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El objetivo de este proyecto de tesis doctoral es el desarrollo de técnicas analítico-numéricas para resolver, en media cuadrática problemas, de valores iniciales de ecuaciones y sistemas de ecuaciones en diferencias y diferenciales aleatorias de tipo lineal. Respecto del estudio aportado sobre ecuaciones en diferencias (véase Capítulo 3), se extienden al contexto aleatorio algunos de los principales resultados que en el caso determinista se conocen para resolver este tipo de ecuaciones así como para estudiar el comportamiento asintótico de su solución. En lo que se refiere a las ecuaciones diferenciales hay que señalar que el elemento unificador del estudio realizado en esta memoria es la extensión al escenario aleatorio del método de Fröbenius para la búsqueda de soluciones de ecuaciones diferenciales en forma de desarrollos en serie de potencias. A largo de los Capítulos 4-7 se abordan problemas tanto de tipo escalar como de tipo matricial tanto de primer como de segundo orden, donde la aleatoriedad se introduce en los modelos a través de las condiciones iniciales y los coeficientes, siendo además la incertidumbre en este último caso, considerada tanto de forma aditiva como multiplicativa. Los problemas basados en ecuaciones diferenciales aleatorias tratados permiten introducir procesos estocásticos importantes como son el proceso exponencial (véase Capítulo 5), los procesos trigonométricos seno y coseno y algunas de sus propiedades algebraicas básicas (véase Capítulo 6). En el último capítulo se estudia la ecuación diferencial de Hermite con coeficientes aleatorios y, bajo ciertas condiciones, se obtienen soluciones en forma de serie aleatoria finita que definen los polinomios de Hermite aleatorios. Además de obtener las soluciones en forma de serie aleatoria convergente en el sentido estocástico de la media cuadrática, para cada uno de los problemas tratados se calculan aproximaciones de las principales propiedades estadísticas del proceso solución. / Calbo Sanjuán, G. (2010). Mean Square Analytic Solutions of Random Linear Models [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/8721

Dada una 1-forma analítica real w = a(x,y)dx + b(x,y)dy. ¿Cómo reconocer si la ecuación w=0 posee una integral primera?. El Teorema del Centro nos da ciertas condiciones sobre la singularidad 0 E R cuadrado para que la ecuación Pfaff w=0 posea una integral primera analítica. Lo interesante en la demostración de este teorema (realizada por Robert Moussu en [11]) es como argumentos de la teoría de variable compleja son utilizados para demostrar este teorema de naturaleza real. Lo primero que hacemos es considerar la ecuación complejificada de w=0, esto es, consideramos los puntos (x,y) en el plano complejo C cuadrado. Como estamos interesados en la geometría de las soluciones (comportamiento cualitativo) surge la necesidad de la teoría de foliaciones. Pues, el complejificado de w induce una foliación singular de dimensión compleja 1, cuyas hojas localmente son las curvas solución del campo holomorfo (dual de la 1-forma holomorfa). El propósito siguiente es estudiar esta foliación asociada al campo holomorfo, pero lastimosamente no tenemos mucha información al respecto, sin embargo, mediante la técnica del Blow-up de la foliación en el punto 0 E C cuadrado, logramos obtener suficiente información acerca de esta foliación. Información que junto con el Grupo de Holonomía de una hoja y el Teorema de Mattei-Moussu nos conducen a la conclusión del teorema, la existencia de una integral primera para el campo holomorfo. Finalmente se sigue que la integral primera buscada para el campo analítico real es la parte real de la integral primera obtenida del campo holomorfo. / Tesis

La teoría de Floquet estudia las soluciones de una ecuación diferencial no autónoma del tipo x ′ = A(t)x, donde A(t) es una función matricial continua, de periodo T > 0 (T−periódica) y mediante un cambio de variable conveniente transforma la ecuación original en un sistema lineal[9, 3]; de este modo se reduce la dificultad del problema y es posible obtener alguna información sobre la estabilidad de las soluciones por medio del teorema de Hartman–Grobman, según el cual el comportamiento cualitativo de la ecuación diferencial y la de su parte lineal son localmente equivalentes cuando en la matriz jacobiana, todos sus autovalores tienen la parte real distinta de cero. Pero ¿qué sucede cuando algún autovalor es imaginario puro, cómo en el sistema diferencial x ′ = −y, y′ = x, donde sus soluciones llenan el plano con circunferencias concéntricas, centradas en el