Ingeniero Civil Matemático / El objetivo del presente trabajo es desarrollar técnicas de cálculo variacional que permitan resolver problemas de diseño de mecanismos. En particular, se aborda con este enfoque el problema de diseño óptimo de subastas, para el caso de uno y dos jugadores. Usando estas técnicas se caracterizan las soluciones del problema resuelto por Myerson (1981), agregándose además el desarrollo de un algoritmo que no requiere utilizar de forma explícita la técnica de "ironing". En el caso de un jugador se caracteriza completamente la solución del problema y se demuestra que esta caracterización es equivalente a la encontrada por Myerson. En el caso de dos jugadores, asumiendo que las valoraciones virtuales de ambos jugadores tienen una cantidad finita de cambios de crecimiento y son constantes en una cantidad finita de intervalos maximales, se desarrolla un algoritmo que permite encontrar la solución. El problema se caracteriza como el de encontrar la frontera entre los conjuntos de asignación propios de cada jugador (lo que es posible debido a la existencia de una solución bang-bang al problema) y se encuentran las condiciones necesarias que debe satisfacer esta frontera en el óptimo. Además, se muestra que la frontera que induce la solución de Myerson satisface las condiciones necesarias encontradas. Las condiciones de optimalidad indican que los puntos que pertenecen a una zona estrictamente creciente de la frontera son tales que las valoraciones virtuales de ambos jugadores son las mismas. Por otro lado, las zonas donde la frontera es un segmento horizontal o vertical corresponden a intervalos de tipos distintos que son tratados de forma idéntica por el diseñador. Estos intervalos pueden ser precisamente caracterizados de forma variacional y corresponden a intervalos donde la integral de la valoración virtual es igual al valor que tendría la integral si esta función fuera constante. Este trabajo deja abierta la caracterización para el caso general de $N$ jugadores. Por otro lado, la caracterización variacional se basa en la existencia de una solución del tipo bang-bang. Queda abierta la pregunta de cómo demostrar que esto es cierto sin conjeturar un problema relajado cuya solución termine siendo la solución del problema original (como en Myerson (1981) ).

Se demuestra que las ecuaciones de London, introducidas en la Física para modelar el fenómeno de "superconductividad", son en realidad consecuencia de las condiciones de integrabilidad correspondiente.

Publicación a texto completo no autorizada por el autor / El documento digital no refiere asesor / Aplicando las definiciones elementales de máximos y mínimos para funciones y generalizando para funcionales en espacios normados, se usa las funcionales para poder entender analíticamente el problema elemental del cálculo de variaciones, la ecuación de Euler - Lagrange y ver algunos problemas elementales que llevaron a la creación de una rama muy importante como lo es el cálculo de variaciones. / Trabajo de suficiencia profesional

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Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Este trabajo se concentra principalmente en estudiar el método de reducción de Lyapunov-Schmidt y sus aplicaciones al estudio de existencia de soluciones a problemas semilineales elípticos. En particular, utilizamos exitosamente este método para estudiar la ecuación de Allen-Cahn \Delta u + u(1-u^2)=0, en R^N en diferentes contextos. La geometría de los conjuntos de nivel de soluciones enteras de esta ecuación, presenta una estructura variada y compleja. En particular, esta ecuación esta presente en la famosa conjetura de E. De Giorgi, la cual afirma que si la dimensión del espacio es tal que 2\leq N\leq 8, las soluciones acotadas de esta ecuación que son monótonas en una dirección, tienen por conjuntos nivel a una familia de hiperplanos paralelos entre si, es decir, la solución depende solo de una variable. Gran progreso se ha alcanzado en la demostración de esta conjetura durante las \'ultimas décadas. La monotonía de las soluciones esta relacionada con sus propiedades de estabilidad. En el programa de entender el conjunto de soluciones enteras de esta ecuación, es interesante estudiar soluciones que tienes índice de Morse finito, de las cuales para nuestro conocimiento, pocos ejemplos se conocen hasta ahora. En la primera parte de esta investigación, utilizamos el método de reducción, en esencia no variacional, para construir una familia de soluciones acotadas axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, con la propiedad de tener múltiples transiciones sobre una dilatación grande de una catenoide. De nuestro desarrollo, se evidencia contundentemente que estas soluciones tienen indice de Morse grande a medida que la catenoide se vuelve más y más dilatada. Motivados por este descubrimiento y utilizando el mismo método, continuamos este trabajo construyendo una nueva familia de soluciones axialmente simétricas a la ecuación de Allen-Cahn en R3, cuyo conjunto nodal consiste en dos componentes conexas que provienen del grafo y su reflexión respecto al eje z, de una solución suave y radialmente simétrica de la ecuación de Liouville en R2. De igual forma, encontramos fuerte evidencia para afirmar que el índice de Morse de esta familia de soluciones es finito. Luego, presentamos el estudio de la ecuación no homogénea de Allen-Cahn en R2, en la cual presentamos otra aplicación del método reducción construyendo, bajo ciertas condiciones geométricas, una familia de soluciones cuyos conjuntos nodales, fuera de una bola grande de R2, tienen dos componentes conexas que son asintóticamente semirrectas no paralelas entre si. Finalmente, y en contraste, consideramos el contexto variacional presentando resultados de existencia de múltiples soluciones para un sistema elíptico de ecuaciones con un acoplamiento simétrico. La aplicación del método de reducción variacional, permite luego aplicar de forma clásica el teorema de paso de montaña simétrico. La importancia del método de reducción, en este caso, radica en que las propiedades de simetría del sistema de ecuaciones, las cuales provienen de la forma del sistema, en lugar de las no linealidades, son heredadas por ecuación reducida.

