The fast Fourier transform (FFT), even though it has been widely applicable in Physics and Engineering, it has become attractive in Finance as well for it’s enhancement of computational speed. Carr and Madan succeeded in implementing the FFT for pricing of an option. This project, inspired by Carr and Madan’s paper, attempts to elaborate and connect the various mathematical and theoretical concepts that are helpful in understanding of the derivation. Further, we derive the characteristic function of the risk neutral probability for the logarithmic terminal stock price. The Black-Scholes-Merton (BSM) model is also revised including derivation of the partial deferential equation and the formula. Finally, comparison of the BSM numerical implementation with and without the FFT method is done using MATLAB.

Рассматриваются задачи наилучшего одностороннего приближения (снизу и сверху) в пространстве функций, суммируемых с весом на (-1,1), характеристической функции интервала (a,b) из (-1,1 ) множеством алгебраических многочленов степени не выше заданной. Приведено решение задач в случае, когда a и b - узлы положительной квадратурной формулы при некоторых условиях на ее алгебраическую точность, а также в случае симметричного интервала для четного веса. / We consider the problems of the best one-sided approximation (from below and from above) in the space of functions integrable on (-1,1) with a weight to the characteristic function of an interval (a,b) from (-1,1) by the set of algebraic polynomials of degree not exceeding a given number. We solve the problems in the case when a and b are nodes of a positive quadrature formula under some conditions on its degree of precision as well as in the case of a symmetric interval for an even weight.

The general scope of this thesis is aimed at investigating certain classes of discrete equations through the analysis of certain characteristics of the solutions of these equations. We construct new methods of analysis based on the growth of these characteristics that let us single out known integrable discrete equations from certain class of equations. These integrable discrete equations are discrete analogues of the famous Painleve equations.

This Master’s thesis deals with the application of cooperative game theory for solving the problems of Cournot's oligopolies. The knowledge of oligopoly theory and game theory has been elaborated to build a model describing the behavior of companies at a market that meets the preconditions of Cournot's oligopoly. The definition of cooperative game is based on the -characteristic function, which takes into account, compared to classical methods, that companies which are not in the coalition are pursuing their own profits, not suppressing coalition positions. The properties of the resulting cooperative games are examined in detail, focusing on monotony and convexity. Several theorems about these properties have been derived and their economic interpretations are given. Also, the question of calculation of the -characteristic function using the best-reply dynamics algorithm is being solved, and its convergence for a given type of games is justified. The model is applied to data from the oil market, which is further characterized by the results of the cooperative game.

In this dissertation an overview on the real representation of quaternions in distribution theory is given. The density functions of the p-variate and matrix-variate quaternion normal distributions are derived from first principles, while that of the quaternion Wishart distribution is derived from the real associated Wishart distribution via the characteristic function. Applications of this theory in hypothesis testing is presented, and the density function of Wilks's statistic is derived for quaternion Wishart matrices. / Dissertation (MSc)--University of Pretoria, 2010. / Statistics / unrestricted

Cette thèse est consacré aux tests d'adéquation basés sur la fonction caractéristique. Nous débutons en présentant et en complétant les résultats probabilistes nécessaires à la construction de statistiques de test prenant la fonction caractéristique et son pendant la fonction caractéristique empirique comme représentations respectives des lois de référence et de la loi inconnue de l'échantillon de vecteurs aléatoires à tester. Nous poursuivons le travail en faisant la revue et en classant les tests basés sur la fonction caractéristique existants. Nous élaborons ensuite une classe de statistiques de test s'appuyant sur le calcul d'une distance intégrale. Le cas de la distance L2 est étudié plus à fond, car nous avons pu établir des résultats asymptotiques dans ce dernier cas. Ceux-ci font intervenir les éléments propres inconnus d'un opérateur intégral. Nous présentons, puis utilisons, une méthode d'approximation spectrale basée sur une projection de l'opérateur sur une base orthonormée.Finalement, nous construisons une nouvelle classe de tests appartenant au paradigme des tests lisses de Neyman. L'étude précédente nous permet de simplifier considérablement la construction de ces tests, dont différentes versions sont proposées tant pour le test d'une hypothèse simple que pour le test d'une hypothèse composite. / This PhD thesis consists in building goodness-of-fit tests using the characteristic function (CF) as a prefered representation for the probability laws involved.We start with listing and improving results in probability theory necessary to build test statistics using the characteristic function and its conterpart the empirical characteristic function.We list and classify existing characteristic function based goodness-of-fit tests published by varions authors since 1977.Then, we build a class of tests based on integral metrics. We take particular attention to the case where the statistics are build using a L2 distance. More specifically, we give asymptotic results in this case. However, these results reveal the need for information on the unknown eigenelements of an integral operator. Thus, we present and implement an approximation method using a sequence of projections on orthonormal bases ofan hilbertian functional space.Finally, we will build another class of tests using the Neyman smooth test paradigm. This study is based on our previous results, that fit well into the construction of characteristic function based smooth tests. We give various applications, presenting tests for both a simple hypothesis and a composite hypothesis.

單變量c-特徵函數已被證明可處理一些難以使用傳統特徵函數解決的問題， 在本文中，我們首先提出其反演公式，透過此反演公式，我們獲得（1）Dirichlet隨機向量之線性組合的機率密度函數；（2）以一些有趣測度為參數之Ferguson-Dirichlet過程其隨機動差的機率密度函數；（3）Ferguson-Dirichlet過程之隨機泛函的Lebesgue積分表示式。 本文給予對稱分配之多變量c-特徵函數的新性質，透過這些性質，我們證明在任何$n$維球面上之Ferguson-Dirichlet過程其隨機均值是一對稱分配，並且我們亦獲得其確切的機率密度函數，此外，我們將這些結果推廣至任何n維橢球面上。 我們亦探討條件分配相容性的問題，這個問題在機率理論與貝式計算上有其重要性，我們提出其充要條件。當給定相容的條件分配時，我們不但解決相關聯合分配唯一性的問題，而且也提供方法去獲得所有可能的相關聯合分配，我們亦給予檢驗相容性、唯一性及建構機率密度函數的演算法。 透過相容性的相關理論，我們提出完整且清楚地統合性貝氏反演公式理論，並建構可應用於一般測度空間的廣義貝氏反演公式。此外，我們使用廣義貝氏反演公式提供一個配適機率密度函數的演算法，此演算法沒有疊代演算法（如Gibbs取樣法）的收斂問題。 / The univariate c-characteristic function has been shown to be important in cases that are hard to manage using the traditional characteristic function. In this thesis, we first give its inversion formulas. We then use them to obtain (1) the probability density functions (PDFs) of a linear combination of the components of a Dirichlet random vector; (2) the PDFs of random functionals of a Ferguson-Dirichlet process with some interesting parameter measures; (3) a Lebesgue integral expression of any random functional of the Ferguson-Dirichlet process. New properties of the multivariate c-characteristic function with a spherical distribution are given in this thesis. With them, we show that the random mean of a Ferguson-Dirichlet process over a spherical surface in n dimensions has a spherical distribution on the n-dimensional ball. Moreover, we derive its exact PDF. Furthermore, we generalize this result to any ellipsoidal surface in n-space. We also study the issue of compatibility for specified conditional distributions. This issue is important in probability theory and Bayesian computations. Several necessary and sufficient conditions for the compatibility are provided. We also address the problem of uniqueness of the associated joint distribution when the given conditionals are compatible. In addition, we provide a method to obtain all possible joint distributions that have the given compatible conditionals. Algorithms for checking the compatibility and the uniqueness, and for constructing all associated densities are also given. Through the related compatibility theorems, we provide a fully and cleanly unified theory of inverse Bayes formula (IBF) and construct a generalized IBF (GIBF) that is applicable in the more general measurable space. In addition, using the GIBF, we provide a marginal density fitting algorithm, which avoids the problems of convergence in iterative algorithm such as the Gibbs sampler.