origen? Por ejemplo, la expansión de una aplicación de Poincaré para una perturbación sin parte lineal de x ′ = −y, y′ = x permite ver que el origen o bien es un foco débil o continua siendo un centro. Sin embargo, nos gustaría saber si después de una perturbación particular de x ′ = −y, y′ = x es posible encontrar una ´orbita periódica aislada (ciclo límite). En otras palabras, se estudiará la bifurcación de un centro para entender si el comportamiento de las soluciones cambian drásticamente con respecto a las soluciones del sistema sin perturbar y acotar el número de ciclos límites, pequeños que aparecen en la perturbación. En este trabajo se usa la teoría del promedio (Averaging Theory), clásica y la más reciente variante que usa el grado de Brouwer. La teoría del promedio vía el grado de Brouwer, [1] relaciona el número de soluciones T−periódicas de un sistema diferencial, cuyo campo de vectores depende de un parámetro pequeño ǫ > 0, y el número de ceros de una función a la que se denomina función promedio o función de bifurcación. De este modo, el problema de acotar las soluciones T−periódicas se reduce a estudiar los ceros de alguna función entre espacios euclidianos. El presente trabajo está dividido en tres capítulos, en el primero se presentan algunos conceptos preliminares, como por ejemplo el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, los sistemas lineales de dos dimensiones, el mencionado teorema de Hartman–Grobman y el teorema de Poincar´e–Bendixson que brinda una clasificación de muchos conjuntos α−límite y ω−límite, en el plano. El capítulo dos empieza con un resumen de la teoría de Floquet, seguido de la versión clásica de la teoría del promedio que usa conceptos como función orden y los símbolos de Landau: o y O, [12]. Este segundo capítulo incluye una breve introducción del concepto de grado para funciones en espacios de dimensión finita, el cual se usa para probar el teorema del promedio vía el grado de Brouwer [1], y concluye con una aplicación de la teoría del promedio para sistemas autónomos en el plano. El capítulo tres comienza con el teorema de reducción de Lyapunov– Schmidt que permite obtener el clásico teorema del promedio como el corolario de un resultado general y presenta una perturbación de los sistemas que admiten un centro isócrono. Este capítulo termina con algunas aplicaciones como la bifurcación de Hopf (cero) del sistema de Michelson y el número de ´orbitas periódicas para la ecuación diferencial de tercer grado de tipo x ′′′ − µx′′ + x ′ − µx = ǫF(x, x′ , x′′). / Tesis

El trabajo presenta el diseño e implementación de un software que tiene por nombre IntegraLAB el cual sirve como una herramienta para resolver problemas de integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias aplicando métodos numéricos. / Tesis

En la presente tesis, realizamos un estudio de la ecuación diferencial ordinaria (EDO) con estudiantes de ingeniería mecánica mediante una situación problema, justificamos este trabajo porque hemos revisado antecedentes de investigación que tienen como objeto matemático la EDO en donde se reportan dificultades que se presentan en su enseñanza y aprendizaje. Además, se presentan sílabos y mallas curriculares donde se aborda la EDO. Diversas investigaciones señalan que los estudiantes frente a una EDO, hallan la representación algebraica de la solución mediante el uso de un método algebraico, pero presentan dificultades en hallar la representación gráfica de la solución a través de un método cualitativo. Esta dificultad está asociada a la enseñanza de la EDO desde el contexto algebraico. Enseguida planteamos el objetivo de analizar la contribución de una situación problema a la interpretación de las curvas soluciones trazadas en campos direccionales de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) realizada por estudiantes de ingeniería mecánica. El marco teórico utilizado en nuestra investigación son aspectos de la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) que nos permite analizar una situación problema en el contexto de la ingeniería mecánica y como metodología usamos aspectos de la ingeniería didáctica que nos da el camino para desarrollar toda la tesis. En esta investigación mostramos que el uso de un método cualitativo y la situación problema favorece a que los estudiantes hallen la representación e interpretación de la gráfica de las curvas solución de la EDOs. Para la obtención de la gráfica, los estudiantes movilizaron los significados de la derivada y para la interpretación, ayudó que la EDO esté vinculada a una situación problema en contexto de la ingeniería mecánica.

