Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Nous considérons deux problèmes. Le premier est la construction des tests d’ajustement (goodness-of-fit) pour les modèles de processus de diffusion ergodique. Nous considérons d’abord le cas où le processus sous l’hypothèse nulle appartient à une famille paramétrique. Nous étudions les tests de type Cramer-von Mises et Kolmogorov- Smirnov. Le paramètre inconnu est estimé par l’estimateur de maximum de vraisemblance ou l’estimateur de distance minimale. Nous construisons alors les tests basés sur l’estimateur du temps local de la densité invariante, et sur la fonction de répartition empirique. Nous montrons alors que les statistiques de ces deux types de test convergent tous vers des limites qui ne dépendent pas du paramètre inconnu. Par conséquent, ces tests sont appelés asymptotically parameter free. Ensuite, nous considérons l’hypothèse simple. Nous étudions donc le test du khi-deux. Nous montrons que la limite de la statistique ne dépend pas de la dérive, ainsi on dit que le test est asymptotically distribution free. Par ailleurs, nous étudions également la puissance du test du khi-deux. En outre, ces tests sont consistants. Nous traitons ensuite le deuxième problème : l’approximation des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Supposons que l’on observe un processus de diffusion satisfaisant à une équation différentielle stochastique, où la dérive dépend du paramètre inconnu. Nous estimons premièrement le paramètre inconnu et après nous construisons un couple de processus tel que la valeur finale de l’un est une fonction de la valeur finale du processus de diffusion donné. Par la suite, nous montrons que, lorsque le coefficient de diffusion est petit, le couple de processus se rapproche de la solution d’une équations différentielles stochastiques rétrograde. A la fin, nous prouvons que cette approximation est asymptotiquement efficace. / We consider two problems in this work. The first one is the goodness of fit test for the model of ergodic diffusion process. We consider firstly the case where the process under the null hypothesis belongs to a given parametric family. We study the Cramer-von Mises type and the Kolmogorov-Smirnov type tests in different cases. The unknown parameter is estimated via the maximum likelihood estimator or the minimum distance estimator, then we construct the tests in using the local time estimator for the invariant density function, or the empirical distribution function. We show that both the Cramer-von Mises type and the Kolmogorov-Smirnov type statistics converge to some limits which do not depend on the unknown parameter, thus the tests are asymptotically parameter free. The alternatives as usual are nonparametric and we show the consistency of all these tests. Then we study the chi-square test. The basic hypothesis is now simple The chi-square test is asymptotically distribution free. Moreover, we study also power function of the chi-square test to compare with the others. The other problem is the approximation of the forward-backward stochastic differential equations. Suppose that we observe a diffusion process satisfying some stochastic differential equation, where the trend coefficient depends on some unknown parameter. We try to construct a couple of processes such that the final value of one is a function of the final value of the given diffusion process. We show that when the diffusion coefficient is small, the couple of processes approximates well the solution of a backward stochastic differential equation. Moreover, we present that this approximation is asymptotically efficient.

Nous considérons deux problèmes. Le premier est la construction des tests d'ajustement (goodness-of-fit) pour les modèles de processus de diffusion ergodique. Nous considérons d'abord le cas où le processus sous l'hypothèse nulle appartient à une famille paramétrique. Nous étudions les tests de type Cramer-von Mises et Kolmogorov- Smirnov. Le paramètre inconnu est estimé par l'estimateur de maximum de vraisemblance ou l'estimateur de distance minimale. Nous construisons alors les tests basés sur l'estimateur du temps local de la densité invariante, et sur la fonction de répartition empirique. Nous montrons alors que les statistiques de ces deux types de test convergent tous vers des limites qui ne dépendent pas du paramètre inconnu. Par conséquent, ces tests sont appelés asymptotically parameter free. Ensuite, nous considérons l'hypothèse simple. Nous étudions donc le test du khi-deux. Nous montrons que la limite de la statistique ne dépend pas de la dérive, ainsi on dit que le test est asymptotically distribution free. Par ailleurs, nous étudions également la puissance du test du khi-deux. En outre, ces tests sont consistants. Nous traitons ensuite le deuxième problème : l'approximation des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Supposons que l'on observe un processus de diffusion satisfaisant à une équation différentielle stochastique, où la dérive dépend du paramètre inconnu. Nous estimons premièrement le paramètre inconnu et après nous construisons un couple de processus tel que la valeur finale de l'un est une fonction de la valeur finale du processus de diffusion donné. Par la suite, nous montrons que, lorsque le coefficient de diffusion est petit, le couple de processus se rapproche de la solution d'une équations différentielles stochastiques rétrograde. A la fin, nous prouvons que cette approximation est asymptotiquement efficace.

