão da teoria estabelecida para a equação Benjamin-Ono regularizada é provado que as soluções ondas periódicas associadas as equações Benjamin-Bona-Mahony, Benjamin-Bona-Mahony modificada e 4-Benjamin-Bona-Mahony são não linearmente estáveis em H1per. Finalmente, provamos a existência e estabilidade não linear de uma família de soluções ondas dnoidal associadas ao sistema de Zakharov. Neste último caso, para obter as propriedades espectrais requeridas na prova da estabilidade foi usada a teoria de Floquet. / Abstract: The goal of this thesis is to study the properties of solutions of some dispersive differential equations. First, we develop a local and global well-posedness theory for the regularized Benjamin-Ono equation in the periodic setting, then, we show that the Cauchy problem for this equation (in both periodic and nonperiodic cases) cannot be solved by an iteration scheme based on the Duhamel formula for negative Sobolev indices. Additionally, a proof of the existence of a smooth curve of periodic travelling wave solutions, for the regularized Benjamin-Ono equation, with fixed minimal period 2L, is given. It is also shown that these solutions are nonlinearly stable in the energy space H1/2per by perturbations of the same wavelength. An extension of the theory developed for the regularized Benjamin-Ono equation is given and as examples it is proved that the periodic wave solutions associated to the Benjamin-Bona-Mahony, modified Benjamin-Bona-Mahony and 4-Benjamin-Bona- Mahony equations are nonlinearly stable in H1per. Finally, we prove the existence and the nonlinear estability of a family of dnoidal wave solutions associated to the Zakharov system. The Floquet theory is used in the last case to obtain the spectral properties required to prove the stability. / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Ademir Pastor Ferreira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T19:57:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Andrade_ThiagoPinguellode_D.pdf: 2608603 bytes, checksum: 20935cf463b03d1c5c1390b127a42f4f (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Nesta tese estudamos estabilidade orbital de ondas viajantes periódicas para modelos dispersivos. O estudo de ondas viajantes iniciou-se em meados do século XVIII quando John S. Russell estabeleceu que ondas de água em um canal raso possui evolução constante. A estratégia geral para se obter a estabilidade consiste em provar que a onda viajante em questão minimiza um funcional conservado restrito a uma certa variedade. No nosso contexto, seguindo tais ideias, minimizamos o funcional restrito a uma nova variedade. Embora acreditamos que a teoria possa ser aplicada a outros modelos, nos restringimos às equações de Benjamin-Bona-Mahony (BBM) com termo não linear fracionário e Korteweg-de Vries modificada (mKdV). Além disso, resultados similares para a equação de Gardner são obtidos, usando uma estreita relação que esta possui com a mKdV / Abstract: In this thesis we study the orbital stability of periodic traveling waves for dispersive models. The study of traveling waves started in the mid-18th century when John S. Russel established that the flow of water waves in a shallow channel has constant evolution. The general strategy to obtain stability consists in proving that the traveling wave in question minimizes a conserved functional restricted to a certain manifold. In our context, following such ideas, we minimize such a functional restricted to a new manifold. Although we believe our theory can be applied to other models, we deal with the Benjamin-Bona-Mahony (BBM) equation with fractional nonlinear terms and modified Korteweg-de Vries (mKdV) equation. Besides, similar stability results for the Gardner equation are obtained, using a close relation between this equation and the mKdV / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática