Les équations différentielles constituent un important outil pour l'étude des variétés algébriques et analytiques, sur les nombres complexes et $p$-adiques. Dans le cas $p$-adique, elles présentent des phénomènes qui n'apparaissent pas dans le cas complexe. En effet, le rayon de convergence des solutions d'une équation différentielle linéaire peut être fini, et cela même en l'absence des pôles.La connaissance de ce rayon permet d’obtenir de nombreuses informations intéressantes sur l’équation. Plus précisément, depuis les travaux de F. Baldassarri, on sait associer un rayon de convergence à tout point d’une courbe p-adique au sens de Berkovich munie d’une connexion. Des travaux récents de F. Baldassarri, K. Kedlaya, J. Poineauet A. Pulita ont révélé que ce rayon se comporte de manière très contrainte. Afin de pousser l'étude, on introduit un objet géométrique qui raffine ce rayon, le spectre au sens de Berekovich d'une équation différentielle.Dans ce mémoire de thèse, nous définissons le spectre d'un module différentiel et donnons ses premières propriétés. Nous calculons aussi les spectres de quelques classes de modules différentiels: modules différentiels d'une équations différentielles à coefficients constants, modules différentiels singuliers réguliers et enfin modules différentiels sur un corps des séries de Laurent. / Differential equations constitute an important tool for theinvestigation of algebraic and analytic varieties, over thecomplex and the $p$-adic numbers. In the $p$-adic setting, theypresent phenomena that do not appear in the complex case. Indeed, theradius of convergence of the solutions of a linear differential equation,even without presence of poles.The knowledge of that radius permits to obtain several interestinginformations about the equation. More precisely, since the works ofF. Baldassarri, we know how to associate a radius of convergece to allpoint of a p-adic curve in the sense of Berkovich endowed with aconnexion. Recent works of F. Baldassarri, K.S. Kedlaya, J. Poineau, etA. Pulita have proved that this radius behave in a very controlledway. The radius of convergence can be refined using subsidiary radii,that are known to have similar properties. In order to push forward the study, we introduce a geometric object that refine this radius, thespectrum in the sense of Berkovich of a differential equation.In the present thesis, we define the spectrum of a differentialequation and provide its first properties. We also compute the spectraof some classes of differential modules: differential modules ofa differential équation with constant coefficients, singular regulardifferential modules and at last differential modules over the field ofLaurent power series.

Soit $k$ un corps ultramétrique complet, $L$ une extension galoisienne finie modérément ramifiée de $k$ et $X$ un espace $k$-analytique. Nous montrons que $X$ est isomorphe à un $k$-polydisque fermé (resp. une $k$-dentelle) si et seulement si $X_L$ est isomorphe à un $L$-polydisque fermé (resp. une $L$-dentelle) sur lequel l'action de $\Gal(L/k)$ est raisonnable. Nous montrons que $X$ est isomorphe à un $k$-bidisque fermé si et seulement si $X_L$ est isomorphe à un $L$-bidisque fermé. Dans le cadre de l'algèbre graduée: on calcule le premier ensemble pointé de cohomologie du groupe linéaire et des automorphismes du plan. / Let $k$ be a complete non-Archimedean field, $L$ a finite tamely ramified galoisian extension of $k$ and $X$ a $k$-analytic space. We show that $X$ is isomorphic to a closed $k$-polydisc (resp. a $k$-lace) if and only if $X_L$ is isomorphic to a closed $L$-polydisc (resp. a $L$-lace) on which the action of $\Gal(L/k)$ is reasonable. We show that $X$ is isomorphic to a closed $k$-bidisc if and only if $X_L$ is isomorphic to a closed $k$-bidisc. In the formalism of graduated algebra : we calculate the first pointed cohomology set of the general linear group and of the automorphisms of the plane.