Cette thèse contribue à l'analyse de durées de vie bivarices. Elle s'appuie sur quatre articles, rédigés en collaboration avec Christian Genest (directeur), Thierry Duchesne (codirecteur) ou d'autres collaborateurs (Lajmi Lakhal-Chaieb, Bruno Rémillard, Louis-Paul Rivest). Le premier article, soumis à Insurance : Mathematics and Economies en novembre dernier, propose deux nouveaux tests d'adéquation d'un modèle de copules pour une paire (X, Y) de durées de vie. Leur performance est comparée à celle de six tests omnibus par voie de simulation. Le second article, à paraître dans Computational Statistics and Data Analysis, propose de nouveaux estimateurs du tau de Kendall entre les variables X et, Y, lorsque seule la seconde est sujette à censure. Une étude de Monte-Carlo montre que parce qu'ils exploitent l'information conditionnelle entre les variables, ces nouveaux estimateurs sont plus performants que ceux couramment utilisés dans ce contexte. Le troisième article, en cours de révision pour Lifetime Data Analysis, propose un estimateur de type Horvitz Thompson pour T(X,Y) lorsque les deux variables sont sujettes à censure. On démontre qu'au contraire des estimateurs existants, celui-ci demeure convergent même quand r / 0. Le quatrième article, soumis à Statistics in Medicine, présente un critère de sélection de modèle lorsque la paire (X, Y) n'est observable que dans la région Y > X et que Y est sujette à censure à droite, La procédure compare une estimation paramétrique à une estimation non paramétrique de la version tronquée du tau de Kendall. / This thesis contributes to bivariate survival data analysis. It is based on four papers, written jointly with Christian Genest (supervisor), Thierry Duchesne (co-supervisor) or other collaborators (Lajrni Lakhal-Chaieb, Bruno Rémillard, Louis-Paul Rivest). The first paper, submitted to Insurance : Mathematics and Economies last November, proposes two new statistics for goodness-of-fit testing of a copula model for a pair (X, Y) of lifetimes. Their performance is compared to that of six omnibus tests through simulation. The second paper, which is due to appear in Computational Statistics and Data Analysis, proposes new estimators of Kendall's tau between variables X and Y when only the second is subject to censoring. A Monte Carlo study shows that because tliey take into account the conditional information between the variables, thèse new estimators perforai better than those currently used in this context. The third paper, currently under revision for Lifetirne Data Analysis, proposes a Horvitz Thompson type estimator for T(X, Y) when both variables are subject to censoring. It is shown that by opposition to existing estimators, this one remains consistent even when r/() . The fourth paper, submitted to Statistics in Medicine, présents a model sélection criterion when the pair (X, Y) can only be observed in the région Y > X and Y is subject to right censoring. The procédure compares a parametric estimate to a nonparametric estimate of the fruneafed version of Kendall's tau.

