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Dans la première partie de la thèse, nous donnons les résultats classiques concernant l’espace de Hardy, les espaces modèles et les espaces de Bergman analytique et harmonique. Les notions de base telles que les projections et les noyaux reproduisant y sont introduites. Nous exposons ensuite nos résultats concernant d’une part, la stabilité du produit et la commutativité de deux opérateurs de Toeplitz quasihomogènes et d’autre part, la description matricielle des opérateurs de Toeplitz tronqués du type "a" "dans le cas de la dimension finie. / In the first part of the thesis,we give some classical results concerning theHardy space, models spaces and analytic and harmonic Bergman spaces. The basic concepts such as projections and reproducing kernels are introduced. We then describe our results on the the stability of the product and the commutativity of two quasihomogeneous Toeplitz operators on the harmonic Bergman space. Finally, we give the matrix description of truncated Toeplitz operators of type "a" in the finite dimensional case.

In this thesis we have investigated two different types of problems in multivariable operator theory. The first one deals with the defect sequence for contractive tuples and maximal con-tractive tuples. These condone deals with the wandering subspaces of the Bergman space and the Dirichlet space over the polydisc. These are described in thefollowing two sections. (I) The Defect Sequence for ContractiveTuples LetT=(T1,...,Td)bead-tuple of bounded linear operators on some Hilbert space H. We say that T is a row contraction, or, acontractive tuplei f the row operator (Pl refer the abstract pdf file)

La première partie de la thèse réunit des résultats classiques sur l’espace de Hardy, les espaces modèles et l’espace de Bergman. Puis sur cette base, nous exposons des travaux relatifs aux opérateurs de Toeplitz, en particulier, nous présentons la description du spectre et du spectre essentiel de ces opérateurs sur l’espace de Hardy et de Bergman. La première partie de notre recherche tire son inspiration de deux faits établis pour un opérateur de Toeplitz T. Premièrement, sur l’espace de Hardy, la norme de T, la norme essentielle de T et la norme infinie du symbole de T sont égales. Nous étudions ce cas d’égalité sur l’espace de Bergman pour les opérateurs de Toeplitz à symbole quasihomogène et radial. Deuxièmement, sur l’espace de hardy, le spectre et le spectre essentiel sont fortement liés à l’image du symbole de T. Nous étudions le cas d’égalité entre le spectre et l’image essentielle du symbole pour les symboles quasihomogènes et radials. Pour répondre à ces deux questions, nous utilisons la transformée de Berezin, les coefficients de Mellin et la moyenne du symbole. La dernière partie de la thèse s’interesse au théorème de Szegö qui donne un lien entre les valeurs propres d’une suite de matrices de Toeplitz de taille n, et le symbole de cette suite de matrice. Nous donnons un résultat du même type sur l’espace de Bergman pour les symboles harmoniques sur le disque et continus sur le cercle. Enfin, nous étudions une généralisation de ce théorème en compressant l’opérateur de Toeplitz sur une suite d’espaces modèles de dimension finie. / This thesis deals with the spectral properties of the Toeplitz operators in relation to their associated symbol. In the first part, we give some classical results about Hardy space, model spaces and Bergman space. Afterwards, we expose some results about Toeplitz operator on the Hardy space. In particular, we discuss their spectrum and essential spectrum. Our work is inspired from two facts which have been proved on the Hardy space. First, considering a Toeplitz operator T, the norm, essential norm, spectral radius of T and the supremum of its symbol are equal. Secondly, on the Hardy space, spectrum, essential spectrum and essential range are strongly related. We answer the question of the equality between the norms, the spectral radius and the supremum of the symbol and between spectrum and essential range on the Bergman space. We look at these two properties on the Bergman space when the symbol is radial or quasihomogeneous. We answer these questions using the Berezin transform, the Mellin coefficients and the mean value of the symbol. The last part deals with the classical Szegö theorem which underline a link between the eigenvalues of a Toeplitz matrix sequence and its symbol. We give a result of the same type on Bergman space considering harmonic symbol wich have a continuous extension. We give a generalization, considering the sequence of the compressions of a Toeplitz operator on a sequence of model spaces.

Cette thèse est consacrée à l'étude du problème de la cyclicité dans certains espaces de fonctions analytiques sur le disque unité. Nous nous intéressons aux espaces de type Bergman et aux espaces de type Korenblum. Dans la première partie, nous étudions les fonctions cycliques dans les espaces de type Korenblum en utilisant la notion des prémesures. Cette notion a été introduite et développée par B. Korenblum au début des années 1970s. En particulier, nous donnons une réponse positive à une conjecture énoncée par C. Deninger. Dans la deuxième partie, nous utilisons la méthode de la résolvante pour étudier la cyclicité des fonctions intérieures singulières associées aux mesures de Dirac dans les espaces de type Bergman à poids. / In this thesis, we study the cyclicity problem in some spaces of analytic functions on the open unit disc. We focus our attention on Korenblum type spaces and on weighted Bergman type spaces. First, we use the technique of premeasures, introduced and developed by Korenblum in the 1970-s and the 1980-s, to give a characterization of cyclic functions in the Korenblum type spaces. In particular, we give a positive answer to a conjecture by Deninger. Second, we use the so called resolvent transform method to study the cyclicity of the one point mass singular inner function in weighted Bergman type spaces, especially with weights depending on the distance to a subset of the unit circle.