Dans cette thèse, on s'intéresse à deux problèmes de conception de réseaux, utilisant la technologie OFDM multi-bandes. Le premier problème concerne la conception d'un réseau mono-couche avec contraintes spécifiques. Nous donnons une formulation en PLNE pour ce problème et étudions le polyèdre associé à sa restriction sur un arc. Nous introduisons deux familles d'inégalités valides définissant des facettes et développons un algorithme de coupes et branchements pour le problème. Nous étudions la variante multicouche du problème précédent et proposons plusieurs PLNE pour le modéliser. Nous identifions plusieurs familles de facettes et discutons des problèmes de séparation associés. Nous développons un algorithme de coupes et branchements utilisant l'ensemble des contraintes identifiées. Enfin, une formulation compacte et deux formulations basées sur des chemins sont proposées pour le problème. Nous présentons deux algorithmes de génération de colonnes et branchements pour le problème. / In this thesis we consider two capacitated network design (CND) problems, using OFDM multi-band technology. The first problem is related to single-layer network design with specific requirements. We give an ILP formulation for this problem and study the polyhedra associated with its arc-set restriction. We describe two families of facet defining inequalities. We devise a Branch-and-Cut algorithm for the problem. Next, we investigate the multilayer version of CND using OFDM technology. We propose several ILP formulations and study the polyhedron associated with the first (cut) formulation. We identify several classes of facets and discuss the related separation problem. We devise a Branch-and-Cut algorithm embedding valid inequalities of both single-layer and multilayer problems. The second formulation is compact, and holds a polynomial number of constraints and variables. Two further path formulations are given which yield two efficient Branch-and-Price algorithms for the problem.

Étant donné un graphe G = (V U T, E), tel que V U T représente l'ensemble des sommets où T est un ensemble de terminaux, et une fonction poids w associée aux sommets non terminaux, le problème du séparateur de poids minimum consiste à partitionner V U T en k + 1 sous-ensembles {S, V1,..., Vk} tel qu'il n'y a aucune arête entre deux sous-ensembles différents Vi et Vj, chaque Vi contient exactement un terminal et le poids de S est minimum. Dans cette thèse, nous étudions le problème d'un point de vue polyèdral. Nous donnons deux formulations en nombres entiers pour le problème, et pour une de ces formulations, nous étudions le polyèdre associé. Nous présentons plusieurs inégalités valides, et décrivons des conditions de facette. En utilisant ces résultats, nous développons un algorithme de coupes et branchement pour le problème. Nous étudions également le polytope des séparateurs dans les graphes décomposables par sommets d'articulation. Si G est un graphe qui se décompose en G1 et G2, alors nous montrons que le polytope des séparateurs dans G peut être décrit à partir de deux systèmes linéaires liés à G1 et G2. Ceci donne lieu à une technique permettant de caractériser le polytope des séparateurs dans les graphes qui sont récursivement décomposables. Ensuite, nous étudions des formulations étendues pour le problème et proposons des algorithmes de génération de colonnes et branchement ainsi que des algorithmes de génération de colonnes, de coupes et branchement. Pour chaque formulation, nous présentons un algorithme de génération de colonnes, une procedure pour le calcul de la borne duale ainsi qu'une règle de branchement. De plus, nous présentons quatre variantes du problème du séparateur. Nous montrons que celles-ci sont NP-difficiles, et pour chacune d'elles nous donnons une formulation en nombres entiers et présentons certaines classes d'inégalités valides. / Given a graph G = (V U T, E) with V U T the set of vertices, where T is a set of terminals, and a weight function w, associated with the nonterminal nodes, the multi-terminal vertex separator problem consists in partitioning V U T into k + 1 subsets {S, V1,..., Vk} such that there is no edge between two different subsets Vi and Vj, each Vi contains exactly one terminal and the weight of S is minimum. In this thesis, we consider the problem from a polyhedral point of view. We give two integer programming formulations for the problem, for one of them, we investigate the related polyhedron. We describe some valid inequalities and characterize when these inequalities define facets. Using these results, we develop a Branch-and-Cut algorithm for the problem. We also study the multi-terminal vertex separator polytope in the graphs decomposable by one node cutsets. If G is a graph that decomposes into G1 and G2, we show that the multi-terminal vertex separator polytope in G can be described from two linear systems related to G1 and G2. This gives rise to a technique for characterizing the multi-terminal vertex separator polytope in the graphs that are recursively decomposable. Moreover, we propose three extended formulations for the problem and derive Branch-and-Price and Branch-and-Cut-and-Price algorithms. For each formulation we present a column generation scheme, the way to compute the dual bound, and the branching scheme. Finally, we discuss four variants of the multi-terminal vertex separator problem. We show that all these variants are NP-hard and for each one we give an integer programming formulation and present some class of valid inequalities.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à un problème de fiabilité dans les réseaux multicouches IP-sur-WDM. Etant donné un ensemble de demandes pour lesquelles on connaît une topologie fiable dans la couche IP, le problème consiste à sécuriser la couche optique WDM en y cherchant une topologie fiable. Nous montrons que le problème est NP-complet même dans le cas d'une seule demande. Ensuite, nous proposons quatre formulations en termes de programmes linéaires en nombres entiers pour le problème. La première est basée sur les contraintes de coupes. Nous considérons le polyèdre associé. Nous identifions de nouvelles familles de contraintes valides et étudions leur aspect facial. Nous proposons également des algorithmes de séparation pour ces contraintes. En utilisant ces résultats, nous développons un algorithme de coupes et branchements pour le problème et présentons une étude expérimentale. La deuxième formulation utilise comme variables des chemins entre des terminaux dans le graphe sous-jacent. Un algorithme de branchements et génération de colonnes est proposé pour cette formulation. Par la suite, nous discutons d'une formulation dite naturelle utilisant uniquement les variables de design. Enfin, nous présentons une formulation étendue compacte qui, en plus des variables naturelles, utilise des variables de routage. Nous montrons que cette formulation fournit une meilleure borne inférieure. / This thesis deals with a problem related to survivability issues in multilayer IP-over-WDM networks. Given a set of traffic demands for which we know a survivable logical routing in the IP layer, the aim is determine the corresponding survivable topology in the WDM layer. We show that the problem is NP-hard even for a single demand. Moreover, we propose four integer linear programming formulations for the problem. The first one is based on the so-called cut inequalities. We consider the polyhedron associated with the formulation. We identify several families of valid inequalities and discuss their facial aspect. We also develop separation routines. Using this, we devise a Branch-and-Cut algorithm and present experimental results. The second formulation uses paths between terminals of the underlying graph as variables. We devise a Branch-and-Price algorithm based on that formulation. In addition, we investigate a natural formulation for the problem which uses only the design variables.  Finally, we propose an extended compact formulation which, in addition to the design variables, uses routing variables. We show that this formulation provides a tighter bound for the problem.