Cette thèse se décompose en trois parties distinctes auxquelles s'ajoute une introduction. Dans un premier temps, nous nous intéressons à un test lisse d'ajustement à la famille de Pareto. Pour cela, nous proposons une statistique de test motivée par la théorie de LeCam sur la normalité asymptotique locale (LAN). Nous en établissons le comportement asymptotique sous l'hypothèse que l'échantillon provient d'une distribution de Pareto et sous des alternatives locales, nous plaçant ainsi dans le cadre LAN. Des simulations sont présentées afin d'étudier le comportement de la statistique de test à distance finie. Dans le chapitre suivant, nous nous plaçons dans le cadre de données censurées aléatoirement à droite. Nous proposons alors un estimateur des paramètres de la distribution de Pareto généralisée basé sur une première étape de l'algorithme de Newton-Raphson. Nous établissons la normalité asymptotique de cet estimateur. Par des simulations, nous illustrons son comportement à distance finie et le comparons à celui de l'estimateur du maximum de vraisemblance. Nous proposons enfin, dans un dernier chapitre, un modèle linéaire autorégressif adapté à la loi de Gumbel pour prendre en compte la dépendance dans les maxima. Nous établissons des propriétés théoriques de ce modèle et par simulations nous illustrons son comportement à distance finie. Enfin, comme des applications concrètes en sciences de l'atmosphère motivaient ce modèle, nous l'avons utilisé pour modéliser des maxima de dioxyde de carbone et de méthane.

L'analyse statistique, prise au sens large, est centrée sur la description, et, lorsque les circonstances le permettent, la modélisation quantitative des phénomènes observés, pour peu que ces derniers possèdent une part d'incertitude, et donc, qu'ils soient soumis aux lois du hasard. Dans cette activité scientifique, le plus grand soin doit être apporté à la validation des hypothèses de modélisation, nécessaires à l'interprétation des résultats. Ce principe général s'applique d'ailleurs à toutes les sciences expérimentales, et tout aussi bien aux sciences humaines (en psychologie), qu'en économie, et dans bien d'autres disciplines. Une théorie scientifique repose, au départ, sur des hypothèses de modélisation, qui sont ensuite soumises à l'épreuve de l'expérimentation. Celle-ci est basée sur le recueil de données, dont il est nécessaire de décider la nature, compatible ou non, avec les modèles choisis, aboutissant, soit au rejet, soit à l'acceptation, de ces derniers. La statistique a développé, dans ce but, une technologie basée sur les tests d'hypothèses, dont nous nous abstiendrons de discuter dans mon mémoire de thèse les bases et les fondements. Dans cette thèse, nous avons abordé l'étude de certains tests d'ajustement (dits, en Anglais, tests of fit"), de nature paramétrique et non paramétrique. Les aspects techniques de ces tests d'hypothèses ont été abordés, dans le contexte particulier de notre étude pour les tests de type Cramer-Von Mises. On ne manquera pas de citer l'approche initialement utilisée pour les tests de type Kolmogorov-Smirnov. Enfin, l'ouvrage de Nikitin était une référence de base particulièrement adaptée à la nature de notre recherche. L'objectif principal de la thèse est d'évaluer la puissance asymptotique de certains tests d'ajustement, relevant de la catégorie générale des tests de Cramer-Von Mises. Nous avons évalué cette puissance, relativement à des suites convenables d'alternatives locales. Notre méthode utilise les développements de Karhunen-Loève d'un pont brownien pondéré. Notre travail avait pour objet secondaire de compléter des recherches récentes de P.Deheuvels et G.Martynov, qui ont donné l'expression des fonctions propres et valeurs propres des développements de Karhunen-Loève de certains ponts browniens pondérés à l'aide de fonctions de Bessel. Dans le premier temps, nous avons exposé les fondements des développements de Karhunen-Loève [D.K.L], ainsi que les applications qui en découlent en probabilités et statistiques. Le deuxième paragraphe de cette thèse a été consacré à un exposé de la composante de la théorie des tests d'hypothèses adaptée à la suite de notre mémoire. Dans ce même paragraphe, nous montrons l'intérêt qu'apporte une connaissance explicite des composantes d'un développement de Karhunen-Loève, en vue de l'évaluation de la puissance de tests d'ajustement basés sur les statistiques de type Cramer-Von Mises qui sont liées à ce D.K.L.