El este trabajo se analiza el comportamiento dinámico de una estructura aporticada, con una de sus vinculaciones externas con propiedades elásticas y una rótula elástica intermedia en el dintel. El procedimiento analítico para estudiar la conducta dinámica de la estructura se desarrolló en base al cálculo de variaciones, obteniendo así las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno de la estructura estudiada. El método de separación de variables fue utilizado para hallar las frecuencias y las formas modales. Los resultados obtenidos fueron comparados con valores disponibles en la literatura. También se obtuvieron resultados a través de un modelo experimental de laboratorio construido al efecto y por medio de un modelo de código de elementos finitos de carácter comercial. En el Capítulo I para introducir el cálculo de variaciones, se ejemplifica la resolución de un problema relativamente sencillo como es el de vibraciones libres de una viga de dos tramos con vínculos elásticos externos e internos. De esta manera se obtienen las ecuaciones diferenciales y el problema de contorno de la viga. En el Capítulo II se analiza el comportamiento dinámico de un pórtico formado por una columna y un dintel vinculados rígidamente entre sí, con una de sus vinculaciones externas con propiedades elásticas y una rótula elástica intermedia en el dintel. El procedimiento para estudiar la conducta dinámica de la estructura se desarrolla en base al cálculo de variaciones, obteniendo así las ecuaciones diferenciales gobernantes y el problema de contorno del pórtico en L. El método de separación de variables es utilizado para hallar las frecuencias y las formas modales. Los resultados numéricos son calculados por medio de algoritmos realizados con el software Wolfram Mathematica (2012). Estos resultados se presentan en dos secciones: En primera sección se le da diferentes valores a las constantes de los resortes de los vínculos elásticos, y se los compara con resultados similares en la literatura. En segundo lugar se toma diferentes constantes de las condiciones de vínculo para estudiar su influencia en el comportamiento dinámico de la estructura. Las estructuras de acero sujetas a cargas variables o repetidas pueden fallar estando en servicio con cargas significativamente menores a su resistencia estática. Este tipo de falla, resultan del crecimiento de las fisuras que se encuentran sometidas a cargas variables. A través del estudio de las propiedades dinámicas de una estructura, se pueden desarrollar métodos no destructivos que nos permitan acotar la zona de búsqueda de una falla. En el Capítulo III se estudia en forma experimental el comportamiento dinámico de un marco de dos tramos con una fisura en una posición genérica, con el objetivo de determinar un procedimiento analítico que permita predecir los parámetros dinámicos de una estructura fisurada. Se miden en el laboratorio las primeras frecuencias naturales de un modelo fisurado con diferentes vínculos externos, empotrado-empotrado y empotrado-libre. Para el modelo matemático se separa la viga horizontal en dos tramos y en el lugar de la grieta se coloca un resorte rotacional. El desarrollo consiste en una simplificación de una grieta en donde no se involucran los parámetros reales de la misma. Es importante trabajar con la teoría de vigas y suavizar la continuidad con las condiciones de borde. Para expresar la flexibilidad del resorte utilizamos la teoría propuesta por Chondros (1998), ya que es la más utilizada en la literatura. En el Capítulo IV, a modo de introducción al tema, se estudia de forma experimental el comportamiento dinámico de una viga cantiléver. Con el objetivo de, por medio de un caso sencillo, introducir la aplicación de la Transformada Wavelet (TW) al procesado de señales e imágenes que es otra herramienta, muy reciente en el tiempo, para la detección temprana de fisuras en una estructura. El cual será desarrollado con mayor profundidad en futuros trabajos.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / tema central de esta tesis, para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería con mención en Modelamiento Matemático, es el estudio de los llamados problemas inversos, el modelamiento matemático de fen ́omenos de interacción fluido estructura y la implementacio ́n num ́erica de un algoritmo de segmentación. Este trabajo se divide en tres partes. En primer lugar (Capítulo 2), estudiamos un problema inverso en biologia. Nos interesamos en la posibilidad de recuperar la densidad de un canal iónico (canal CNG) en el cilio olfatorio, sólo midiendo la corriente producida al activar el sistema mediante la difusión de un agente en el interior del cilio. Este problema es modelado como un problema inverso en que interviene una ecuación de Fredholm lineal, de primer tipo, con un núcleo difusivo. Consideramos una aproximación para el núcleo del operador, obteniendo los siguientes resultados: a) Problema de identificabilidad: Bajo diferentes regularidades de la función de densidad, logramos establecer la inyectividad del operador bajo estudio. b) Problema de estabilidad: Tanto en el caso general, usando la transformada de Mellin, como en un caso particular de los parámetros del problema, logramos establecer la estabilidad, bajo diferentes normas, es decir, la continuidad del inverso del operador. d) Problema de reconstrucción: En el caso de una elección apropiada de los par ́ametros del problema, logramos construir la función inversa. e) Reconstrucción numérica: Utilizando la inversa, construida en la parte anterior, implementamos un algoritmo numerico de reconstrucción de la densidad. Por otra parte, en el Capítulo 3 investigamos la controlabilidad de un submarino inmerso en un volumen infinito de un fluido potencial. Consideramos como control, el flujo del fluido a través de una parte de la frontera del móvil. Se llega a un sistema finito dimensional, similar al sistema de Kirchhoff, en el cual los controles aparecen a través de un término lineal (con derivada temporal) y uno bilineal. Aplicando el método del retorno, establecimos bajo ciertas condiciones geom ́etricas un resultado de controlabilidad local para la posición y velocidad del veh ́ıculo sólo con cuatro controles. Finalmente, en el Capítulo 4 implementamos un algoritmo numérico que permite resolver el problema de segmentación de una imagen, desde un punto de vista relajado, pues permite segmentar la imagen en un nu ́mero de la forma 2^N colores. Implementamos una variante del esquema del funcional de Ambrosio & Tortorelli, el cual aproxima en el sentido de la Γ-convergencia al funcional propuesto por Mumford & Shah, en esencia nuestra variante es inspirada por los trabajos de T. Chan.

