L'analyse statistique, prise au sens large, est centrée sur la description, et, lorsque les circonstances le permettent, la modélisation quantitative des phénomènes observés, pour peu que ces derniers possèdent une part d'incertitude, et donc, qu'ils soient soumis aux lois du hasard. Dans cette activité scientifique, le plus grand soin doit être apporté à la validation des hypothèses de modélisation, nécessaires à l'interprétation des résultats. Ce principe général s'applique d'ailleurs à toutes les sciences expérimentales, et tout aussi bien aux sciences humaines (en psychologie), qu'en économie, et dans bien d'autres disciplines. Une théorie scientifique repose, au départ, sur des hypothèses de modélisation, qui sont ensuite soumises à l'épreuve de l'expérimentation. Celle-ci est basée sur le recueil de données, dont il est nécessaire de décider la nature, compatible ou non, avec les modèles choisis, aboutissant, soit au rejet, soit à l'acceptation, de ces derniers. La statistique a développé, dans ce but, une technologie basée sur les tests d'hypothèses, dont nous nous abstiendrons de discuter dans mon mémoire de thèse les bases et les fondements. Dans cette thèse, nous avons abordé l'étude de certains tests d'ajustement (dits, en Anglais, tests of fit"), de nature paramétrique et non paramétrique. Les aspects techniques de ces tests d'hypothèses ont été abordés, dans le contexte particulier de notre étude pour les tests de type Cramer-Von Mises. On ne manquera pas de citer l'approche initialement utilisée pour les tests de type Kolmogorov-Smirnov. Enfin, l'ouvrage de Nikitin était une référence de base particulièrement adaptée à la nature de notre recherche. L'objectif principal de la thèse est d'évaluer la puissance asymptotique de certains tests d'ajustement, relevant de la catégorie générale des tests de Cramer-Von Mises. Nous avons évalué cette puissance, relativement à des suites convenables d'alternatives locales. Notre méthode utilise les développements de Karhunen-Loève d'un pont brownien pondéré. Notre travail avait pour objet secondaire de compléter des recherches récentes de P.Deheuvels et G.Martynov, qui ont donné l'expression des fonctions propres et valeurs propres des développements de Karhunen-Loève de certains ponts browniens pondérés à l'aide de fonctions de Bessel. Dans le premier temps, nous avons exposé les fondements des développements de Karhunen-Loève [D.K.L], ainsi que les applications qui en découlent en probabilités et statistiques. Le deuxième paragraphe de cette thèse a été consacré à un exposé de la composante de la théorie des tests d'hypothèses adaptée à la suite de notre mémoire. Dans ce même paragraphe, nous montrons l'intérêt qu'apporte une connaissance explicite des composantes d'un développement de Karhunen-Loève, en vue de l'évaluation de la puissance de tests d'ajustement basés sur les statistiques de type Cramer-Von Mises qui sont liées à ce D.K.L.

Nous considérons les tests d'ajustement de type Cramér-von Mises pour tester l'hypothèse que le processus de diffusion observé est un "switching diffusion", c'est-à-dire un processus de diffusion à changement de régime dont la dérive est de type signe. Ces tests sont basés sur la fonction de répartition empirique et la densité empirique. Il est montré que les distributions limites des tests statistiques proposés sont définis par des fonctionnelles de type intégrale des processus Gaussiens continus. Nous établissons les développements de Karhunen-Loève des processus limites correspondants. Ces développements nous permettent de simplifier le problème du calcul des seuils. Nous étudions le comportement de ces statistiques sous les alternatives et nous montrons que ces tests sont consistants. Pour traiter les hypothèses de base composite nous avons besoin de connaître le comportement asymptotique des estimateurs statistiques des paramètres inconnus, c'est pourquoi nous considérons le problème de l'estimation des paramètres pour le processus de diffusion à changement de régime. Nous supposons que le paramètre inconnu est à deux dimensions et nous décrivons les propriétés asymptotiques de l'estimateur de maximum de vraisemblance et de l'estimateur bayésien dans ce cas. L'utilisation de ces estimateurs nous ramène à construire les tests de type Cramér-von Mises correspondants et à étudier leurs distributions limites. Enfin, nous considérons deux tests de type Cramér-von Mises de processus de diffusion ergodiques dans le cas général. Il est montré que pour le choix de certaines des fonctions de poids ces tests sont asymptotiquement " distribution-free ". Pour certains cas particuliers, nous établissons les expressions explicites des distributions limites de ces statistiques par le calcul direct de la transformée de Laplace.

