A relação entre os grupos de tranças de superfícies e os grupos de homotopia das esferas é atualmente um tópico de bastante interesse. Nos últimos anos tem sido feitos avanços consideráveis no estudo desta relação no caso dos grupos de tranças de Artin com n cordas, denotado por Bn, da esfera e do plano projetivo. Nessa tese analisamos com detalhes as interações entre a teoria de tranças e a teoria de homotopia, e mostramos novos resultados que estabelecem conexões entre os grupos de homotopia da 2-esfera S2 e os grupos de tranças sobre qualquer superfície. No andamento deste trabalho, descobrimos uma conexão surpreendente dos grupos de tranças com os grupos cristalográficos e de Bieberbach: para n maior ou igual que 3, o grupo quociente Bn/[Pn, Pn] é um grupo cristalográfico que contém grupos de Bieberbach como subgrupos, onde Pn é o subgrupo de tranças puras de Bn. Com isto obtivemos uma formulação de um Teorema de Auslander e Kuranishi para 2-grupos finitos e exibimos variedades Riemannianas compactas planas que admitem difeomorfismo de Anosov e cujo grupo de holonomia é Z2k . Além disso, durante esta tese, detectamos e, quando possível, corrigimos algumas imprecisões em dois importantes artigos nessa área de estudo, escritos por J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong e J. Wu (Jour. Amer. Math. Soc. - 2006) assim como por J. Y. Li e J.Wu (Proc. London Math. Soc. - 2009). / The relation between surface braid groups and homotopy groups of spheres is currently a subject of great interest. Considerable progress has been made in recent years in the study of these relations in the case of the n-string Artin braid groups, denoted by Bn, the sphere and the projective plane. In this thesis we analyse in detail the interactions between braid theory and homotopy theory, and we present new results that establish connections between the homotopy groups of the 2-sphere S2 and the braid groups of any surface. During the course of this work, we discovered an unexpected connection of braid groups with crystallographic and Bieberbach groups: for n greater or equal than 3, the quotient group Bn/[Pn, Pn] is a crystallographic group that contains Bieberbach groups as subgroups, where Pn is the pure braid subgroup of Bn. This enables us to obtain a formulation of a theorem of Auslander and Kuranishi for finite 2-groups, and to exhibit Riemannian compact flat manifolds that admit Anosov diffeomorphisms and whose holonomy group is Z2k. In addition, during the thesis, we have detected, and where possible, corrected some inaccuracies in two important papers in the area of study, by J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong and J. Wu (Jour. Amer. Math. Soc. - 2006), and by J. Y. Li and J. Wu (Proc. London Math. Soc. - 2009).

Une approche inductive est développée pour la théorie des représentations de la chaîne des algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Cette approche repose sur l'étude du spectre d'une famille commutative maximale, formée par les analogues des éléments de Jucys--Murphy.Les représentations irréductibles, paramétrées par les multi-partitions, sont construites avec l'aide d'une nouvelle algèbre associative, dont l'espace vectoriel sous-jacent est le produit tensoriel de l'algèbre de Hecke cyclotomique avec l'algèbre associative libre engendrée par les multi-tableaux standards.L'analogue de cette approche est présentée pour la limite classique, c'est-à-dire la chaîne des groupes de réflexions complexes de type G(m,1,n).Dans une seconde partie, une base des algèbres de Hecke cyclotomiques est donnée et la platitude de la déformation est montrée sans utiliser la théorie des représentations. Ces résultats sont généralisés aux algèbres de Hecke affines de type A.Ensuite, une procédure de fusion est présentée pour les groupes de réflexions complexes et les algèbres de Hecke cyclotomiques de type G(m,1,n). Dans les deux cas, un ensemble complet d'idempotents primitifs orthogonaux est obtenu par évaluation consécutive d'une fonction rationnelle.Dans une troisième partie, une nouvelle présentation est obtenue pour les sous-groupes alternés de tous les groupes de Coxeter. Les générateurs sont reliés aux arêtes orientées du graphe de Coxeter. Cette présentation est ensuite étendue, pour tous les