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La teoría de Floquet estudia las soluciones de una ecuación diferencial no autónoma del tipo x ′ = A(t)x, donde A(t) es una función matricial continua, de periodo T > 0 (T−periódica) y mediante un cambio de variable conveniente transforma la ecuación original en un sistema lineal[9, 3]; de este modo se reduce la dificultad del problema y es posible obtener alguna información sobre la estabilidad de las soluciones por medio del teorema de Hartman–Grobman, según el cual el comportamiento cualitativo de la ecuación diferencial y la de su parte lineal son localmente equivalentes cuando en la matriz jacobiana, todos sus autovalores tienen la parte real distinta de cero. Pero ¿qué sucede cuando algún autovalor es imaginario puro, cómo en el sistema diferencial x ′ = −y, y′ = x, donde sus soluciones llenan el plano con circunferencias concéntricas, centradas en el origen? Por ejemplo, la expansión de una aplicación de Poincaré para una perturbación sin parte lineal de x ′ = −y, y′ = x permite ver que el origen o bien es un foco débil o continua siendo un centro. Sin embargo, nos gustaría saber si después de una perturbación particular de x ′ = −y, y′ = x es posible encontrar una ´orbita periódica aislada (ciclo límite). En otras palabras, se estudiará la bifurcación de un centro para entender si el comportamiento de las soluciones cambian drásticamente con respecto a las soluciones del sistema sin perturbar y acotar el número de ciclos límites, pequeños que aparecen en la perturbación. En este trabajo se usa la teoría del promedio (Averaging Theory), clásica y la más reciente variante que usa el grado de Brouwer. La teoría del promedio vía el grado de Brouwer, [1] relaciona el número de soluciones T−periódicas de un sistema diferencial, cuyo campo de vectores depende de un parámetro pequeño ǫ > 0, y el número de ceros de una función a la que se denomina función promedio o función de bifurcación. De este modo, el problema de acotar las soluciones T−periódicas se reduce a estudiar los ceros de alguna función entre espacios euclidianos. El presente trabajo está dividido en tres capítulos, en el primero se presentan algunos conceptos preliminares, como por ejemplo el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, los sistemas lineales de dos dimensiones, el mencionado teorema de Hartman–Grobman y el teorema de Poincar´e–Bendixson que brinda una clasificación de muchos conjuntos α−límite y ω−límite, en el plano. El capítulo dos empieza con un resumen de la teoría de Floquet, seguido de la versión clásica de la teoría del promedio que usa conceptos como función orden y los símbolos de Landau: o y O, [12]. Este segundo capítulo incluye una breve introducción del concepto de grado para funciones en espacios de dimensión finita, el cual se usa para probar el teorema del promedio vía el grado de Brouwer [1], y concluye con una aplicación de la teoría del promedio para sistemas autónomos en el plano. El capítulo tres comienza con el teorema de reducción de Lyapunov– Schmidt que permite obtener el clásico teorema del promedio como el corolario de un resultado general y presenta una perturbación de los sistemas que admiten un centro isócrono. Este capítulo termina con algunas aplicaciones como la bifurcación de Hopf (cero) del sistema de Michelson y el número de ´orbitas periódicas para la ecuación diferencial de tercer grado de tipo x ′′′ − µx′′ + x ′ − µx = ǫF(x, x′ , x′′). / Tesis

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La teoría de Floquet estudia las soluciones de una ecuación diferencial no autónoma del tipo x ′ = A(t)x, donde A(t) es una función matricial continua, de periodo T > 0 (T−periódica) y mediante un cambio de variable conveniente transforma la ecuación original en un sistema lineal[9, 3]; de este modo se reduce la dificultad del problema y es posible obtener alguna información sobre la estabilidad de las soluciones por medio del teorema de Hartman–Grobman, según el cual el comportamiento cualitativo de la ecuación diferencial y la de su parte lineal son localmente equivalentes cuando en la matriz jacobiana, todos sus autovalores tienen la parte real distinta de cero. Pero ¿qué sucede cuando algún autovalor es imaginario puro, cómo en el sistema diferencial x ′ = −y, y′ = x, donde sus soluciones llenan el plano con circunferencias concéntricas, centradas en el origen? Por ejemplo, la expansión de una aplicación de Poincaré para una perturbación sin parte lineal de x ′ = −y, y′ = x permite ver que el origen o bien es un foco débil o continua siendo un centro. Sin embargo, nos gustaría saber si después de una perturbación particular de x ′ = −y, y′ = x es posible encontrar una ´orbita periódica aislada (ciclo límite). En otras palabras, se estudiará la bifurcación de un centro para entender si el comportamiento de las soluciones cambian drásticamente con respecto a las soluciones del sistema sin perturbar y acotar el número de ciclos límites, pequeños que aparecen en la perturbación. En este trabajo se usa la teoría del promedio (Averaging Theory), clásica y la más reciente variante que usa el grado de Brouwer. La teoría del promedio vía el grado de Brouwer, [1] relaciona el número de soluciones T−periódicas de un sistema diferencial, cuyo campo de vectores depende de un parámetro pequeño ǫ > 0, y el número de ceros de una función a la que se denomina función promedio o función de bifurcación. De este modo, el problema de acotar las soluciones T−periódicas se reduce a estudiar los ceros de alguna función entre espacios euclidianos. El presente trabajo está dividido en tres capítulos, en el primero se presentan algunos conceptos preliminares, como por ejemplo el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, los sistemas lineales de dos dimensiones, el mencionado teorema de Hartman–Grobman y el teorema de Poincar´e–Bendixson que brinda una clasificación de muchos conjuntos α−límite y ω−límite, en el plano. El capítulo dos empieza con un resumen de la teoría de Floquet, seguido de la versión clásica de la teoría del promedio que usa conceptos como función orden y los símbolos de Landau: o y O, [12]. Este segundo capítulo incluye una breve introducción del concepto de grado para funciones en espacios de dimensión finita, el cual se usa para probar el teorema del promedio vía el grado de Brouwer [1], y concluye con una aplicación de la teoría del promedio para sistemas autónomos en el plano. El capítulo tres comienza con el teorema de reducción de Lyapunov– Schmidt que permite obtener el clásico teorema del promedio como el corolario de un resultado general y presenta una perturbación de los sistemas que admiten un centro isócrono. Este capítulo termina con algunas aplicaciones como la bifurcación de Hopf (cero) del sistema de Michelson y el número de ´orbitas periódicas para la ecuación diferencial de tercer grado de tipo x ′′′ − µx′′ + x ′ − µx = ǫF(x, x′ , x′′). / Tesis