Ce travail présente quelques résultats concernant des méthodes numériques déterministes et probabilistes pour des équations aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, avec des applications à l'hydrogéologie. On s'intéresse tout d'abord à l'équation d'écoulement dans un milieu poreux en régime stationnaire avec un coefficient de perméabilité lognormal homogène, incluant le cas d'une fonction de covariance peu régulière. On établit des estimations aux sens fort et faible de l'erreur commise sur la solution en tronquant le développement de Karhunen-Loève du coefficient. Puis on établit des estimations d'erreurs éléments finis dont on déduit une extension de l'estimation d'erreur existante pour la méthode de collocation stochastique, ainsi qu'une estimation d'erreur pour une méthode de Monte-Carlo multi-niveaux. On s'intéresse enfin au couplage de l'équation d'écoulement considérée précédemment avec une équation d'advection-diffusion, dans le cas d'incertitudes importantes et d'une faible longueur de corrélation. On propose l'analyse numérique d'une méthode numérique pour calculer la vitesse moyenne à laquelle la zone contaminée par un polluant s'étend. Il s'agit d'une méthode de Monte-Carlo combinant une méthode d'élements finis pour l'équation d'écoulement et un schéma d'Euler pour l'équation différentielle stochastique associée à l'équation d'advection-diffusion, vue comme une équation de Fokker-Planck.

De nos jours, la plupart des analyses CEM d’équipements et systèmes électroniques sont basées sur des approches quasi-déterministes dans lesquelles les paramètres internes et externes des modèles sont supposés parfaitement connus et où les incertitudes les affectant sont prises en compte sur les réponses par le biais de marges de sécurité importantes. Or, l’inconvénient de telles approches est qu’elles sont non seulement trop conservatives, mais en outre totalement inadaptées à certaines situations, notamment lorsque l’objectif de l’étude impose de prendre en compte le caractère aléatoire de ces paramètres via des modélisations stochastiques appropriées de type variables, processus ou champs aléatoires. Cette approche probabiliste a fait l’objet ces dernières années d’un certain nombre de recherches en CEM, tant au plan national qu’au plan international. Le travail présenté dans cette thèse est une contribution à ces recherches et a un double objectif : (1) développer et mettre en œuvre une méthodologie probabiliste et ses outils numériques d’accompagnement pour l’évaluation de la fiabilité et l’analyse sensibilité des équipements et systèmes électroniques en se limitant à des modélisations stochastiques par variables aléatoires ; (2) étendre cette étude au cas des modélisations stochastiques par processus et champs aléatoires dans le cadre d’une analyse prospective basée sur la résolution de l’équation aux dérivées partielles des télégraphistes à coefficients aléatoires.L’approche probabiliste mentionnée au point (1) consiste à évaluer la probabilité de défaillance d’un équipement ou d’un système électronique vis-à-vis d’un critère de défaillance donné et à déterminer l’importance relative de chacun des paramètres aléatoires en présence. Les différentes méthodes retenues à cette fin sont des adaptations à la CEM de méthodes développées dans le domaine de la mécanique aléatoire pour les études de propagation d’incertitudes. Pour le calcul des probabilités de défaillance, deux grandes catégories de méthodes sont proposées : celles basées sur une approximation de la fonction d’état-limite relative au critère de défaillance et les méthodes de Monte-Carlo basées sur la simulation numérique des variables aléatoires du modèle et l’estimation statistique des probabilités cibles. Pour l’analyse de sensibilité, une approche locale et une approche globale sont retenues. Ces différentes méthodes sont d’abord testées sur des applications académiques afin de mettre en lumière leur intérêt dans le domaine de la CEM. Elles sont ensuite appliquées à des problèmes de lignes de transmission et d’antennes plus représentatifs de la réalité.Dans l’analyse prospective, des méthodes de résolution avancées sont proposées, basées sur des techniques spectrales requérant les développements en chaos polynomiaux et de Karhunen-Loève des processus et champs aléatoires présents dans les modèles. Ces méthodes ont fait l’objet de tests numériques encourageant, mais qui ne sont pas présentés dans le rapport de thèse, faute de temps pour leur analyse complète. / Nowadays, most EMC analyzes of electronic or electrical devices are based on deterministic approaches for which the internal and external models’ parameters are supposed to be known and the uncertainties on models’ parameters are taken into account on the outputs by defining very large security margins. But, the disadvantage of such approaches is their conservative character and their limitation when dealing with the parameters’ uncertainties using