El objetivo principal de la investigación reside en identificar los factores de conversión de carácter social (referidos a servicios públicos y privados y a factores políticos) y ambiental que influyen en la eficiencia de conversión del ingreso en funcionamientos humanos centrales en salud y educación a nivel distrital para el caso peruano. La hipótesis planteada consiste en que la disponibilidad de los servicios públicos y privados en salud y educación despliegan un impacto positivo sobre la eficiencia; mientras que la conformación de un gobierno que sea capaz de identificar y velar por las necesidades de la población y la presencia de condiciones climáticas adversas restringen la misma. La investigación parte de una revisión de los estudios en torno al concepto de “eficiencia de conversión”, definido por los autores del desarrollo humano como la eficiencia con la que los individuos convierten sus recursos en funcionamientos logrados. Luego, se recurre a una revisión crítica del marco conceptual del Enfoque de Capacidades sobre los factores de conversión que influyen en el proceso de generación de funcionamientos humanos. La sección empírica se desarrolla en dos etapas. En la primera se calculan los puntajes de eficiencia con que los distritos peruanos han convertido sus ingresos en funcionamientos básicos en salud y educación a partir de la metodología DEA (Data envelopment analysis). En la segunda, estos puntajes son empleados como variables dependientes de un modelo de regresión normal truncada bootstrap que emplea como variables independientes a los factores de conversión previamente aludidos. Los resultados explican que los factores de conversión que promueven la eficiencia corresponden a una serie de servicios públicos (locales de salud, colegios y acceso a saneamiento) y a la presencia de procesos de revocatoria (los cuales, estarían actuando como un mecanismo de la población para promover demandas en conjunto). En contraste, la existencia de fenómenos climatológicos como las heladas va en detrimento de la misma. / Tesis

El objetivo principal de la investigación reside en identificar los factores de conversión de carácter social (referidos a servicios públicos y privados y a factores políticos) y ambiental que influyen en la eficiencia de conversión del ingreso en funcionamientos humanos centrales en salud y educación a nivel distrital para el caso peruano. La hipótesis planteada consiste en que la disponibilidad de los servicios públicos y privados en salud y educación despliegan un impacto positivo sobre la eficiencia; mientras que la conformación de un gobierno que sea capaz de identificar y velar por las necesidades de la población y la presencia de condiciones climáticas adversas restringen la misma. La investigación parte de una revisión de los estudios en torno al concepto de “eficiencia de conversión”, definido por los autores del desarrollo humano como la eficiencia con la que los individuos convierten sus recursos en funcionamientos logrados. Luego, se recurre a una revisión crítica del marco conceptual del Enfoque de Capacidades sobre los factores de conversión que influyen en el proceso de generación de funcionamientos humanos. La sección empírica se desarrolla en dos etapas. En la primera se calculan los puntajes de eficiencia con que los distritos peruanos han convertido sus ingresos en funcionamientos básicos en salud y educación a partir de la metodología DEA (Data envelopment analysis). En la segunda, estos puntajes son empleados como variables dependientes de un modelo de regresión normal truncada bootstrap que emplea como variables independientes a los factores de conversión previamente aludidos. Los resultados explican que los factores de conversión que promueven la eficiencia corresponden a una serie de servicios públicos (locales de salud, colegios y acceso a saneamiento) y a la presencia de procesos de revocatoria (los cuales, estarían actuando como un mecanismo de la población para promover demandas en conjunto). En contraste, la existencia de fenómenos climatológicos como las heladas va en detrimento de la misma.