La presente investigación está motivada por el hecho que diversos modelos de Economía, en particular los que están asociados a sistemas de EDO no lineales, donde no es posible obtener soluciones explícitas o bien solo es de interés la estabilidad del sistema respectivo, como por ejemplo el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans, pueden ser analizados cualitativamente. En ese sentido, realizar dicho análisis significa determinar ciertas características sobre el comportamiento de las soluciones de los sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) no lineales asociados a dichos modelos económicos. Por ello, una herramienta eficaz en la carrera de Economía es el análisis cualitativo de sistemas de EDO no lineales. Su estudio fortalece la base teórica de un sistema de EDO no lineal y propicia la interpretación de los resultados matemáticos que se obtienen en relación con los modelos económicos, cuyo análisis está asociado a sistemas de EDO no lineales. Estos dos permitirán centrar las bases brindando las herramientas matemáticas suficientes para el estudio de nociones como el proceso de control óptimo en un curso de Macroeconomía en la carrera de Economía. El objetivo de la investigación es analizar una propuesta didáctica dirigida a la carrera de Economía de una Universidad privada de Lima, orientada al análisis cualitativo de sistemas de EDO no lineales. Para lograr este objetivo, se plantea la propuesta de desarrollar el análisis cualitativo a través de tres tareas las cuales se proponen de manera secuencial. En ese sentido, se propone la tarea T1 sobre la descripción matemática del análisis cualitativo. Se propone la tarea T2, a través del uso de las herramientas tecnológicas como MatLab, Wolfram y Bluffton. Finalmente, pensando en el vínculo con los temas y cursos posteriores en la carrera de Economía, se propone la tarea T3 sobre un modelo de Economía, que tiene asociado un sistema de EDO no lineal, el cual será analizado cualitativamente. La investigación se sustenta en la teoría Espacio de Trabajo Matemático (ETM) y analiza el trabajo matemático que promueven las tareas de la propuesta didáctica, en las que se van a reconocer los paradigmas del análisis que se podrían privilegiar e identificar la activación de las génesis y planos verticales, con una metodología de tipo cualitativa. Todos ellos son aspectos relevantes en el ETM para el proceso de aprendizaje y enseñanza. Entre las principales conclusiones de este trabajo de investigación, se tiene que la propuesta didáctica favorece el análisis de ciertos modelos de Economía, haciendo uso del análisis cualitativo de un sistema de EDO no lineal y la tecnología digital, ambas como herramientas de análisis / The present research is motivated by the fact that several models of economics, particularly those associated with nonlinear ODE systems, where it is not possible to obtain explicit solutions or only the stability of the respective system is of interest, such as the Ramsey-Cass-Koopmans model, can be analyzed qualitatively. In this sense, performing such analysis means determining certain characteristics about the behavior of the solutions of the systems of nonlinear Ordinary Differential Equations (ODE) associated with these economic models. Therefore, an effective tool in Economics is the qualitative analysis of nonlinear ODE systems. Its study strengthens the theoretical basis of a nonlinear ODE system and facilitates the interpretation of the mathematical results obtained in relation to the economic models whose analysis is associated with nonlinear ODE systems. These two will allow to focus the bases providing sufficient mathematical tools for the study of notions such as the optimal control process in a course of Macroeconomics in the degree of Economics. The objective of the research is to analyze a didactic proposal addressed to the Economics course of a private University of Lima, oriented to the qualitative analysis of nonlinear ODE systems. To achieve this objective, the proposal is to develop the qualitative analysis through three tasks which are proposed sequentially. In this sense, task T1 is proposed on the mathematical description of the qualitative analysis. Task T2 is proposed through the use of technological tools such as MatLab, Wolfram and Bluffton. Finally, thinking about the link with the subsequent topics and courses in the Economics career, task T3 is proposed on a model of Economics, which has a nonlinear ODE system associated with it, which will be analyzed qualitatively. The research is based on the Mathematical Workspace theory (MWS) and analyzes the mathematical work promoted by the tasks of the didactic proposal, in which the paradigms of analysis that could be privileged will be recognized and the activation of the genesis and vertical planes will be identified, with a qualitative methodology. All of them are relevant aspects in the ETM for the learning and teaching process. Among the main conclusions of this research work, we have that the didactic proposal favors the analysis of certain models of Economics, making use of the qualitative analysis of a nonlinear ODE system and digital technology, both as analysis tools

