Cette thèse consiste en une étude des représentations de dimension finie de la super-algèbre de Lie gl(m,n). Dans le premier chapitre nous rappelons des résultats sur ces super-algèbres de Lie. Dans le second chapitre nous étudions les représentations simples de gl(2,2). Ces modules peuvent être obtenus comme quotient de modules induits dont on connaît les suites de composition, ce qui nous permet de calculer une formule des caractères finie explicite. Dans le troisième chapitre nous étudions les représentations d'une déformation quantique de l'algèbre enveloppante de gl(m,n). Nous rappelons tout d'abord la construction des bases cristallines pour les facteurs directs de puissances tensorielles de la représentation standard. Nous montrons, en affaiblissant la notion de cristal, l'existence de bases cristallines pour des modules qui ne sont pas semi-simpes, et nous donnons une méthode pour les construire. Le quatrième chapitre porte sur le dévissage du bloc maximalement atypique de la catégorie des représentations de dimension finie de gl(2,2). La connaissance de la sous-catégorie pleine des modules projectifs maximalement atypiques nous permet de reconstituer la catégorie. Nous étudions dans un premier temps les modules projectifs indécomposables et nous donnons leurs suites de Loewy. Puis dans un deuxième temps nous étudions leurs morphismes. Pour terminer nous formulons une conjecturons sur la composition de ces morphismes. / This thesis is a study of finite dimensional representations of the Lie superalgebra gl(m,n). In the first chapter we recall some results on these Lie superalgebra. In the second chapter we study the simple representations of gl(2.2). These modules can be obtained as quotient of some induced modules, the knowledge of the composition series of these modules allow us to compute an explicit finite character forumula for simple modules. In the third chapter we look at representations of a quantum deformation of the universal enveloping algebra of gl(m,n). We first recall the construction of crystal bases for the direct factors of a tensor power of the standard representation. We show by weakening the definition of crystal, that there exist crystal bases for non-semisimple modules, and we give a way to construct them. The fourth chapter focuses on the understanding of the maximaly atypical block of the category of finite dimensional representations of gl(2.2). Knowing the full subcategory of projective maximally atypical modules allows us to reconstruct the category. First, we study the projective indecomposable modules, and we compute their Loewy series. We then study their morphisms. Finally we make a conjecture on the composition of those morphisms.

La Géométrie vue à la fin du 19eme. siècle par Félix Klein et Sophus Lie consiste à envisager l'action d'un groupe sur un espace. En termes contemporains on a ainsi un groupoïde de transformation. Une version non commutative de ce point de vue consiste à remplacer tout espace par une algèbre de fonctions sur celui ci, et considérer certaines algèbres comme celles des fonctions sur un espace quantique. <br />Ainsi toute algèbre de von Neumann peut-elle être considérée comme une "algèbre de fonctions mesurables essentiellement bornées sur un espace quantique mesuré" et toute C*-algèbre, comme une "algèbre de fonctions continues sur un espace quantique localement compact". Un groupe est un espace ayant une structure supplémentaire, l'algèbre associée est une bigèbre, plus précisément une algèbre de Hopf.<br />Ma thèse a porté sur les C*- algèbres de Hopf donc sur les groupes quantiques topologiques localement compacts. il s'agissait de transcrire aux C*-algèbres les précédants travaux sur les <br />algèbres de Hopf von Neumann. Nous avons ensuite avec Michel Enock généralisé, à ce cadre non commutatif, un théorème d'André Weil montrant que pour un groupe, la donnée d'une classe de mesures invariantes ou une topologie localement compacte et compatible sont équivalentes.<br />Dans le cas des groupes quantiques, Saad Baaj et Georges Skandalis avaient montré que l'essentiel de la structure est contenu dans un unique opérateur, appelé "unitaire multiplicatif", connu et étudié depuis des décennies dans le cas des groupes localement compacts. J'ai d'abord montré une généralisation de ce résultat au cas des groupoïdes, et dégagé un unique opérateur qui contient l'essentiel de la structure du groupoide, que j'ai appelé "unitaire pseudo-multiplicatif", et qui généralise l'unitaire multiplicatif associé aux groupes topologiques localement compacts.<br />Dans l'article suivant avec M.Enock, portant sur les inclusions de profondeur deux d'algèbres de von Neumann, nous avons mis en lumière un "unitaire pseudo-multiplicatif" plus général, qui prolonge la notion de Baaj-Skandalis, et engendre donc ce qu'on peut appeler un groupoide quantique. Il s'agissait ainsi d'appréhender ces inclusions dans les termes de la Géométrie non commutative.<br />Mes travaux actuels portent sur ces groupoïdes quantiques en dimension finie avec pour objectif, entre autres, de les caractériser en tant qu'algèbres d'opérateurs sur un espace hilbertien de dimension finie. Un premier article en ce sens a été publié, un second est en préparation.

Akademisk avhandling--Matematik--Lunds universitet, 2000. / Bibliogr. 1 p.

Thèse de doctorat : Mathématiques : Nancy 1 : 2008. / Titre provenant de l'écran-titre.

Ce document de synthèse résume les travaux de l'auteur sur les extensions et systèmes de Hopf-Galois et leurs applications en théorie des représentations des groupes quantiques, ainsi que sur les constructions d'exemples de groupes quantiques.

