L'objet de cette thèse est la construction de schémas numériques pour les équations cinétiques dans différents régimes de diffusion anormale. Comme le modèle devient raide en s'approchant du modèle asymptotique, les méthodes numériques standard deviennent coûteuses dans ce régime. Les schémas Asymptotic Preserving ont été introduits pour pallier à cette difficulté. Ils sont en effet stables le long de la transition du régime mésoscopique au régime microscopique. Dans le premier chapitre, nous considérons le cas d'une distribution d'équilibre qui est une fonction à queue lourde et dont le moment d'ordre 2 est infini. Le poids important des grandes vitesses de l'équilibre fait tomber la limite de diffusion usuelle en défaut, et on montre que le modèle asymptotique est une équation de diffusion fractionnaire. En nous basant sur une analyse asymptotique formelle de la convergence vers le modèle limite, nous construisons trois schémas AP pour le problème. La discrétisation en vitesse est discutée afin de prendre en compte correctement les grandes vitesses, et nous montrons que le troisième schéma est en outre uniformément précis au cours de la transition vers le régime microscopique. Dans le chapitre 2, nous étendons ces résultats au cas d'une fréquence de collision dégénérée en 0 qui mène aussi à une équation de diffusion fractionnaire. Nous adaptons ensuite ces méthodes numériques au cas d'une limite de diffusion normale avec scaling en temps anormal dans l'équation cinétique dans le chapitre 3. Dans ce cadre, la lenteur de la convergence vers le modèle asymptotique rend nécessaire une adaptation de l'approche AP des chapitres précédents. Enfin, le chapitre 4 présente un schéma AP pour l'équation cinétique dans le cas heavy-tail du chapitre 1 lorsque l'opérateur de collision est non-local. / In this thesis, we construct numerical schemes for kinetic equations in some anomalous diffusion regimes. As the model becomes stiff when reaching the asymptotic model, the standard numerical methods become costly in this regime. Asymptotic Preserving (AP) schemes have been designed to overcome this difficulty. Indeed, they are uniformly stable along the transition from the mesoscopic regime to the microscopic one. In the first chapter, we study the case of a heavy-tailed equilibrium distribution, with infinite second order moment. The importance of the high velocities in the equilibrium makes the classical diffusion limit fail, and one can prove that the asymptotic model is a fractional diffusion equation. We construct three AP schemes for this problem, based on a formal asymptotic analysis of the convergence towards the limit model. The discretization of the velocities is then discussed to take into account the high velocities. Moreover, we prove that the third scheme enjoys the stronger property of being uniformly accurate along the convergence towards the microscopic regime. In chapter 2, we extend these results to the case of a degenerated collision frequency, also leading to a fractional diffusion limit. In chapter 3, these methods are then adapted to the case of a classical diffusion limit with anomalous time scale in the kinetic equation. In this case, an adaptation of the AP approach of the previous chapter is needed, because of the slow convergence rate of the kinetic equation towards the limit model. Eventually, a AP scheme for kinetic equation with heavy-tailed equilibria and non local collision operator is presented in chapter 4.

Ce travail est consacré aux problèmes de testd'hypothèses pour les processus de Poisson nonhomogènes.L'objectif principal de ce travail est l'étude decomportement des différents tests dans le cas desmodèles statistiques singuliers. L'évolution de lasingularité de la fonction d'intensité est comme suit :régulière (l'information de Fisher finie), continue maisnon différentiable (singularité de type "cusp"),discontinue (singularité de type saut) et discontinueavec un saut de taille variable. Dans tous les cas ondécrit analytiquement les tests. Dans le cas d'un saut detaille variable, on présente également les propriétésasymptotiques des estimateurs.En particulier, on décrit les statistiques de tests, le choixdes seuils et le comportement des fonctions depuissance sous les alternatives locales. Le problèmeinitial est toujours le test d'une hypothèse simple contreune alternative unilatérale. La méthode principale est lathéorie de la convergence faible dans l'espace desfonctions discontinues. Cette théorie est appliquée àl'étude des processus de rapport de vraisemblancenormalisé dans les modèles singuliers considérés. Laconvergence faible du rapport de vraisemblance sousl'hypothèse et sous les alternatives vers les processuslimites correspondants nous permet de résoudre lesproblèmes mentionnés précédemment.Les résultats asymptotiques sont illustrés par dessimulations numériques contenant la construction destests, le choix des seuils et les fonctions de puissancessous les alternatives locales.