[ES] El Comercio electrónico se ha convertido en uno de los sistemas de compra más aceptados por los consumidores debido a la facilidad que tienen los consumidores para acceder mediante Internet a una gran variedad de artículos. Conocer la dinámica de crecimiento del comercio electrónico basado en los principales factores que lo determinan, es un problema relevante para el sector del comercio electrónico. El principal objetivo de la tesis ha sido aplicar los modelos propuestos a datos reales, la formulación de los diferentes modelos ha estado condicionada por la disponibilidad de los datos y por las limitaciones computacionales a la hora de tratar la complejidad de los modelos propuestos. Los dos primeros modelos, dados en los Capítulos 1 y 2, son de naturaleza determinista, mientras que el modelo propuesto en el Capítulo 3, tiene una formulación más sencilla ya que tiene naturaleza estocástica y su tratamiento computacional es mucho más complejo. En el Capítulo 1, se construye un modelo determinístico continuo, basado en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, de tipo difusión y estructurado en seis grupos de edades comprendidas entre 15 y 74 años. Cada uno de estos grupos se divide, a su vez, en dos subpoblaciones (imitadores e innovadores), dependiendo de su comportamiento como consumidores. El resultado es un modelo determinista con 31 parámetros, 13 de los cuales proceden de un modelo demográfico con población constante, y el resto de parámetros aparecen en el propio modelo difusión propuesto para describir la dinámica de la tecnología del comercio electrónico en España. A pesar de la complejidad del modelo determinista, y de los pocos datos disponibles en el Instituto Nacional de Estadística (INE) en el momento de realizar el estudio, gracias a las técnicas computacionales aplicadas, se ha realizado un ajuste del modelo que explica de forma muy aceptable la tendencia de los datos sobre la dinámica del comercio electrónico, lo que ha permitido construir predicciones para los próximos años. El estudio se ha completado con un análisis de la sensibilidad de los parámetros con el objeto de conocer cuáles son los coeficientes de difusión (vía la innovación y la imitación) que tienen una mayor influencia en los resultados de la respuesta del modelo. En el Capítulo 2 se propone un modelo discreto determinista que, debido a la complejidad de la técnica de escalado que debe realizarse para una población variable, se consideraron únicamente dos subpoblaciones entre 15 y 74 años. En este caso el modelo demográfico depende de 3 parámetros, mientras que el modelo de difusión del comercio electrónico depende de 9 parámetros adicionales. A partir de los datos disponibles en el INE, durante el periodo 2007 - 2015, se ha realizado un ajuste del modelo que permite explicar de forma adecuada la dinámica del comercio electrónico en España y realizar predicciones fiables de la tendencia de esta tecnología en los próximos años. Aunque las técnicas de ajuste de los modelos presentados en los Capítulos 1 y 2 a los datos disponibles en el INE están basadas en métodos probabilísticos (en el Capítulo 1, se aplica un tipo de muestreo, denominado Hipercubo Latino y, en el Capítulo 2, el denominado Ajuste Probabilístico),de naturaleza determinística, ya que los parámetros en ambos casos son constantes. En el Capítulo 3 se propone un modelo compartimental que divide a la población española en dos subpoblaciones, dependiendo de si usan o no el comercio electrónico, se trata por tanto de un modelo cuya formulación es mucho más sencilla que la presentada en los capítulos anteriores, pero cuyos parámetros son variables aleatorias. En este caso, el objetivo ha sido diseñar técnicas computacionales de optimización inversa para el modelo estocástico donde el ajuste consiste en determinar las distribuciones estadísticas de los parámetros del modelo que mejor explican la / [CA] El Comerç electrònic s'ha convertit en un dels sistemes de compra més acceptats pels consumidors a causa de la facilitat que tenen els