Dans cette thèse nous étudions le groupe quantique d’automorphismes des graphes finis, introduit par Banica et Bichon. Dans un premier temps nous montrerons un théorème de structure du groupe quantique d’automorphismes du produit lexicographique de deux graphes finis réguliers, qui généralise un résultat classique de Sabidussi. Ce théorème donne une condition nécessaire et suffisante pour que ce groupe quantique s’exprime comme le produit en couronne libre des groupes quantiques d’automorphismes de ces deux graphes. Dans un deuxième temps, nous expliciterons certaines améliorations de résultats de Banica, Bichon et Chenevier permettant d’obtenir des critères de non symétrie quantique sur les graphes, à l’aide des outils développés par les auteurs susmentionnés.Enfin, pour poursuivre ces recherches, nous développerons une autre méthode utilisant la dualité de Tannaka-Krein et inspirée de l’étude des groupes quantiques compacts orthogonaux par Banica et Speicher. Celle-ci nous permettra, à l’aide d’une étude orbitale approfondie des graphes sommets-transitifs, d’énoncer une condition suffisante pour qu’un graphe ait des symétries quantiques ; condition qui a vocation à être aussi nécessaire mais ceci reste une conjecture à ce stade. / In this thesis we study the quantum automorphism group of finite graphs, introduces by Banica and Bichon. First we will prove a theorem about the structure of the quantum automorphism group of the lexicographic product of two finite regular graphs. It is a quantum generalization of a classical result of Sabidussi. This theorem gives a necessary and sufficient condition for this quantum group to be discribe as the free wreath product of the quantum automorphism groups of these two graphs. Then, we will give some improvement of Banica, Bichon and Chenevier results, to obtain a quantum non-symmetry criteria on graphs, using tools developped by the above authors. Finally, to continue this research, we will describe another method using Tannaka-Krein duality and inspired by the study of orthogonal compact groups by Banica and Speicher. This will enable us, with a thorough orbital study of vertex-transitive graphs, to state a sufficient condition for a graph to have quantum symmetries ; condition which is intended to be also necessary but this remains conjecture at this point.

Nous étudions les groupes quantiques dans un cadre d'algèbres d'opérateurs : les espaces quantiques sous-jacents sont des C*-algèbres ou des algèbres de von Neumann. Nous donnons des exemples comme extensions de groupes par des duaux de groupes. Ceci fournit les premiers exemples de groupes quantiques non-semi-réguliers. Nous étudions les coactions extérieures sur des facteurs et plus particulièrement sur les facteurs d'Araki-Woods libres. Nous introduisons un invariant T pour les groupes quantiques et l'utilisons pour démontrer que certains groupes quantiques ne peuvent que coagir extérieurement sur des facteurs de type III.

Dans cette thèse, nous discuterons des systèmes intégrables quantiques et des chaînes de spins. Nous présenterons la notion d'intégrabilité quantique ainsi que des structures mathématiques, les groupes quantiques, reliées à cette dernière. Cela nous permettra d'introduire les chaînes de spins " universelles " étudiées par le groupe d'Annecy depuis plusieurs années. Ces chaînes " universelles " ont la particularité d'englober l'ensemble des chaînes de spins préalablement étudiées dans la littérature. La question posée pour cette thèse était d'utiliser l'ansatz de Bethe algébrique pour déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de ces chaînes de spins " universelles ". Nous discuterons donc cette méthode pour les chaînes de spins périodiques et avec bords. Cette étude mettra en évidence les limites de l'ansatz de Bethe algébrique pour certaines chaînes avec bords et nous présenterons un nouveau cadre mathématique qui permettrait d'obtenir le spectre dans ces cas. Nous discuterons aussi le problème du produit scalaire des vecteurs propres obtenus grâce à l'ansatz de Bethe algébrique.

Nous comparons les bases canoniques d'espaces de Fock de niveau supé\-rieur. Nous donnons une variante de l'algorithme de Leclerc-Thibon pour les calculer. Nous donnons une expression de la dérivée à q=1 des matrices de transition de ces bases ; par analogie avec la formule sommatoire de Jantzen, nous posons une conjecture pour les matrices de décomposition des v-algèbres de Schur cyclotomiques.

Ce travail de thèse se concentre sur l'approche non-perturbative canonique à la formulation d'une théorie quantique de la gravitation dans le cadre de la Gravitation quantique à boucles (LQG), répondant à deux problèmes majeurs. Dans la première partie, nous étudions la possible quantification, dans le cadre de la LQG, de la gravité en trois dimensions avec constante cosmologique et nous essayons de prendre contact avec autres approches de quantification déjà existantes dans la littérature. Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur une application très importante de la LQG: la définition et le comptage des états microscopiques d'un ensemble en mécanique statistique qui fournit une description de l'entropie des trous noirs. Notre analyse s'appuie fortement sur et s'étend à un traitement manifestement SU(2) invariant les travaux fondateurs de Ashtekar et al. / This thesis work concentrates on the non-perturbative canonical approach to the formulation of a quantum theory of gravity in the framework of Loop Quantum Gravity (LQG), addressing two major problems. In the first part, we investigate the possible quantization, in the context of LQG, of three dimensional gravity in the case of non-vanishing cosmological constant and try to make contact with alternative quantization approaches already existing in the literature. In the second part, we concentrate on a very important application of LQG: the definition and the counting of microstates of a statistical mechanical ensemble which provides a description and accounts for the black hole entropy. Our analysis strongly relies on and extends to a manifestly SU(2) invariant treatment the seminal work of Ashtekar et al.