Made available in DSpace on 2014-12-17T15:14:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RooseweltFC.pdf: 5021440 bytes, checksum: 406e0f21dd64983ce0f8f2ea84fc6d62 (MD5) Previous issue date: 2007-12-17 / The complex behavior of a wide variety of phenomena that are of interest to physicists, chemists, and engineers has been quantitatively characterized by using the ideas of fractal and multifractal distributions, which correspond in a unique way to the geometrical shape and dynamical properties of the systems under study. In this thesis we present the Space of Fractals and the methods of Hausdorff-Besicovitch, box-counting and Scaling to calculate the fractal dimension of a set. In this Thesis we investigate also percolation phenomena in multifractal objects that are built in a simple way. The central object of our analysis is a multifractal object that we call Qmf . In these objects the multifractality comes directly from the geometric tiling. We identify some differences between percolation in the proposed multifractals and in a regular lattice. There are basically two sources of these differences. The first is related to the coordination number, c, which changes along the multifractal. The second comes from the way the weight of each cell in the multifractal affects the percolation cluster. We use many samples of finite size lattices and draw the histogram of percolating lattices against site occupation probability p. Depending on a parameter, ρ, characterizing the multifractal and the lattice size, L, the histogram can have two peaks. We observe that the probability of occupation at the percolation threshold, pc, for the multifractal is lower than that for the square lattice. We compute the fractal dimension of the percolating cluster and the critical exponent β. Despite the topological differences, we find that the percolation in a multifractal support is in the same universality class as standard percolation. The area and the number of neighbors of the blocks of Qmf show a non-trivial behavior. A general view of the object Qmf shows an anisotropy. The value of pc is a function of ρ which is related to its anisotropy. We investigate the relation between pc and the average number of neighbors of the blocks as well as the anisotropy of Qmf. In this Thesis we study likewise the distribution of shortest paths in percolation systems at the percolation threshold in two dimensions (2D). We study paths from one given point to multiple other points / O comportamento complexo de uma ampla variedade de fen?menos que s?o de interesse de matem?ticos, f?sicos, qu?micos e engenheiros ? caracterizado quantitativamente por meio de id?ias de distribui??es de fractais e multifractais, que correspondem de modo ?nico ? forma geom?trica e a propriedades din?micas dos sistemas em estudo. Nesta tese apresentamos o Espa?o dos Fractais e os m?todos de Hausdorff-Besicovitch, de Contagem de Caixas e de Escala, para calcular a Dimens?o Fractal de um Conjunto. Estudamos tamb?m fen?menos de percola??o em objetos multifractais constru?dos de maneira simples. O objeto central de nossas an?lises ? um objeto multifractal que chamamos de Qmf . Nestes objetos a multifractalidade surge diretamente da sua forma geom?trica. Identificamos algumas diferen?as entre percola??o nos multifractais que propusemos e percola??o em uma rede quadrada. Existem basicamente duas fontes destas diferen?as. A primeira est? relacionada com o n?mero de coordena??o, c, que muda ao longo do multifractal. A segunda vem da maneira como o peso de cada c?lula no multifractal afeta o aglomerado percolante. Usamos muitas amostras de redes de tamanho finito e fizemos o histograma de redes percolantes versus a probabilidade de ocupa??o p. Dependendo de um par?metro, ρ, que caracteriza o multifractal e o tamanho da rede, L, o histograma pode ter dois picos. Observamos que a probabilidade de ocupa??o no limiar de percola??o, pc, para o multifractal, em suporte d = 2, ? menor do que para a rede quadrada. Calculamos a dimens?o fractal do aglomerado percolante e o expoente cr?tico β. A despeito das diferen?as topol?gicas, encontramos que a percola??o em um suporte multifractal est? na mesma classe de universalidade da percola??o padr?o. A ?rea