Les tests d’adéquation font partie des pratiques qu’ont les statisticiens pour prendre une décision concernant l’hypothèse de l’utilisation d’une distribution paramétrique pour un échantillon. Dans ce mémoire, une application du test d’adéquation basé sur la fonction caractéristique proposé par Jiménez-Gamero et al. (2009) est faite dans le cas de la loi de Poisson bivariée. Dans un premier temps, le test est élaboré dans le cas de l’adéquation à une loi de Poisson univariée et nous avons trouvé son niveau bon. Ensuite cette élaboration est étendue au cas de la loi de Poisson bivariée et la puissance du test est calculée et comparée à celle des tests de l’indice de dispersion, du Quick test de Crockett et des deux familles de tests proposés par Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014). Les résultats de la simulation ont permis de constater que le test avait un bon niveau comparativement aux tests de l’indice de dispersion et au Quick test de Crockett et qu’il était généralement moins puissant que les autres tests. Nous avons également découvert que le test de l’indice de dispersion devrait être bilatéral alors qu’il ne rejette que pour de grandes valeurs de la statistique de test. Finalement, la valeur-p de tous ces tests a été calculée sur un jeu de données de soccer et les conclusions comparées. Avec une valeur-p de 0,009, le test a rejeté l’hypothèse que les données provenaient d’une loi de Poisson bivariée alors que les tests proposés par Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014) donnaient une conclusion différente. / Our aim in this thesis is to conduct the goodness-of-fit test based on empirical characteristic functions proposed by Jiménez-Gamero et al. (2009) in the case of the bivariate Poisson distribution. We first evaluate the test’s behaviour in the case of the univariate Poisson distribution and find that the estimated type I error probabilities are close to the nominal values. Next, we extend it to the bivariate case and calculate and compare its power with the dispersion index test for the bivariate Poisson, Crockett’s Quick test for the bivariate Poisson and the two test families proposed by Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014). Simulation results show that the probability of type I error is close to the claimed level and that it is generally less powerful than other tests. We also discovered that the dispersion index test should be bilateral whereas it rejects for large values only. Finally, the p-value of all these tests is calculated on a real dataset from soccer. The p-value of the test is 0,009 and we reject the hypothesis that the data come from a Poisson bivariate while the tests proposed by Novoa-Muñoz et Jiménez-Gamero (2014) leads to a different conclusion.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Ce travail a pour but de proposer des outils visant `a comparer des résultats exp´erimentaux avec des modèles pour la dispersion de traceur en milieu poreux, dans le cadre de la dispersion anormale.Le “Mobile Immobile Model” (MIM) a été à l’origine d’importants progrès dans la description du transport en milieu poreux, surtout dans les milieux naturels. Ce modèle généralise l’quation d’advection-dispersion (ADE) e nsupposant que les particules de fluide, comme de solut´e, peuvent ˆetre immo-bilis´ees (en relation avec la matrice solide) puis relˆachées, le piégeage et le relargage suivant de plus une cin´etique d’ordre un. Récemment, une version stochastique de ce modèle a ´eté proposée. Malgré de nombreux succès pendant plus de trois décades, le MIM reste incapable de repr´esenter l’´evolutionde la concentration d’un traceur dans certains milieux poreux insaturés. Eneffet, on observe souvent que la concentration peut d´ecroˆıtre comme unepuissance du temps, en particulier aux grands temps. Ceci est incompatible avec la version originale du MIM. En supposant une cinétique de piégeage-relargage diff´erente, certains auteurs ont propos´e une version fractionnaire,le “fractal MIM” (fMIM). C’est une classe d’´equations aux d´eriv´ees par-tielles (e.d.p.) qui ont la particularit´e de contenir un op´erateur int´egral li´e`a la variable temps. Les solutions de cette classe d’e.d.p. se comportentasymptotiquement comme des puissances du temps, comme d’ailleurs cellesde l’´equation de Fokker-Planck fractionnaire (FFPE). Notre travail fait