El trabajo presenta el diseño e implementación de un software que tiene por nombre IntegraLAB el cual sirve como una herramienta para resolver problemas de integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias aplicando métodos numéricos. / Tesis

Dada una 1-forma analítica real w = a(x,y)dx + b(x,y)dy. ¿Cómo reconocer si la ecuación w=0 posee una integral primera?. El Teorema del Centro nos da ciertas condiciones sobre la singularidad 0 E R cuadrado para que la ecuación Pfaff w=0 posea una integral primera analítica. Lo interesante en la demostración de este teorema (realizada por Robert Moussu en [11]) es como argumentos de la teoría de variable compleja son utilizados para demostrar este teorema de naturaleza real. Lo primero que hacemos es considerar la ecuación complejificada de w=0, esto es, consideramos los puntos (x,y) en el plano complejo C cuadrado. Como estamos interesados en la geometría de las soluciones (comportamiento cualitativo) surge la necesidad de la teoría de foliaciones. Pues, el complejificado de w induce una foliación singular de dimensión compleja 1, cuyas hojas localmente son las curvas solución del campo holomorfo (dual de la 1-forma holomorfa). El propósito siguiente es estudiar esta foliación asociada al campo holomorfo, pero lastimosamente no tenemos mucha información al respecto, sin embargo, mediante la técnica del Blow-up de la foliación en el punto 0 E C cuadrado, logramos obtener suficiente información acerca de esta foliación. Información que junto con el Grupo de Holonomía de una hoja y el Teorema de Mattei-Moussu nos conducen a la conclusión del teorema, la existencia de una integral primera para el campo holomorfo. Finalmente se sigue que la integral primera buscada para el campo analítico real es la parte real de la integral primera obtenida del campo holomorfo. / Tesis

En esta exposición presentaremos una introducción a las principales ideas que permiten una construcción de atractores de sistemas dinámicos, utilizando para tal efecto, las denominadas gráficas de retardo establecidas en base a series de tiempo. Este método es de especial importancia en estudios de sistemas, en los cuales es muy difícil establecer las ecuaciones que rigen el proceso en estudio; teniendo muchas veces sólo como base para el análisis, datos obtenidos mediante métodos experimentales.

Se presenta el modelo de Black-Scholes, a través del más popular de los contratos financieros, esto es, la opción de compra europea. Se establece la fórmula de valuación martingala para reclamos contingentes en general y se muestra una aplicación de ella mediante la obtención del precio del contrato call. Al final se establece también la ecuación de Black-Scholes, que es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden, y que constituye una forma alternativa para la preciación de activos derivados.

En este trabajo estudiamos un modelo de competencia de dos depredadores que compiten por una misma presa sin interferencia entre ellos. Nuestro enfoque mejora al modelo estudiado por Hsu, Hubbel y Waltman en [6} por medio de un replanteamiento del modelo considerando que existen tiempos de retardo que afectan el crecimiento de las especies depredadoras. En este sentido, hemos considerado que en el tiempo actual las poblaciones depredadoras dependen de las densidades en tiempos pasados de la población presa. El resultado principal de este trabajo consiste en demostrar que el sistema es puntualmente disipativo lo que conlleva a la existencia de atractores globales para las soluciones del sistema.

El presente artículo nos muestra una investigación numérica que tiene como objetivo la búsqueda de atractores extraños durante el Ciclo Onírico. El atractor es representado en un espacio de fase tridimensional estructurado en base a una serie de tiempo. La reconstrucción tridimensional del atractor está basada en datos experimentales de frecuencia cardiaca de una persona en estado onírico que sufre del síndrome de apnea, usando para ello el método de las coordenadas de retardo.