e o n?mero de vizinhos dos blocos de Qmf apresentam um comportamento n?o-trivial. Uma vis?o geral do objeto Qmf mostra uma anisotropia. O valor de pc ? uma fun??o de ρ que est? relacionada com esta anisotropia. Analisamos a rela??o entre pc e o n?mero m?dio de vizinhos dos blocos, assim como, a anisotropia de Qmf. Nesta tese estudamos tamb?m a distribui??o de caminhos m?nimos em sistemas percolativos no limiar de percola??o em duas dimens?es (2D). Estudamos caminhos que come?am em um determinado ponto e terminam em v?rios outros pontos. Na terminologia da ind?stria do petr?leo, ao ponto inicial dado associamos um po?o de inje??o (injetor) e aos outros pontos associamos po?os de produ??o (produtores). No caso padr?o apresentado anteriormente de um po?o de inje??o e um po?o de produ??o, separados por uma dist?ncia euclidiana r, a distribui??o de caminhos m?nimos l, P(l|r), apresenta um comportamento de lei-de-pot?ncia com expoente gl = 2, 14 em 2D. Analisamos a situa??o de um injetor e uma matriz A de produtores. Configura??es sim?tricas de produtores levam a uma distribui??o, P(l|A), com um ?nico pico, que ? a probabilidade que o caminho m?nimo entre o injetor e a matriz de produtores seja l, enquanto que as configura??es assim?tricas levam a v?rios picos na distribui??o P(l|A). Analisamos situa??es em que o injetor est? fora e situa??es em que o injetor est? no interior do conjunto de po?os produtores. O pico em P(l|A) nas configura??es assim?tricas decai mais r?pido do que no caso padr?o. Para os caminhos muito longos todas as configura??es estudadas exibiram um comportamento de lei-de-pot?ncia com o expoente g ≃ gl.

Made available in DSpace on 2014-12-17T15:14:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RooseweltFS.pdf: 5124149 bytes, checksum: e3abde7691299157913b5304193cd2d5 (MD5) Previous issue date: 2007-12-17 / The complex behavior of a wide variety of phenomena that are of interest to physicists, chemists, and engineers has been quantitatively characterized by using the ideas of fractal and multifractal distributions, which correspond in a unique way to the geometrical shape and dynamical properties of the systems under study. In this thesis we present the Space of Fractals and the methods of Hausdorff-Besicovitch, box-counting and Scaling to calculate the fractal dimension of a set. In this Thesis we investigate also percolation phenomena in multifractal objects that are built in a simple way. The central object of our analysis is a multifractal object that we call Qmf . In these objects the multifractality comes directly from the geometric tiling. We identify some differences between percolation in the proposed multifractals and in a regular lattice. There are basically two sources of these differences. The first is related to the coordination number, c, which changes along the multifractal. The second comes from the way the weight of each cell in the multifractal affects the percolation cluster. We use many samples of finite size lattices and draw the histogram of percolating lattices against site occupation probability p. Depending on a parameter, ρ, characterizing the multifractal and the lattice size, L, the histogram can have two peaks. We observe that the probability of occupation at the percolation threshold, pc, for the multifractal is lower than that for the square lattice. We compute the fractal dimension of the percolating cluster and the critical exponent β. Despite the topological differences, we find that the percolation in a multifractal support is in the same universality class as standard percolation. The area and the number of neighbors of the blocks of Qmf show a non-trivial behavior. A general view of the object Qmf shows an anisotropy. The value of pc is a function of ρ which is related to its anisotropy. We investigate the relation between pc and the average number of neighbors of the blocks as well as the anisotropy of Qmf. In this Thesis we study likewise the distribution of shortest paths in percolation systems at the percolation threshold in two dimensions (2D). We study paths from one given point to multiple other points. In oil recovery terminology, the given single point can be mapped to an injection well (injector) and the multiple other