Cette thèse contient essentiellement deux chapitres principaux qui ont en commun de porter sur ce que l'on appelle en géométrie de Poisson les chemins cotangents. Dans le premier chapitre, nous introduisons pour chaque hamiltonien, un lagrangien sur les chemins à valeurs dans l'espace cotangent dont les points stationnaires indiquent si le champ de bivecteur est de Poisson ou au moins définit une distribution intégrable - une classe de champs de bivecteurs qui généralise les structures de Poisson tordus que nous étudions en détail. Nous traitons dans le deuxième chapitre d'un autre résultat classique à propos des chemins cotangents, dû à Klimčík, Strobl et étudiée par Cattaneo et Felder. Un bivecteur sur une variété $M$ est de Poisson si et seulement si l'ensemble $C_pi$ des chemins cotangents pour $pi$ est co"{i}sotrope dans la variété symplectique des chemins à valeurs dans $T^*M$. Notre but dans le deuxième chapitre est de reprendre la caractérisation des bivecteurs de Poisson, en travaillant avec des fonctions locales sur l'ensemble des chemins lisses, pour lesquels l'utilisation d'une variété de Banach peut être évitée. Ceci permet d'étendre au cas périodique / In this thesis, we study cotangents paths. In chapter 1 we introduce for every Hamiltonian a Lagrangian on paths valued in the cotangent space whose stationary points projects onto Hamiltonian vector fields. We show that the remaining components of those stationary points tell whether the bivector field is Poisson or at least defines an integrable distribution - a class of bivector fields generalizing twisted Poisson structures that we study in detail. In chapter 2, we establish a local function version of a result due to Klimčík and Strobl then Cattaneo and Felder claiming that a bivector field on a manifold $M$ is Poisson if and only if cotangent paths form a coisotropic submabifold of the infinite dimensional symplectic manifold of paths valued in $T^*M$. Our purpose in chapter 2 is to prove this result without using the Banach manifold setting used by Cattaneo and Felder, which fails in the periodic case because cotangent loops do not form a Banach sub-manifold. Instead, we use local functions on the path space, a point of view that allows to speak of a coisotropic set

L’objet de cette thèse est l’étude de l’existence d’une quantification pour les sous-algèbres de Lie coisotropes des bigèbres de Lie. Une sous-algèbre de Lie coisotrope d’une bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications d’une sous-algèbre de Lie coisotrope fut posé par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité établi par N. Ciccoli et F. Gavarini. Dans cette thèse, nous cherchons à résoudre ce problème de quantification dans différents cadres. Premièrement, nous montrons qu’une quantification existe dans le cadre des bigèbres de Lie simple. Nous trouvons une quantification aux sous-algèbres de Lie coisotropes construites par M. Zambon. Puis nous établissons un lien entre ces quantifications et une classification des sous- algèbres coidéales à droite établie par I. Heckenberger et S. Kolb. Deuxièmement, nous trouvons une obstruction à la quantification universelle en utilisant une quantification d’ordre trois construite par V. Drinfeld. Nous montrons que cette obstruction disparait dans les exemples étudiés précédemment. Finalement, nous généralisons un résultat établi par P. Etingof et D. Kazhdan sur la quantification d’espaces de Poisson homogènes, liés aux sous-algèbres Lagrangiennes du double de Drinfeld. / The aim of this thesis is the study of quantization of coisotropic Lie subalgebras of Lie bialgebras.A coisotropic Lie subalgebra of a Lie bialgebra is a Lie subalgebra which is also a Lie coideal. The problem of quantization of coisotropic Lie subalgebra was set forth by V. Drinfeld, in his study of quantization of Poisson homogeneous spaces G/C. These problems are closely related to the duality principle established by N. Ciccoli and F. Gavarini.In this thesis, we search for an answer to this quantization problem in different settings. Firstly, we show that a quantization exists for simple Lie bialgebras by constructing a quantization of examples provided by M. Zambon. We then establish a link between the quantization which we constructed and a classification of subalgebras right coideals established by I. Heckenberger and S. Kolb. Secondly, we find an obstruction to the quantization in the universal setting by using a third-order quantization constructed by V. Drinfeld. We show that this obstruction vanishes in the examples studied earlier. Finally, we generalize a result of P. Etingof and D. Kazhdan on the quantization of poisson homogeneous spaces, linked to Lagrangian Lie subalgebras of Drinfeld's double.

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