Cette thèse est consacrée à certains modèles mathématiques décrivant le mouvement d'une population de cellules, qui interagissent via un signal chimique. L'accent est mis sur le modèle parabolique de Patlak-Keller-Segel, et dans une moindre mesure, sur le modèle cinétique d'Othmer-Dunbar-Alt.<br /><br />Dans une première partie nous étudions plusieurs variantes du modèle PKS classique, incluant notamment une diffusion non-linéaire des cellules, ou bien une loi de diffusion chimique à noyau de Green logarithmique. Puis nous montrons l'existence globale pour une masse sous-critique du modèle PKS classique dans tout l'espace $\mathbb{R}^2$.<br />On complexifie ensuite le modèle de base en ajoutant un intermédiaire chimique réactionnel, ce qui modifie l'homogénéité du système. Enfin les conditions d'existence globale pour le modèle cinétique ODA avec effets délocalisants sont affaiblies par rapport aux travaux précédents.<br /><br />Dans une deuxième partie nous appliquons le modèle phénoménologique de PKS, et son principe de masse critique, à un processus d'auto-organisation remarquable dans le cerveau: la sclérose concentrique de Baló. Un couplage adéquat entre un front de propagation et une instabilité de PKS décrit raisonnablement les motifs en anneaux de la maladie.<br /><br />La troisième partie adopte le point de vue du transport optimal de masse pour analyser le modèle de PKS unidimensionnel modifié auparavant (afin de partager les caractéristiques de PKS 2D). Bien que la fonctionnelle d'énergie ne soit pas convexe par déplacement, nous démontrons la convergence vers un unique état d'équilibre, lorsqu'il existe. Ces nouvelles idées sont mises en oeuvre numériquement~: un flot gradient discret pour la distance de Wasserstein est analysé, puis simulé en dimension un d'espace.<br /><br />Plusieurs annexes viennent compléter ce travail, dont une annexe qui regroupe tous les aspects numériques de la thèse.

La compréhension du cycle de la matière organique du sol (MOS) est un outil majeur dans la lutte contre le réchauffement climatique, la préservation de la biodiversité ainsi que dans la consolidation de la sécurité alimentaire. Dans ce contexte, cette thèse porte sur la modélisation et l'analyse mathématique de modèles de la dynamique du carbone organique dans le sol.Dans le chapitre 2, nous avons étudié la robustesse et les propriétés mathématiques d'un modèle non linéaire (MOMOS). Nous avons montré que si les données sont périodiques nous obtenons l'existence d'une solution périodique attractive. Le chapitre3 est consacré à la validation mathématique d'un modèle spatialisé basé sur les équations de MOMOS, auxquels nous avons ajouté des opérateurs de diffusion et de transport. L'effet de l'hétérogénéité spatiale sur ce modèle est étudié dans le chapitre4 en utilisant des techniques d'homogénéisation. Suivant la méthodologie de Bosattaet Agren, nous dérivons un autre modèle à qualité continue, qui prend en compte l'effet de l'âge sur la décomposition de la MOS. Le chapitre 5 contient la validation mathématique et expérimentale du modèle. Enfin, nous considérons dans les chapitres6 et 7, un modèle incluant l'effet de la chemotaxie. Nous montrons l'existence, la positivité et l'unicité des solutions dans des domaines suffisamment réguliers de dimension inférieure ou égale à 3. / Understanding the soil organic matter (SOM) cycle is a major tool in the effort toreduce global warming, to preserve biodiversity and to improve food safety strategies.In this context, this thesis is about modelling and mathematical analysis of thedynamics of the organic carbon in soil.In chapter 2, we validate mathematically a nonlinear soil organic carbon model(MOMOS) and we prove that, if data is periodic, then there is a unique attractiveperiodic solution. In chapter 3, we focus on the mathematical validation of a spatialmodel derived from MOMOS and where we used diffusion and transport operators.We prove also the existence of a periodic solution. In addition, the effect of soilheterogeneities on the model is studied in chapter 4 using homogenization techniques.Moreover, following the Bosatta and Agren methodology, we derive a continuousquality model taking in consideration the effect of age on the quality of SOM. Wevalidate the model mathematically and experimentally in chapter 5. Finally, weconsider in chapters 6 and 7 another model that takes into account the chemotaxismovement of soil microorganisms. We prove mainly the existence and uniqueness of apositive solution in a regular spatial domain of dimension less or equal to 3.