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Nous considérons les tests d'ajustement de type Cramér-von Mises pour tester l'hypothèse que le processus de diffusion observé est un "switching diffusion", c'est-à-dire un processus de diffusion à changement de régime dont la dérive est de type signe. Ces tests sont basés sur la fonction de répartition empirique et la densité empirique. Il est montré que les distributions limites des tests statistiques proposés sont définis par des fonctionnelles de type intégrale des processus Gaussiens continus. Nous établissons les développements de Karhunen-Loève des processus limites correspondants. Ces développements nous permettent de simplifier le problème du calcul des seuils. Nous étudions le comportement de ces statistiques sous les alternatives et nous montrons que ces tests sont consistants. Pour traiter les hypothèses de base composite nous avons besoin de connaître le comportement asymptotique des estimateurs statistiques des paramètres inconnus, c'est pourquoi nous considérons le problème de l'estimation des paramètres pour le processus de diffusion à changement de régime. Nous supposons que le paramètre inconnu est à deux dimensions et nous décrivons les propriétés asymptotiques de l'estimateur de maximum de vraisemblance et de l'estimateur bayésien dans ce cas. L'utilisation de ces estimateurs nous ramène à construire les tests de type Cramér-von Mises correspondants et à étudier leurs distributions limites. Enfin, nous considérons deux tests de type Cramér-von Mises de processus de diffusion ergodiques dans le cas général. Il est montré que pour le choix de certaines des fonctions de poids ces tests sont asymptotiquement " distribution-free ". Pour certains cas particuliers, nous établissons les expressions explicites des distributions limites de ces statistiques par le calcul direct de la transformée de Laplace.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Ce travail est consacré au problème de construction des tests d'ajustement dans le cas des processus stochastiques observés en temps continu. Comme modèles d'observations, nous considérons les processus de diffusion avec « petit bruit » et ergodique et le processus de Poisson non homogène. Sous l'hypothèse nulle, nous traitons le cas où chaque modèle dépend d'un paramètre inconnu unidimensionnel et nous proposons l'estimateur de distance minimale pour ce paramètre. Notre but est la construction des tests d'ajustement « asymptotically distribution free » (ADF) de niveau asymtotique α ϵ (0,1) dans le cas de cette hypothèse paramétrique pour les modèles traités. Nous montrons alors que la limite de chaque statistique étudiée ne dépend ni du modèle ni du paramètre inconnu. Les tests d'ajustement basés sur ces statistiques sont donc ADF. L'objectif principal de ce travail est la construction d'une transformation linéaire spéciale. En particulier, nous résolvons l'équation de Fredholm du second type avec le noyau dégénéré. Sa solution nous permet de construire la transformation linéaire désirée. Ensuite, nous montrons que l'application de cette transformation aux statistiques de base étudiées dans chaque modèle nous aide à introduire des statistiques ayant la même limite (l'intégrale du carrée du processus de Wiener). Cette dernière est « distribution free » vu qu'elle ne dépend ni du modèle ni du paramètre inconnu. Par conséquent, nous proposons des tests d'ajustement ADF en se basant sur cette transformation linéaire pour les processus de diffusion avec « petit bruit » et ergodique et le processus de Poisson non homogène. / This work is devoted to the problem of the construction of several goodness of-fit (GoF) tests in the case of somestochastic processes observed in continuous time. As models of observations, we take "small noise" and ergodic diffusionprocesses and an inhomogeneous Poisson process. Under the null hypothesis, we treat the case where each model depends on an unknown one-dimensional parameter and we consider the minimum distance estimator for this parameter. Our goal is to propose "asymptotically distribution free" (ADF) GoF tests of asymptotic size α ϵ (0,1) in the case of the parametric null hypotheses for the considered models. Indeed, we show that the limit of each studied statistic does not depend on the model and the unknown parameter. Therefore, the tests based on these statistics are ADF.The main purpose of this work is to construct a special linear transformation. In particular, we solve Fredholm equation ofthe second kind with degenerated kernel. Its solution gives us the desired linear transformation. Next, we show that theapplication of this transformation to the basic statistics allows us to introduce statistics with the same limit (the integral of the square of the Wiener process). The latter is "distribution free" because it does not depend on the models and the unknown parameter. Therefore, we construct the ADF GoF tests which are based on this linear transformation for the diffusion ("small noise" and ergodic) and inhomogeneous Poisson processes.