Ce travail est consacré aux problèmes de testd’hypothèses pour les processus de Poisson nonhomogènes.L’objectif principal de ce travail est l’étude decomportement des différents tests dans le cas desmodèles statistiques singuliers. L’évolution de lasingularité de la fonction d'intensité est comme suit :régulière (l'information de Fisher finie), continue maisnon différentiable (singularité de type “cusp”),discontinue (singularité de type saut) et discontinueavec un saut de taille variable. Dans tous les cas ondécrit analytiquement les tests. Dans le cas d’un saut detaille variable, on présente également les propriétésasymptotiques des estimateurs.En particulier, on décrit les statistiques de tests, le choixdes seuils et le comportement des fonctions depuissance sous les alternatives locales. Le problèmeinitial est toujours le test d’une hypothèse simple contreune alternative unilatérale. La méthode principale est lathéorie de la convergence faible dans l’espace desfonctions discontinues. Cette théorie est appliquée àl’étude des processus de rapport de vraisemblancenormalisé dans les modèles singuliers considérés. Laconvergence faible du rapport de vraisemblance sousl’hypothèse et sous les alternatives vers les processuslimites correspondants nous permet de résoudre lesproblèmes mentionnés précédemment.Les résultats asymptotiques sont illustrés par dessimulations numériques contenant la construction destests, le choix des seuils et les fonctions de puissancessous les alternatives locales. / This work is devoted to the hypotheses testing problems for inhomogeneous Poisson processes.The main object of the work is the study of the behaviour of different tests in the case of singular statistical models. The “evolution of singularity” of the intensity function is the following: regular (finite Fisherinformation), continuous but not differentiable (“cusp”type singularity), discontinuous (jump type singularity)and discontinuous with variable jump size. In all thecases we describe analytically the tests. In the case ofvariable jump size we present as well the asymptoticproperties of the estimators.In particular we describe the test statistics, the choice ofthresholds and the form of the power functions for thelocal alternatives. The initial problem is always the testof a simple hypothesis against a one-sided alternative.The main tool is the weak convergence theory in thespace of discontinuous functions. This theory is appliedto the study of the normalized likelihood ratio processesin the considered singular models. The weakconvergence of the likelihood ratio processes underhypothesis and under alternatives to the correspondinglimit processes allows us to solve the mentioned aboveproblems.The asymptotic results are illustrated by numericalsimulations which contain the construction of the tests,the choice of the thresholds, and the power functions forlocal alternatives.

Dans ce travail, nous proposons des procédures de test paramétriques et nonparamétrique localement et asymptotiquement optimales au sens de Hajek et Le Cam, pour trois modèles d'asymétrie. <p>La construction de modèles d'asymétrie est un sujet de recherche qui a connu un grand développement ces dernières années, et l'obtention des tests optimaux (pour trois modèles différents) est une étape essentielle en vue de leur mise en application. <p>Notre approche est fondée sur la théorie de Le Cam d'une part, pour obtenir les propriétés de normalité asymptotique, bases de la construction des tests paramétriques optimaux, et la théorie de Hajek d'autre part, qui, via un principe d'invariance permet d'obtenir les procédures non-paramétriques.<p><p>Nous considérons dans ce travail deux classes de distributions univariées asymétriques, l'une fondée sur un développement d'Edgeworth (décrit dans le Chapitre 1), et l'autre construite en utilisant un paramètre d'échelle différent pour les valeurs positives et négatives (le modèle de Fechner, décrit dans le Chapitre 2).<p>Le modèle d'asymétrie elliptique étudié dans le dernier chapitre est une généralisation multivariée du modèle du Chapitre 2.<p>Pour chacun de ces modèles, nous proposons de tester l'hypothèse de symétrie par rapport à un centre fixé, puis par rapport à un centre non spécifié.