partie d’un projet incluant des exp´eriences de tra¸cageet de vélocimétrie par R´esistance Magn´etique Nucl´eaire (RMN) en milieuporeux insatur´e. Comme le MIM, le fMIM fait partie des mod`eles ser-vant `a interpréter de telles exp´eriences. Sa version “e.d.p.” est adapt´eeaux grandeurs mesur´ees lors d’exp´eriences de tra¸cage, mais est peu utile pour la vélocimétrie RMN. En effet, cette technique mesure la statistiquedes d´eplacements des mol´ecules excit´ees, entre deux instants fixés. Plus précisément, elle mesure la fonction caractéristique (transform´ee de Fourier) de ces d´eplacements. Notre travail propose un outil d’analyse pour ces expériences: il s’agit d’une expression exacte de la fonction caract´eristiquedes d´eplacements de la version stochastique du mod`ele fMIM, sans oublier les MIM et FFPE. Ces processus sont obtenus `a partir du mouvement Brown-ien (plus un terme convectif) par des changement de temps aléatoires. Ondit aussi que ces processus sont des mouvement Browniens, subordonnéspar des changements de temps qui sont eux-mˆeme les inverses de processusde L´evy non d´ecroissants (les subordinateurs). Les subordinateurs associés aux modèles fMIM et FFPE sont des processus stables, les subordinateursassoci´es au MIM sont des processus de Poisson composites. Des résultatsexp´erimenatux tr`es r´ecents on sugg´er´e d’´elargir ceci `a des vols de L´evy (plusg´en´eraux que le mouvement Brownien) subordonnés aussi.Le lien entre les e.d.p. fractionnaires et les mod`eles stochastiques pourla sous-diffusion a fait l’objet de nombreux travaux. Nous contribuons `ad´etailler ce lien en faisant apparaˆıtre les flux de solut´e, en insistant sur une situation peu ´etudiée: nous examinons le cas o`u la cinétique de piégeage-relargage n’est pas la mˆeme dans tout le milieu. En supposant deux cinétiques diff´erentes dans deux sous-domaines, nous obtenons une version du fMIMavec un opérateur intégro-diff´erentiel li´e au temps, mais dépendant de la position.Ces r´esultats sont obtenus au moyen de raisonnements, et sont illustrés par des simulations utilisant la discrétisation d’intégrales fractionnaires etd’e.d.p. ainsi que la méthode de Monte Carlo. Ces simulations sont en quelque sorte des preuves numériques. Les outils sur lesquels elles s’appuient sont présentés aussi. / We propose tools for to compare experimental data and models for anomalousdispersion in porous media.The “Mobile Immobile Model” (MIM) significantly improved the descrip-tion of mass transport in natural porous media. This model generalizes theadvection-dispersion equation (ADE) by assuming that fluid and solute parti-cles can be found in mobile on immobile states, exchanging matter accordingto first order kinetics. Moreover, it has a stochastic version. Nevertheless,the original MIM does not represent the power-law decrease of some break-through curves observed in some media, better described by a fractionalversion, the “fractal MIM” (fMIM) which assumes a different kinetics. Theacronym “fMIM” denotes partial differential equations (p.d.e.) involving afractional integral with respect to time, having solutions falling-off as powerof times, asymptotically. It keeps in similarity with the fractional Fokker-Planck equation (FFPE). As this equation, the fMIM describes the evolutionof the probability density function of stochastic processes, namely Brownianmotion sujected to a time change that is the hitting time of a stable sub-ordinator, strictly stable or not, according FFPE or fMIM is considered.Using probabilistic arguments and numerical simulation, we extend this re-sult to the case when the transport parameters and the time scales of thetime change vary in space. P.d.es are well suited for comparing with tracer tests data. Yet, they arenot very useful to discuss signals recorded by pulsed field gradient (PFG)nuclear magnetic resonance (NMR), a technique which measures the char-acteristic function (Fourier transform) of molecular displacements betweentwo fixed instants. For to process such data, we derive an expression of thecharacteristic function of the displacements of Brownian motions subordi-nated by the hitting times of stable subordinators, i.e. of processes whosedensity satisfies FFPE of fMIM. We also consider time changes that are hit-ting times of composite Poisson processes (CPP), which correspond to theoriginal version of the MIM.