points to production wells (producers). In the previously standard case of one injection well and one production well separated by Euclidean distance r, the distribution of shortest paths l, P(l|r), shows a power-law behavior with exponent gl = 2.14 in 2D. Here we analyze the situation of one injector and an array A of producers. Symmetric arrays of producers lead to one peak in the distribution P(l|A), the probability that the shortest path between the injector and any of the producers is l, while the asymmetric configurations lead to several peaks in the distribution. We analyze configurations in which the injector is outside and inside the set of producers. The peak in P(l|A) for the symmetric arrays decays faster than for the standard case. For very long paths all the studied arrays exhibit a power-law behavior with exponent g ∼= gl. / O comportamento complexo de uma ampla variedade de fen?menos que s?o de interesse de matem?ticos, f?sicos, qu?micos e engenheiros ? caracterizado quantitativamente por meio de id?ias de distribui??es de fractais e multifractais, que correspondem de modo ?nico ? forma geom?trica e a propriedades din?micas dos sistemas em estudo. Nesta tese apresentamos o Espa?o dos Fractais e os m?todos de Hausdorff-Besicovitch, de Contagem de Caixas e de Escala, para calcular a Dimens?o Fractal de um Conjunto. Estudamos tamb?m fen?menos de percola??o em objetos multifractais constru?dos de maneira simples. O objeto central de nossas an?lises ? um objeto multifractal que chamamos de Qmf . Nestes objetos a multifractalidade surge diretamente da sua forma geom?trica. Identificamos algumas diferen?as entre percola??o nos multifractais que propusemos e percola??o em uma rede quadrada. Existem basicamente duas fontes destas diferen?as. A primeira est? relacionada com o n?mero de coordena??o, c, que muda ao longo do multifractal. A segunda vem da maneira como o peso de cada c?lula no multifractal afeta o aglomerado percolante. Usamos muitas amostras de redes de tamanho finito e fizemos o histograma de redes percolantes versus a probabilidade de ocupa??o p. Dependendo de um par?metro, ρ, que caracteriza o multifractal e o tamanho da rede, L, o histograma pode ter dois picos. Observamos que a probabilidade de ocupa??o no limiar de percola??o, pc, para o multifractal, em suporte d = 2, ? menor do que para a rede quadrada. Calculamos a dimens?o fractal do aglomerado percolante e o expoente cr?tico β. A despeito das diferen?as topol?gicas, encontramos que a percola??o em um suporte multifractal est? na mesma classe de universalidade da percola??o padr?o. A ?rea e o n?mero de vizinhos dos blocos de Qmf apresentam um comportamento n?o-trivial. Uma vis?o geral do objeto Qmf mostra uma anisotropia. O valor de pc ? uma fun??o de ρ que est? relacionada com esta anisotropia. Analisamos a rela??o entre pc e o n?mero m?dio de vizinhos dos blocos, assim como, a anisotropia de Qmf . Nesta tese estudamos tamb?m a distribui??o de caminhos m?nimos em sistemas percolativos no limiar de percola??o em duas dimens?es (2D). Estudamos caminhos que come?am em um determinado ponto e terminam em v?rios outros pontos. Na terminologia da ind?stria do petr?leo, ao ponto inicial dado associamos um po?o de inje??o (injetor) e aos outros pontos associamos po?os de produ??o (produtores). No caso padr?o apresentado anteriormente de um po?o de inje??o e um po?o de produ??o, separados por uma dist?ncia euclidiana r, a distribui??o de caminhos m?nimos l, P(l|r), apresenta um comportamento de lei-de-pot?ncia com expoente gl = 2, 14 em 2D. Analisamos a situa??o de um injetor e uma matriz A de produtores. Configura??es sim?tricas de produtores levam a uma distribui??o, P(l|A), com um ?nico pico, que ? a probabilidade que o caminho m?nimo entre o injetor e a matriz de produtores seja l, enquanto que as configura??es assim?tricas levam a v?rios picos na distribui??o P(l|A). Analisamos situa??es em que o injetor est? fora e situa??es em que o injetor est? no interior do conjunto de po?os produtores. O pico em P(l|A) nas configura??es assim?tricas decai mais r?pido do que no caso padr?o. Para os caminhos muito longos todas as configura??es estudadas exibiram um comportamento de lei-de-pot?ncia com o expoente g ≃ gl