consumidors per a accedir mitjançant Internet a una gran varietat d'articles. Conéixer la dinàmica de creixement del comerç electrònic basat en els principals factors que el determinen, és un problema rellevant per al sector del comerç electrònic. El principal objectiu de la tesi ha sigut aplicar els models proposats a dades reals, la formulació dels diferents models ha estat condicionada per la disponibilitat de les dades i per les limitacions computacionals a l'hora de tractar la complexitat dels models proposats. Els dos primers models, donats en els Capítols 1 i 2, són de naturalesa determinista, mentre que el model proposat en el Capítol 3, té una formulació més senzilla ja que té naturalesa estocàstica i el seu tractament computacional és molt més complex. En el Capítol 1, es construeix un model determinístico continu, basat en un sistema d'equacions diferencials no lineals, de tipus difusió i estructurat en sis grups d'edats compreses entre 15 i 74 anys. Cadascun d'aquests grups es divideix, al seu torn, en dos subpoblaciones (imitadors i innovadors), depenent del seu comportament com a consumidors. El resultat és un model determinista amb 31 paràmetres, 13 dels quals procedeixen d'un model demogràfic amb població constant, i la resta de paràmetres apareixen en el propi model difusió proposat per a descriure la dinàmica de la tecnologia del comerç electrònic a Espanya. Malgrat la complexitat del model determinista, i de les poques dades disponibles en l'Institut Nacional d'Estadística (INE) en el moment de realitzar l'estudi, gràcies a les tècniques computacionals aplicades, s'ha realitzat un ajust del model que explica de forma molt acceptable la tendència de les dades sobre la dinàmica del comerç electrònic, la qual cosa ha permés construir prediccions per als pròxims anys. L'estudi s'ha completat amb una anàlisi de la sensibilitat dels paràmetres a fi de conéixer quins són els coeficients de difusió (via la innovació i la imitació) que tenen una major influència en els resultats de la resposta del model. En el Capítol 2 es proposa un model discret determinista que, a causa de la complexitat de la tècnica d'escalat que ha de realitzarse per a una població variable, es van considerar únicament dues subpoblaciones entre 15 i 74 anys. En aquest cas el model demogràfic depén de 3 paràmetres, mentre que el model de difusió del comerç electrònic depén de 9 paràmetres addicionals. A partir de les dades disponibles en l'INE, durant el període 2007 - 2015, s'ha realitzat un ajust del model que permet explicar de forma adequada la dinàmica del comerç electrònic a Espanya i realitzar prediccions fiables de la tendència d'aquesta tecnologia en els pròxims anys. Encara que les tècniques d'ajust dels models presentats en els Capítols 1 i 2 a les dades disponibles en l'INE estan basades en mètodes probabilístics (en el Capítol 1, s'aplica un tipus de mostreig, denominat Hipercubo Llatí i, en el Capítol 2, el denominat Ajust Probabilístic),de naturalesa determinística, ja que els paràmetres en tots dos casos són constants. En el Capítol 3 es proposa un model compartimental que divideix a la població espanyola en dues subpoblaciones, depenent de si usen o no el comerç electrònic, es tracta per tant d'un model la formulació del qual és molt més senzilla que la presentada en els capítols anteriors, però els paràmetres dels quals són variables aleatòries. En aquest cas, l'objectiu ha sigut dissenyar tècniques computacionals d'optimització inversa per al model estocàstic on l'ajust consisteix a determinar les distribucions estadístiques dels paràmetres del model que millor expliquen l'evolució estocàstica de les dades disponibles. / [EN] Electronic commerce (E-Commerce) has become one of the most accepted purchasing systems by consumers due to the ease with which consumers can access a wide variety of articles through the Internet. Knowing the growth dynamics of electronic commerce based on the main factors that determine it, is a problem of great relevance for the agents involved in the electronic commerce sector. The objective of the thesis has been to apply the proposed models to real data, the formulation of the different models has been conditioned by the availability of data, and by the computational limitations in the moment to study the complexity of the proposed models. As detailed below, the first two models, presented in Chapters 1 and 2, respectively, are deterministic in nature, while the model proposed in Chapter 3, has a simpler formulation due to it has a stochastic nature and its computational treatment is much more complex. In Chapter 1, a continuous deterministic