types, aux extensions spinorielles des groupes alternés, aux algèbres de Hecke alternées et aux sous-groupes alternés des groupes de tresses. / An inductive approach to the representation theory of the chain of the cyclotomic Hecke algebras of type G(m,1,n) is developed. This approach relies on the study of the spectrum of a maximal commutative family formed by the analogues of the Jucys--Murphy elements.The irreducible representations, labelled by the multi-partitions, are constructed with the help of a new associative algebra, whose underlying vector space is the tensor product of the cyclotomic Hecke algebra with the free associative algebra generated by the standard multi-tableaux.The analogue of this approach is presented for the classical limit, that is for the chain of complex reflection groups of type G(m,1,n).In a second part, a basis of the cyclotomic Hecke algebras is given and the flatness of the deformation is proved without using the representation theory. These results are extended to the affine Hecke algebras of type A.Then a fusion procedure is presented for the complex reflection groups and the cyclotomic Hecke algebras of type G(m,1,n). In both cases, a complete set of primitive orthogonal idempotents is obtained by successive evaluations of a rational fonction.In a third part, a new presentation is obtained for the alternating subgroups of all Coxeter groups. The generators are related to oriented edges of the Coxeter graph. This presentation is then extended, for all types, to the spinor extensions of the alternating groups, the alternating Hecke algebras and the alternating subgroups of braid groups.

Nous définissons des formes normales géodésiques pour les séries générales des groupes de réflexions complexes G(de,e,n). Ceci nécessite l'élaboration d'une technique combinatoire afin de déterminer des décompositions réduites et de calculer la longueur des éléments de G(de,e,n) sur un ensemble générateur donné. En utilisant ces formes normales géodésiques, nous construisons des intervalles dans G(e,e,n) qui permettent d'obtenir des groupes de Garside. Certains de ces groupes correspondent au groupe de tresses complexe B(e,e,n). Pour les autres groupes de Garside, nous étudions certaines de leurs propriétés et nous calculons leurs groupes d'homologie sur Z d'ordre 2. Inspirés par les formes normales géodésiques, nous définissons aussi de nouvelles présentations et de nouvelles bases pour les algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes G(e,e,n) et G(d,1,n) ce qui permet d'obtenir une nouvelle preuve de la conjecture de liberté de BMR (Broué-Malle-Rouquier) pour ces deux cas. Ensuite, nous définissons des algèbres de BMW (Birman-Murakami-Wenzl) et de Brauer pour le type (e,e,n). Ceci nous permet de construire des représentations de Krammer explicites pour des cas particuliers des groupes de tresses complexes B(e,e,n). Nous conjecturons que ces représentations sont fidèles. Enfin, en se basant sur nos calculs heuristiques, nous proposons une conjecture sur la structure de l'algèbre de BMW. / We define geodesic normal forms for the general series of complex reflection groups G(de,e,n). This requires the elaboration of a combinatorial technique in order to determine minimal word representatives and to compute the length of the elements of G(de,e,n) over some generating set. Using these geodesic normal forms, we construct intervals in G(e,e,n) that give rise to Garside groups. Some of these groups correspond to the complex braid group B(e,e,n). For the other Garside groups that appear, we study some of their properties and compute their second integral homology groups. Inspired by the geodesic normal forms, we also define new presentations and new bases for the Hecke algebras associated to the complex reflection groups G(e,e,n) and G(d,1,n) which lead to a new proof of the BMR (Broué-Malle-Rouquier) freeness conjecture for these two cases. Next, we define a BMW (Birman-Murakami-Wenzl) and Brauer algebras for type (e,e,n). This enables us to construct explicit Krammer's representations for some cases of the complex braid groups B(e,e,n). We conjecture that these representations are faithful. Finally, based on our heuristic computations, we propose a conjecture about the structure of the BMW algebra.