Les code en métrique rang attirent l’attention depuis quelques années en raison de leur application possible au codage réseau linéaire aléatoire (random linear network coding), à la cryptographie à clé publique, au codage espace-temps et aux systèmes de stockage distribué. Une construction de codes algébriques en métrique rang de cardinalité optimale a été introduite par Delsarte, Gabidulin et Roth il y a quelques décennies. Ces codes sont considérés comme l’équivalent des codes de Reed – Solomon et ils sont basés sur l’évaluation de polynômes linéarisés. Ils sont maintenant appelés les codes de Gabidulin. Cette thèse traite des codes en bloc et des codes convolutifs en métrique rang avec l’objectif de développer et d’étudier des algorithmes de décodage efficaces pour ces deux classes de codes. Après une introduction dans le chapitre 1, le chapitre 2 fournit une introduction rapide aux codes en métrique rang et leurs propriétés. Dans le chapitre 3, on considère des approches efficaces pour décoder les codes de Gabidulin. Lapremière partie de ce chapitre traite des algorithmes rapides pour les opérations sur les polynômes linéarisés. La deuxième partie de ce chapitre résume tout d’abord les techniques connues pour le décodage jusqu’à la moitié de la distance rang minimale (bounded minimum distance decoding) des codes de Gabidulin, qui sont basées sur les syndromes et sur la résolution d’une équation clé. Ensuite, nous présentons et nous prouvons un nouvel algorithme efficace pour le décodage jusqu’à la moitié de la distance minimale des codes de Gabidulin. Le chapitre 4 est consacré aux codes de Gabidulin entrelacés et à leur décodage au-delà de la moitié de la distance rang minimale. Dans ce chapitre, nous décrivons d’abord les deux approches connues pour le décodage unique et nous tirons une relation entre eux et leurs probabilités de défaillance. Ensuite, nous présentons un nouvel algorithme de décodage des codes de Gabidulin entrelacés basé sur l’interpolation des polynômes linéarisés. Nous prouvons la justesse de ses deux étapes principales — l’interpolation et la recherche des racines — et montrons que chacune d’elles peut être effectuée en résolvant un système d’équations linéaires. Jusqu’à présent, aucun algorithme de décodage en liste en temps polynomial pour les codes de Gabidulin n’est connu et en fait il n’est même pas clair que cela soit possible. Cela nous a motivé à étudier, dans le chapitre 5, les possibilités du décodage en liste en temps polynomial des codes en métrique rang. Cette analyse est effectuée par le calcul de bornes sur la taille de la liste des codes en métriques rang en général et des codes de Gabidulin en particulier. Étonnamment, les trois nouvelles bornes révèlent toutes un comportement des codes en métrique rang qui est complètement différent de celui des codes en métrique de Hamming. Enfin, dans le chapitre 6, on introduit des codes convolutifs en métrique rang. Ce qui nous motive à considérer ces codes est le codage réseau linéaire aléatoire multi-shot, où le réseau inconnu varie avec le temps et est utilisé plusieurs fois. Les codes convolutifs créent des dépendances entre les utilisations différentes du réseau aun de se adapter aux canaux difficiles. Basé sur des codes en bloc en métrique rang (en particulier les codes de Gabidulin), nous donnons deux constructions explicites des codes convolutifs en métrique rang. Les codes en bloc sous-jacents nous permettent de développer un algorithme de décodage des erreurs et des effacements efficace pour la deuxième construction, qui garantit de corriger toutes les séquences d’erreurs de poids rang jusqu’à la moitié de la distance rang active des lignes. Un résumé et un aperçu des problèmes futurs de recherche sont donnés à la fin de chaque chapitre. Finalement, le chapitre 7 conclut cette thèse. / Rank-metric codes recently attract a lot of attention due to their possible application to network coding, cryptography, space-time coding and distributed storage. An optimal-cardinality algebraic code construction in rank metric was introduced some decades ago by Delsarte, Gabidulin and Roth. This Reed–Solomon-like code class is based on the evaluation of linearized polynomials and is nowadays called Gabidulin codes. This dissertation considers block and convolutional codes in rank metric with the objective of designing and investigating efficient decoding algorithms for both code classes. After giving a brief introduction to codes in rank metric and their properties, we first derive sub-quadratic-time algorithms for operations with linearized polynomials and state a new bounded minimum distance decoding algorithm for Gabidulin codes. This algorithm directly outputs the linearized evaluation polynomial of the estimated codeword by means of the (fast) linearized Euclidean algorithm. Second, we present a new interpolation-based algorithm for unique and (not necessarily polynomial-time) list decoding of interleaved Gabidulin codes. This algorithm decodes most error patterns of rank greater than half the minimum rank distance by efficiently solving two linear systems of equations. As a third topic, we investigate the possibilities of polynomial-time list decoding of rank-metric codes in general and Gabidulin codes in particular. For this purpose, we derive three bounds on the list size. These bounds show that the behavior of the list size for both, Gabidulin and rank-metric block codes in general, is significantly different from the behavior of Reed–Solomon codes and block codes in Hamming metric, respectively. The bounds imply, amongst others, that there exists no polynomial upper bound on the list size in rank metric as the Johnson bound in Hamming metric, which depends only on the length and the minimum rank distance of the code. Finally, we introduce a special class of convolutional codes in rank metric and propose an efficient decoding algorithm for these codes. These convolutional codes are (partial) unit memory codes, built upon rank-metric block codes. This structure is crucial in the decoding process since we exploit the efficient decoders of the underlying block codes in order to decode the convolutional code.