<p><p>Après avoir décrit le modèle pour lequel nous construisons les procédures optimales, nous obtenons la propriété de normalité locale asymptotique. A partir de ce résultat, nous sommes capable de construire les tests paramétriques localement et asymptotiquement optimaux. Ces tests ne sont toutefois valides que si la densité sous-jacente f est correctement spécifiée. Ils ont donc le mérite de déterminer les bornes d'efficacité paramétrique, mais sont difficilement applicables. <p>Nous adaptons donc ces tests afin de pouvoir tester les hypothèses de symétrie par rapport à un centre fixé ou non, lorsque la densité sous-jacente est considérée comme un paramètre de nuisance. <p>Les tests que nous obtenons restent localement et asymptotiquement optimaux sous f, mais restent valides sous une large classe de densités. <p><p>A partir des propriétés d'invariance du sous-modèle identifié par l'hypothèse nulle, nous obtenons les tests de rangs signés localement et asymptotiquement optimaux sous f, et valide sous une vaste classe de densité. Nous présentons en particulier, les tests fondés sur les scores normaux (ou tests de van der Waerden), qui sont optimaux sous des hypothèses Gaussiennes, tout en étant valides si cette hypothèse n'est pas vérifiée.<p>Afin de comparer les performances des tests paramétriques et non paramétriques présentés, nous calculons les efficacités asymptotiques relatives des tests non paramétriques par rapport aux tests pseudo-Gaussiens, sous une vaste classe de densités non-Gaussiennes, et nous proposons quelques simulations. / Doctorat en sciences, Orientation statistique / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans ce travail, nous proposons des procédures de test paramétriques et nonparamétriques localement et asymptotiquement optimales au sens de Hajek et Le Cam, pour deux modèles de données de panel. Notre approche est fondée sur la théorie de Le Cam d'une part, pour obtenir les propriétés de normalité asymptotique, bases de la construction des tests paramétriques optimaux, et la théorie de Hajek d'autre part, qui, via un principe d'invariance, permet d'obtenir les procédures nonparamétriques.<p><p><p><p>Dans le premier chapitre, nous considérons un modèle à erreurs composées et nous nous intéressons au problème qui consiste à tester l'absence de l'effet individuel aléatoire. Nous<p>établissons la propriété de normalité locale asymptotique (LAN), ce qui nous permet de construire des procédures paramétriques localement et asymptotiquement optimales (“les plus stringentes”)<p>pour le problème considéré. L'optimalité de ces procédures est liée à la densité-cible f1. Ces propriétés d'optimalité sont hautement paramétriques puisqu'elles requièrent que la densité sous-jacente soit f1. De plus, ces procédures ne seront valides que si la densité-cible f1 et la densité sous-jacent g1 coincïdent. Or, en pratique, une spécification correcte de la densité sous-jacente g1 est non réaliste, et g1 doit être considérée comme un paramètre de nuissance. Pour éliminer cette nuisance, nous adoptons l'argument d'invariance et nous nous restreignons aux procédures fondées sur des statistiques qui sont mesurables par rapport au vecteur des rangs. Les tests que nous obtenons restent valide quelle que soit la densité sous-jacente et sont localement et asymptotiquement les plus stringents. Afin d'avoir des renseignements sur l'efficacité des tests<p>fondés sur les rangs sous différentes lois, nous calculons les efficacités asymptotiques relatives de ces tests par rapport aux tests pseudo-gaussiens, sous des densités g1 quelconques. Enfin, nous proposons quelques simulations pour comparer les performances des procédures proposées. <p><p><p><p>Dans le deuxième chapitre, nous considérons un modèle à erreurs composées avec autocorrélation d'ordre 1 et nous montrons que ce modèle jouit de la propriété LAN. A partir de ce résultat, nous construisons des tests optimaux, au sens local et asymptotique, pour trois problèmes de tests importants dans ce contexte :(a) test de l'absence d'effet individuel et d'autocorrélation; (b) test de l'absence d'effet individuel en présence d'une autocorrélation non<p>spécifiée; et (c) test de l'absence d'autocorrélation en présence d'un effet individuel non spécifié. Enfin, nous proposons quelques simulations pour comparer les performances des tests pseudogaussiens<p>et des tests classiques. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Nous appliquons la théorie asymptotique des expériences statistiques à des problèmes liés aux valeurs extrêmes. Quatre modèles semi-paramétriques sont envisagés. Tout d'abord le modèle d'échantillonnage de fonction de répartition de type Pareto. L'index de Pareto est le paramètre d'intérêt tandis que la fonction à variation lente, qui intervient dans la décomposition de la fonction de survie, joue le rôle de nuisance. Nous considérons ensuite des observations i.i.d. de fonction de répartition de type Weibull. Le troisième modèle étudié est un modèle de régression. On considère des couples d'observations $(Y_i,X_i)$ indépendants, les v.a. $X_i$ sont i.i.d. de loi connue et on suppose que la fonction de répartition de la loi de $Y$ conditionnellement à $X$ est de type Pareto, avec une fonction à variation lente et un index $gamma$ qui dépendent de $X$. On fait l'hypothèse que la fonction $gamma$ a une forme quelconque mais connue, qui dépend d'un paramètre $\ / Doctorat en sciences, Orientation statistique / info:eu-repo/semantics/nonPublished