We study bifurcations of periodic solutions with spatio-temporal symmetries of functional differential equations (FDEs). The two main results are: (1) a centre manifold reduction around a periodic solution of FDEs with spatio-temporal symmetries, and (2) symmetry-breaking bifurcations for symmetric rings of delay-coupled lasers. For the case of ODEs, symmetry-breaking bifurcations from periodic solutions has already been studied. We extend this result to the case of symmetric FDEs using a Centre Manifold Theorem for symmetric FDEs which reduces FDEs into ODEs on an integral manifold around a periodic solution. We show that the integral manifold is invariant under the spatio-temporal symmetries which guarantees that the symmetry structure of the system of FDEs is preserved by this reduction. We also consider a problem in rings of delay-coupled lasers modeled using the Lang-Kobayashi rate equations. We classify the symmetry of bifurcating branches of solutions from steady-state and Hopf bifurcations that occur in 3-laser systems. This involves finding isotropy subgroups of the symmetry group of the system, and then using the Equivariant Branching Lemma and the Equivariant Hopf Theorem. We then utilize this result to find the bifurcating branches of solutions in DDE-Biftool. Symmetry often causes eigenvalues to have multiplicity, and in some cases, this could lead DDE-Biftool to incorrectly predict the bifurcation points. We address this issue by developing a method of finding bifurcation points which can be used for the general case of n-laser systems with unidirectional and bidirectional coupling. / Thesis (Ph.D, Mathematics & Statistics) -- Queen's University, 2012-04-30 11:25:01.011

Cette thèse porte sur la modélisation, pour le contrôle, des profils de compositions dans les colonnes de distillation cryogénique. Nous obtenons un modèle non-linéaire de convection-diffusion par réduction d'un modèle d'équations-bilans singulièrement perturbé. Du point de vue de l'automatique, nous nous intéressons à la stabilité des profils de compositions résultants, ainsi qu'à leur observabilité. Du point de vue du procédé, la nouvauté de notre modèle réside dans la prise en compte d'une efficacité de garnissage dépendant des conditions d'opération de la colonne. Le modèle est validé par des comparaisons avec des données de fonctionnement dynamique issues d'une unité de séparation réelle, pour la séparation d'un mélange binaire. Sur le cas plus complexe d'une cascade de colonnes séparant un mélange ternaire, le modèle montre une grande sensibilité aux erreurs d'estimation des taux de reflux. Des résultats adaptés du champ de la chromatographie nous permettent de relier cette sensibilité à des erreurs d'estimation des vitesses d'ondes de compositions cohérentes. En parallèle, nous proposons et testons également un modèle de fonctions de transfert simple (fondé sur des gains statiques et des retards purs uniquement) pour les petites dynamiques de compositions, qui dépend explicitement de valeurs mesurables ou observables sur le procédé / This thesis addresses the problem of modeling the composition profiles dynamics inside cryogenic distillation columns, for control applications. We obtain a non-linear convection-diffusion model from the reduction of a singularly perturbed mass-balances model. In the control theory framework, we consider the stability of the resulting composition profiles and their observability. From the process viewpoint, we express the novelty of our model in terms of operating-conditions dependent packing efficiency. The model is validated against real dynamic plant data for a binary separation case. On a more complex, ternary separation columns cascade, the model shows highly sensitive to reflux rate estimation errors. Result adapted from the field of chromatography allows us to interpret this sensitivity in terms of erroneous coherent composition waves speeds. In parallel, we also propose and test a simple transfer functions model (based on static gains and pure delays only) for small composition dynamics, which explicitly depends on measurable or observable process data.