Dans cette thèse nous étudions la filtration par le poids sur la cohomologie de De Rham d’une courbe hyperelliptique C définie sur une extension finie de Qp et à réduction semi-stable. L’objectif est de fournir des algorithmes calculant explicitement, étant donné une équation de C, les bases des crans de la filtration par le poids ainsi que la matrice de l’accouplement de Poincaré. Dans le premier chapitre, nous mettons en place des outils relatifs à la cohomologie de De Rham algébrique de la courbe hyperelliptique. Nous construisons une base adaptée de la cohomologie de De Rham de C, nous établissons une formule explicite pour le cup-produit et la trace, et enfin nous proposons un algorithme calculant la matrice de l’accouplement de Poincaré. Le deuxième chapitre est consacré à la description explicite de la flèche induite par l’inclusion du tube d’un point double sur les espaces de cohomologie. C’est l’ingrédient essentiel pour pouvoir décrire la filtration par le poids sur la cohomologie de De Rham de C. À cette fin nous nous plaçons dans le cadre de la géométrie analytique à la Berkovich et nous introduisons puis développons les notions de point résiduellement singulier standard et de forme apparente de l’équation de la courbe. Dans le troisième et dernier chapitre, nous faisons la synthèse des résultats obtenus et achevons la description de la filtration par le poids. Enfin, nous donnons les algorithmes calculant les bases de Fil0 et Fil1. Pour les algorithmes obtenus dans la thèse nous proposons une implémentation en sage, ainsi que des exemples concrets sur des courbes de genre un et deux. / In this thesis we study the weight filtration on the De Rham cohomology of an hyperelliptic curve C defined over a finite extension of Qp and with semi-stable reduction. The goal is to provide algorithms computing explicitly, given an equation of C, the basis of the weight filtration’s spaces as well as the matrix of the Poincaré pairing. In the first chapter we introduce tools related to the algebraic De Rham cohomology of the hyperelliptic curve. We build a suitable basis of the De Rham cohomology of C, we establish explicit formulae for the cup-product and the trace, and we give an algorithm computing the matrix of the Poincaré pairing. The second chapter is dedicated to the explicit description of the morphism induced by the inclusion of the tube of a double point on the cohomology spaces. It is the main ingredient that allows us to describe the weight filtration on the De Rham cohomology of C. To achieve that, we use the framework of the Berkovitch analytical geometry. We introduce and then we develop the notion of standard residually singular points and the notion of apparent form of the curve’s equation. In the third and last chapter, we synthesize all the results and we complete the description of the weight filtration. Finally, we give the algorithms that compute the basis of Fil0 and Fil1. For each of our algorithm, we propose a sage implementation and concrete examples on genus one and two curves.

Dans cette thèse, nous allons dans un premier temps proposer une définition d'espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme induite par le maximum des normes de ses différents plongements complexes. Cette définition s'appuie sur la théorie des espaces analytiques sur un corps non archimédien introduite par V. Berkovich.Nous montrerons ensuite que la définition que nous proposons donne lieu à une catégorie qui satisfait des propriétés essentielles comme une description " simple " des ensembles morphismes entre espaces analytiques, l'existence de produits fibrés et d'un foncteur d'analytification induit par une propriété universelle.Dans une troisième partie, nous étudierons divers propriétés des morphismes finis entre espaces analytiques et en déduirons la connexité locale par arcs des espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme décrite ci-dessus.Enfin, nous définirons une notion de dimension pour les espaces de Berkovich sur un anneau d'entiers de corps de nombres et étudierons plus en détail le foncteur d'analytification en montrant par exemple que le morphisme d'analytification est fidèlement plat et que ce foncteur respecte la dimension. / In the first part of this thesis, we give a definition of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm induced by the maximum of the norms of thel complex embeddings. This definition uses V. Berkovich’s theory of analytic spaces over a non-archimedean field. Then we show that this definition leads to a category which satisfies some basic properties as a “simple” description of sets of morphisms between analytic spaces, the existence of fiber products and analytification functor defines by a universal property. In a third part, we study some properties of finite morphisms between analytic spaces and deduce the local arcwise connectedness of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm described above. Finally, we define a notion of dimension for Berkovich spaces over a ring of integers of number field and study in more detail the analytification functor, in particular, that the analytification morphism is faithfully flat and that this functor respects dimension.