model is constructed, based on a system of nonlinear differential equations, of diffusion type and structured in six age groups between 15 and 74 years old. Each of these groups is divided, in turn, into two subpopulations (imitators and innovators), depending on their behavior as consumers. The result is a deterministic model with 31 parameters, 13 of which come from a demographic model with a constant population, and the rest of the parameters appear in the diffusion model proposed to describe the dynamics of E-Commerce technology in Spain. Despite the complexity of the deterministic model, and the few data available in the National Institute of Statistics (INE) at the time of the study, thanks to the computational techniques applied, it has been possible to adjust the model they explain. The trend of data on the dynamics of E-Commerce is very acceptable, which has allowed us to build predictions for the coming years. The study has been completed with an analysis of the sensitivity of the parameters in order to know what are the dffusion coeffcients (via innovation and imitation) that have a greater inuence on the results of the response of the model. In Chapter 2 a discrete deterministic model is proposed due to the complexity of the scaling technique that must be performed to treat it with variable population, only two subpopulations between 15 and 74 years old were considered. The demographic model depends on 3 parameters, while the diffusion model of E-Commerce depends on 9 additional parameters. Based on the data available in the INE during the 2007 - 2015 period an adjustment was made to the model that allows us to adequately explain the dynamics of E-Commerce in Spain and to make reliable predictions of the trend of this technology in the next years. Although the adjustment techniques of the models presented in Chapters 1 and 2 to the data available in the INE are based on probabilistic methods (in Chapter 1, a type of sampling is applied, called Latin Hypercube and, in Chapter 2, the so-called Probabilistic Adjustment), the nature of the two models is purely deterministic, since the parameters in both cases are constant. In Chapter 3, a compartmental model is proposed that divides to the Spanish population in two subpopulations, depending on whether they use E-Commerce or not, it is therefore a model whose formulation is much simpler than that presented in the previous chapters, but whose parameters are random variables. The objective has been to design computational techniques of inverse optimization for the stochastic model where the adjustment does not consist in looking for the constants that best fit the model to the available data of the INE (for the period 2011 - 2016), but in determining the statistical distributions of the parameters of the model that best explain the stochastic evolution of the available data. Subsequently, once the validation of the model is carried out, stochastic predictions of the evolution of the use of E-Commerce technology in Spain. / Lombana, IC. (2019). Modelización con incertidumbre del incremento del uso del comercio electrónico en España utilizando técnicas de epidemiología matemática [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/124836

Tesis por compendio / [ES] El objetivo de esta tesis es el desarrollo de algoritmos e implementaciones innovadoras de altas prestaciones (HPC) para la computación de funciones de matrices basadas en series de polinomios matriciales. En concreto, se desarrollarán algoritmos para el cálculo de las funciones matriciales más utilizadas: la exponencial, el seno y el coseno. El estudio de los polinomios ortogonales matriciales es un campo emergente cuyo avance está alcanzando importantes resultados tanto desde el punto de vista teórico como práctico. Las ¿últimas investigaciones realizadas por el doctorando, junto a los miembros del grupo de investigación al que está vinculado, High Performance Scientific Computing (HiPerSC), revelan por qué los polinomios matriciales desempeñan un papel fundamental en la aproximación de funciones de matrices, proporcionando propiedades muy interesantes. En esta tesis se han desarrollado nuevos algoritmos de alto rendimiento basados en series polinomiales matriciales. En particular, se han implementado algoritmos para el cálculo de la exponencial, el seno y el coseno de una matriz usando las series matriciales polinomiales de Taylor y de Hermite. Además, se han proporcionado cotas del error cometido en las aproximaciones calculadas, proporcionando además los parámetros teóricos y experimentales óptimos de dichas aproximaciones. Los algoritmos