Dans cette thèse, nous avons envisagé l’utilisation des codes en métrique rang pour des applications de communication sans fil en général, et les réseaux de capteurs en particulier. Après avoir introduit les codes en métrique rang, ces codes, qui ont été proposés dans le contexte de la cryptographie, sont adaptés par la suite pour la correction d’erreurs. Pour cela, une étude est faite sur le comportement de ces familles de codes dans un scénario de transmission sans fil en utilisant le codage réseau. Dans ce contexte, trois types d’erreurs sont considérés : le bruit de fond, les erreurs injectés dans le réseau par un utilisateur malveillant et les effacements qui peuvent être dus aux pannes des nœuds. L’analyse qui a été faite sur la famille des codes Low Rank Parity Check (LRPC) a montré que ces derniers sont plus adaptés aux réseaux de capteurs sans fil par rapport aux codes Gabidulin utilisés dans la littérature. Cette analyse a été généralisée dans le contexte multi-sources et a montré que les codes LRPC sont plus efficaces dans ce contexte. Ces contributions apportent un nouveau souffle à l’utilisation des codes en métrique rang et offrent des perspectives de poursuite intéressantes. / In this thesis, we have considered the rank metric codes for wireless sensor networks. Firstly, we have introduced the rank metric codes. Then, we adapted these codes, which were originally dedicated to cryptography applications, for error correction. To this end, we have studied the behavior of the family of rank metric codes in a wireless communication scenario using network coding. In this context, three types of errors are considered, background noise, errors injected into the network by a malicious user and erasures caused by node failures. Our analysis of the Low Rank Parity Check codes (LRPC) has shown that they are more suited to wireless sensor networks and they perform better than Gabidulin codes used in the literature. This analysis has been generalized in the multisource context and has shown that LRPC codes are more efficient in this context compared to Gabidulin codes. These contributions give a new incentive for the use of rank metric codes and offer interesting perspectives.

Ce manuscrit traite de la fiabilisation des CPL-BE dans le contexte smart grid avec l’application des techniques de codage correcteur d’erreurs et d’effacements. Après une introduction sur le concept de smart grid, le canal CPL-BE est caractérisé précisément et les modèles qui le décrivent sont présentés. Les performances des codes à métrique rang, simples ou concaténés avec des codes convolutifs, particulièrement intéressants pour combattre le bruit criss-cross sur les réseaux CPL-BE sont simulées et comparées aux performances des codes Reed-Solomon déjà présents dans plusieurs standards. Les codes fontaines qui s’adaptent à n’importe quelles statistiques d’effacements sur le canal CPL sont utilisés et les performances de schémas coopératifs basés sur ces codes fontaines sur des réseaux linéaires multi-sauts sont étudiés. Enfin des algorithmes permettant de combiner le codage réseau et le codage fontaine pour la topologie particulière des réseaux CPL pour les smart grid sont proposés et évalués. / This PhD dissertation deals with the mitigation of the impact of the Narrowband PowerLine communication (NB-PLC) channel impairments e.g., periodic impulsive noise and narrowband noise, by applying the error/erasure correction coding techniques. After an introduction to the concept of smart grid, the NB-PLC channels are characterized precisely and models that describe these channels are presented. The performance of rank metric codes, simple or concatenated with convolutional codes, that are particularly interesting to combat criss-cross errors on the NB-PLC networks are simulated and compared with Reed- Solomon (already present in several NB-PLC standards) codes performance. Fountain codes that can adapt to any channel erasures statistics are used for the NB-PLC networks and the performance of cooperative schemes based on these fountain codes on linear multi-hop networks are studied. Finally, algorithms to combine the network coding and fountain codes for the particular topology of PLC networks for the smart grid are proposed and evaluated.