appropriate stochastic modeling (via random variables, processes or fields) is required in agreement with the goal of the study. In the recent years, this probabilistic approach has been the subject of several researches in the EMC community. The work presented here is a contribution to these researches and has a dual purpose : (1) develop a probabilistic methodology and implement the associated numerical tools for the reliability and sensitivity analyzes of the electronic devices and systems, assuming stochastic modeling via random variables; (2) extend this study to stochastic modeling using random processes and random fields through a prospective analysis based on the resolution of the telegrapher equations (partial derivative equations) with random coefficients. The first mentioned probabilistic approach consists in computing the failure probability of an electronic device or system according to a given criteria and in determining the relative importance of each considered random parameter. The methods chosen for this purpose are adaptations to the EMC framework of methods developed in the structural mechanics community for uncertainty propagation studies. The failure probabilities computation is performed using two type of methods: the ones based on an approximation of the limit state function associated to the failure criteria, and the Monte Carlo methods based on the simulation of the model’s random variables and the statistical estimation of the target failure probabilities. In the case of the sensitivity analysis, a local approach and a global approach are retained. All these methods are firstly applied to academic EMC problems in order to illustrate their interest in the EMC field. Next, they are applied to transmission lines problems and antennas problems closer to reality. In the prospective analysis, more advanced resolution methods are proposed. They are based on spectral approaches requiring the polynomial chaos expansions and the Karhunen-Loève expansions of random processes and random fields considered in the models. Although the first numerical tests of these methods have been hopeful, they are not presented here because of lack of time for a complete analysis.

Ce travail présente quelques résultats concernant des méthodes numériques déterministes et probabilistes pour des équations aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, avec des applications à l'hydrogéologie. On s'intéresse tout d'abord à l'équation d'écoulement dans un milieu poreux en régime stationnaire avec un coefficient de perméabilité lognormal homogène, incluant le cas d'une fonction de covariance peu régulière. On établit des estimations aux sens fort et faible de l'erreur commise sur la solution en tronquant le développement de Karhunen-Loève du coefficient. Puis on établit des estimations d'erreurs éléments finis dont on déduit une extension de l'estimation d'erreur existante pour la méthode de collocation stochastique, ainsi qu'une estimation d'erreur pour une méthode de Monte-Carlo multi-niveaux. On s'intéresse enfin au couplage de l'équation d'écoulement considérée précédemment avec une équation d'advection-diffusion, dans le cas d'incertitudes importantes et d'une faible longueur de corrélation. On propose l'analyse numérique d'une méthode numérique pour calculer la vitesse moyenne à laquelle la zone contaminée par un polluant s'étend. Il s'agit d'une méthode de Monte-Carlo combinant une méthode d'élements finis pour l'équation d'écoulement et un schéma d'Euler pour l'équation différentielle stochastique associée à l'équation d'advection-diffusion, vue comme une équation de Fokker-Planck. / This work presents some results about probabilistic and deterministic numerical methods for partial differential equations with stochastic coefficients, with applications to hydrogeology. We first consider the steady flow equation in porous media with a homogeneous lognormal permeability coefficient, including the case of a low regularity covariance function. We establish error estimates, both in strong and weak senses, of the error in the solution resulting from the truncature of the Karhunen-Loève expansion of the coefficient. Then we establish finite element error estimates, from which we deduce an extension of the existing error estimate for the stochastic collocation method along with an error estimate for a multilevel Monte-Carlo method. We finally consider the coupling of the previous flow equation with an advection-diffusion equation, in the case when the uncertainty is important and the correlation length is small. We propose the numerical analysis of a numerical method, which aims at computing the mean velocity of the expansion of a pollutant. The method consists in a Monte-Carlo method, combining a finite element method for the flow equation and an Euler scheme for the stochastic differential equation associated to the advection-diffusion equation, seen as a Fokker-Planck equation.