finales han sido comparados con otras implementaciones del estado del arte para probar la mejora que presentan en cuanto a eficiencia y prestaciones. Los resultados obtenidos a lo largo de la investigación y presentados en esta memoria han sido publicados en varias revistas de alto nivel y se han presentado como ponencias en diversas ediciones del congreso internacional Mathematical Modelling in Engineering & Human Behaviour para dotarlas de la mayor difusión posible. Por otra parte, los códigos informáticos implementados han sido puestos a disposición de la comunidad científica internacional a través de nuestra página web http://hipersc.blogs.upv.es. / [CA] L'objectiu d'aquesta Tesi és el desenvolupament d'algoritmes i implementacions innovadores d'altes prestacions (HPC) per a la computació de funcions de matrius basades en sèries de polinomis matricials. En concret, es desenvoluparan algoritmes per al càlcul de les funcions matricials més emprades: l'exponencial, el sinus i el cosinus. L'estudi dels polinomis ortogonals matricials és un camp emergent, el creixement del qual està aconseguint importants resultats tant des del punt de vista teòric com pràctic. Les últimes investigacions realitzades pel doctorand junt amb els membres del grup d'investigació on està vinculat, High Performance Scientific Computing (HiPerSC), revelen per què els polinomis matricials exerceixen un paper fonamental en l'aproximació de funcions de matrius, proporcionant propietats molt interessants. En aquesta Tesi s'han desenvolupat nous algoritmes d'alt rendiment basats en sèries polinomials matricials. En particular, s'han implementat algoritmes per al càlcul de l'exponencial, el sinus i el cosinus d'una matriu usant les sèries matricials polinomials de Taylor i d'Hermite. A més, s'han proporcionat cotes de l'error comès en les aproximacions calculades, proporcionant a més els paràmetres teòrics i experimentals òptims d'aquestes aproximacions. Els algoritmes finals han estat comparats amb altres implementacions de l'estat de l'art per a provar la millora que presenten en termes d'eficiència i prestacions. Els resultats obtinguts al llarg de la investigació i presentats en aquesta memòria han estat publicats en diverses revistes d'alt nivell i s'han presentat com a ponències en diferents edicions del congrés internacional Mathematical Modelling in Engineering \& Human Behaviour per a dotar-les de la major difusió possible. D'altra banda, s'han posat els codis informàtics implementats a disposició de la Comunitat Científica Internacional mitjançant la nostra pàgina web http://hipersc.blogs.upv.es. / [EN] The aim of this thesis is the development of high performance computing (HPC) innovative algorithms and implementations for computing matrix functions based on matrix polynomials series. Specifically, algorithms for the calculation of the most commonly-used functions, the exponential, sine and cosine have been developed. The study of orthogonal matrix polynomials is an emerging field whose growth is achieving important results both theoretically and practically. The last investigations made by the doctoral student, together with the members of the research group, High Performance Scientific Computing (HiPerSC), he is linked, reveal why the matrix polynomials play a fundamental role in the approximation of matrix functions, providing very interesting properties.In this thesis new high-performance algorithms based on matrix polynomial series have been developed. In particular, algorithms for computing the exponential, sine and cosine of a matrix using Taylor and Hermite matrix polynomial series have been implemented.In addition, the error bounds for the approximations calculated have been provided and optimal theoretical and experimental parameters for such approximations have also been provided. Final algorithms have been compared to other state of the art implementations to test the improvement obtained in terms of efficiency and performance. The results obtained during the investigation and presented in this memory have been published in several high-level journals and presented as papers at various editions of the International Congress Mathematical Modelling in Engineering & Human Behaviour to give them the widest possible distribution. On the other hand, implemented computer codes have been made freely available to the international scientific community at our web page http://hipersc.blogs.upv.es. / Ruiz Martínez, PA. (2020). Nuevos métodos y algoritmos de altas prestaciones para el cálculo de funciones de matrices [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/137035 / Compendio