Ce travail est consacré aux problèmes de testd'hypothèses pour les processus de Poisson nonhomogènes.L'objectif principal de ce travail est l'étude decomportement des différents tests dans le cas desmodèles statistiques singuliers. L'évolution de lasingularité de la fonction d'intensité est comme suit :régulière (l'information de Fisher finie), continue maisnon différentiable (singularité de type "cusp"),discontinue (singularité de type saut) et discontinueavec un saut de taille variable. Dans tous les cas ondécrit analytiquement les tests. Dans le cas d'un saut detaille variable, on présente également les propriétésasymptotiques des estimateurs.En particulier, on décrit les statistiques de tests, le choixdes seuils et le comportement des fonctions depuissance sous les alternatives locales. Le problèmeinitial est toujours le test d'une hypothèse simple contreune alternative unilatérale. La méthode principale est lathéorie de la convergence faible dans l'espace desfonctions discontinues. Cette théorie est appliquée àl'étude des processus de rapport de vraisemblancenormalisé dans les modèles singuliers considérés. Laconvergence faible du rapport de vraisemblance sousl'hypothèse et sous les alternatives vers les processuslimites correspondants nous permet de résoudre lesproblèmes mentionnés précédemment.Les résultats asymptotiques sont illustrés par dessimulations numériques contenant la construction destests, le choix des seuils et les fonctions de puissancessous les alternatives locales.

Ce travail est consacré aux problèmes de testd’hypothèses pour les processus de Poisson nonhomogènes.L’objectif principal de ce travail est l’étude decomportement des différents tests dans le cas desmodèles statistiques singuliers. L’évolution de lasingularité de la fonction d'intensité est comme suit :régulière (l'information de Fisher finie), continue maisnon différentiable (singularité de type “cusp”),discontinue (singularité de type saut) et discontinueavec un saut de taille variable. Dans tous les cas ondécrit analytiquement les tests. Dans le cas d’un saut detaille variable, on présente également les propriétésasymptotiques des estimateurs.En particulier, on décrit les statistiques de tests, le choixdes seuils et le comportement des fonctions depuissance sous les alternatives locales. Le problèmeinitial est toujours le test d’une hypothèse simple contreune alternative unilatérale. La méthode principale est lathéorie de la convergence faible dans l’espace desfonctions discontinues. Cette théorie est appliquée àl’étude des processus de rapport de vraisemblancenormalisé dans les modèles singuliers considérés. Laconvergence faible du rapport de vraisemblance sousl’hypothèse et sous les alternatives vers les processuslimites correspondants nous permet de résoudre lesproblèmes mentionnés précédemment.Les résultats asymptotiques sont illustrés par dessimulations numériques contenant la construction destests, le choix des seuils et les fonctions de puissancessous les alternatives locales. / This work is devoted to the hypotheses testing problems for inhomogeneous Poisson processes.The main object of the work is the study of the behaviour of different tests in the case of singular statistical models. The “evolution of singularity” of the intensity function is the following: regular (finite Fisherinformation), continuous but not differentiable (“cusp”type singularity), discontinuous (jump type singularity)and discontinuous with variable jump size. In all thecases we describe analytically the tests. In the case ofvariable jump size we present as well the asymptoticproperties of the estimators.In particular we describe the test statistics, the choice ofthresholds and the form of the power functions for thelocal alternatives. The initial problem is always the testof a simple hypothesis against a one-sided alternative.The main tool is the weak convergence theory in thespace of discontinuous functions. This theory is appliedto the study of the normalized likelihood ratio processesin the considered singular models. The weakconvergence of the likelihood ratio processes underhypothesis and under alternatives to the correspondinglimit processes allows us to solve the mentioned aboveproblems.The asymptotic results are illustrated by numericalsimulations which contain the construction of the tests,the choice of the thresholds, and the power functions forlocal alternatives.

Ce travail est consacré au problème de construction des tests d'ajustement dans le cas des processus stochastiques observés en temps continu. Comme modèles d'observations, nous considérons les processus de diffusion avec « petit bruit » et ergodique et le processus de Poisson non homogène. Sous l'hypothèse nulle, nous traitons le cas où chaque modèle dépend d'un paramètre inconnu unidimensionnel et nous proposons l'estimateur de distance minimale pour ce paramètre. Notre but est la construction des tests d'ajustement « asymptotically distribution free » (ADF) de niveau asymtotique α ϵ (0,1) dans le cas de cette hypothèse paramétrique pour les modèles traités. Nous montrons alors que la limite de chaque statistique étudiée ne dépend ni du modèle ni du paramètre inconnu. Les tests d'ajustement basés sur ces statistiques sont donc ADF. L'objectif principal de ce travail est la construction d'une transformation linéaire spéciale. En particulier, nous résolvons l'équation de Fredholm du second type avec le noyau dégénéré. Sa solution nous permet de construire la transformation linéaire désirée. Ensuite, nous montrons que l'application de cette transformation aux statistiques de base étudiées dans chaque modèle nous aide à introduire des statistiques ayant la même limite (l'intégrale du carrée du processus de Wiener). Cette dernière est « distribution free » vu qu'elle ne dépend ni du modèle ni du paramètre inconnu. Par conséquent, nous proposons des tests d'ajustement ADF en se basant sur cette transformation linéaire pour les processus de diffusion avec « petit bruit » et ergodique et le processus de Poisson non homogène. / This work is devoted to the problem of the construction of several goodness of-fit (GoF) tests in the case of somestochastic processes observed in continuous time. As models of observations, we take "small noise" and ergodic diffusionprocesses and an inhomogeneous Poisson process. Under the null hypothesis, we treat the case where each model depends on an unknown one-dimensional parameter and we consider the minimum distance estimator for this parameter. Our goal is to propose "asymptotically distribution free" (ADF) GoF tests of asymptotic size α ϵ (0,1) in the case of the parametric null hypotheses for the considered models. Indeed, we show that the limit of each studied statistic does not depend on the model and the unknown parameter. Therefore, the tests based on these statistics are ADF.The main purpose of this work is to construct a special linear transformation. In particular, we solve Fredholm equation ofthe second kind with degenerated kernel. Its solution gives us the desired linear transformation. Next, we show that theapplication of this transformation to the basic statistics allows us to introduce statistics with the same limit (the integral of the square of the Wiener process). The latter is "distribution free" because it does not depend on the models and the unknown parameter. Therefore, we construct the ADF GoF tests which are based on this linear transformation for the diffusion ("small noise" and ergodic) and inhomogeneous Poisson processes.

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