La combinatoire analytique est un domaine qui consiste à appliquer des méthodes issues de l’analyse complexe à des classes combinatoires afin d’obtenir des résultats sur leurs propriétés asymptotiques. On utilise pour cela des spécifications, qui sont une manière de formaliser la structure (souvent récursive) des objets. Dans cette thèse, nous nous attachons principalement à trouver des nouvelles spécifications pour certaines classes combinatoires, afin de pouvoir ensuite y appliquer des méthodes efficaces d’énumération ou de génération aléatoire. En effet, pour une même classe combinatoire il peut exister différentes spécifications, basées sur des décompositions différentes, rendant les méthodes classiques d’énumération asymptotique et de génération aléatoire plus ou moins adaptées. Le premier volet de résultats présentés concerne l’algorithme de Rémy et la spécification holonome qui y est sous-jacente, basée sur un opérateur de greffe. On y développe un nouvel algorithme, plus efficace, de génération aléatoire d’arbres binaires et un générateur aléatoire d’arbres de Motzkin basé sur le même principe. Nous abordons ensuite des questions relatives à l’étude de sous-classes de λ-termes. Enfin, nous présentons deux autres ensembles de résultats, sur la spécification automatique d’arbres où les occurrences d’un motif donné sont marquées et sur le comportement asymptotique et la génération aléatoire de polyominos digitalement convexes. Dans tous les cas, les nouvelles spécifications obtenues donnent accès à des méthodes qui ne pouvaient pas être utilisées jusque là et nous permettent d’obtenir de nombreux nouveaux résultats. / Analytic combinatorics is a field which consist in applying methods from complex ana- lysis to combinatorial classes in order to obtain results on their asymptotic properties. We use for that specifications, which are a way to formalise the (often recursive) structure of the objects. In this thesis, we mainly devote ourselves to find new specifications for some combinatorial classes, in order to then apply more effective enumerative or random sampling methods. Indeed, for one combinatorial class several different specifications, based on different decompositions, may exist, making the classical methods - of asymptotic enu- meration or random sampling - more or less adapted. The first set of presented results focuses on Rémy’s algorithm and its underlying holonomic specification, based on a grafting operator. We develop a new and more efficient random sampler of binary trees and a random sampler of Motzkin trees based on the same principle. We then address some question relative to the study of subclasses of λ-terms. Finally, we present two other sets of results, on automatic specification of trees where occurrences of a given pattern are marked and on the asymptotic behaviour and the random sampling of digitally convex polyominoes. In every case, the new specifications give access to methods which could not be applied previously and lead to numerous new results.

Quelques algorithmes entre le monde des graphes et les nuages de points.

Les cartes combinatoires sont des dessins de graphes sur des surfaces (orientable ou non), considérés à déformation près. On propose une méthode bijective de découpage d'une carte, appelée ouverture, qui à une carte associe une autre carte, dessinée sur la même surface, possédant une unique face, et munie de décorations supplémentaires appelées bourgeons. Cette construction généralise l'ouverture décrite pour le cas des cartes planaires dans [Sch97].Plusieurs travaux datant des années 90 ont permis de démontrer par des méthodes calculatoires poussées des propriétés concernant la série génératrice des cartes d'une surface donnée. En particulier, dans le cas d'une surface orientable, cette série peut s'écrire comme une fonction rationnelle d'une certaine série d'arbres. Ceci est valable que les cartes soient énumérées simplement par arêtes [BenCan91], ou également par sommets et faces [BenCanRic93]. Un résultat similaire plus faible peut également être exprimé dans le cas des cartes non orientables [AG00]. Ces propriétés de rationalité des séries génératrices de cartes expriment en fait des propriétés combinatoires structurelles fortes concernant les cartes elles-même, et la recherche d'une interprétation combinatoire de ces propriétés a été un moteur important du développement de la combinatoire bijective des cartes.L'utilisation de notre algorithme d'ouverture produit une carte qui peut à son tour être décomposée successivement en cartes plus petites munies de décorations additionnelles.Après une analyse approfondie des objets ainsi obtenus et de leur séries génératrices, ceci permet de démontrer combinatoirement les résultats de rationalité évoqués plus haut.Une k-triangulation d'un polygone fini est un ensemble maximal (pour l'inclusion) de diagonales, qui ne possède pas k+1 diagonales se croisant 2 à 2. On appelle k-étoile un ensemble de 2k+1 points et 2k+1 diagonales tel que chaque point est relié à ses deux points opposés. Les travaux de [PilSan07] ont permis de montrer qu'une k-triangulation peut être décomposée en un complexe de k-étoiles, et que les multitriangulations peuvent être obtenue l'une de l'autre par une succession d'opérations élémentaires appelées flips.Notre objectif est d'étendre ces résultats au cas des multitriangulations d'une surface quelconque. Dans cette optique, on commence par étudier une certaine classe de multitriangulations d'un polygone ayant un nombre infini de côtés, et à étendre à ce contexte les résultats principaux de [PilSan07]. En utilisant la construction classique du recouvrement universelle d'une surface quelconque, on espère ensuite pouvoir réduire l'étude d'une multitriangulations quelconque à celle d'une multitriangulation périodique d'un polygone infini, et on présente dans ce sens une ébauche de preuve, sous forme de plusieurs conjectures élémentaires. / A combinatorial map is the embedding of a graph on a surface (orientable or not), considered up to deformation. We describe a bijective method, called opening, that allows to reduce a map into a smaller map on the same surface, with only one face, along with some additional decorations called blossoms. This construction generalizes the opening described in the case of planar maps in [Sch97].Several papers from the 90's used advanced calculation methods to obtain properties on the generating series of maps on a given surface. In particular, in case the surface is orientable, this series can be written as a rational function of the generating series of some trees. This is valid both in case the maps are enumerated by their number of edges only [BenCan91], by both their number of vertices and faces [BenCanRic93]. A similar weaker result was also obtained in the case of non-orientable surfaces [AG00]. Actually, these rationality properties concerning the generating series of maps imply strong structural properties concerning the maps themselves, and providing a combinatorial interpretation of these properties has been an important motivation in the development of the bijective combinatorics of maps.The opening algorithm that we describe produces a map that can be further successively decomposed into smaller maps along with additional decorations. A deep analysis of the maps obtained this way, and their generating series, then allows to recover in a combinatorial way the rationality results described earlier.A k-triangulation of a finite polygon is a set of diagonals, maximal for the set-inclusion, such that no k+1 of its diagonals are pairwise crossing. A k-star is a set of 2k+1 points and 2k+1 diagonals such that each point is adjacent to its two opposite points. The work of [PilSan07] showed that a k-triangulation can be decomposed into a complex k-stars, and that multitriangulations can be obtained one from another by a succession of local elementary operations called flips.Our purpose is to extend these results to the case of multitriangulations on any surface. In this regard, we first study a class of multitriangulations of a polygon with an infinite number of sides, and extend to this context the main results of [PilSan07]. Using the classical construction of the universal cover of a surface, we then hope to reduce the case of a multitriangulations in any surface to that of a periodic multitriangulation of an infinite polygon. We present some element of such a proof, along with some conjectures that would allow to conclude.

On considère, en deux dimensions, une version euclidienne discrète de l’action d’Einstein-Hilbert, qui décrit la gravité en l’absence de matière. À l’intégration sur les géométries se substitue une sommation sur des surfaces triangulées aléatoires. Dans la limite physique de faible gravité, seules les triangulations planaires survivent. Leur limite en distribution, la carte brownienne, est une surface fractale continue dont l’importance dans le contexte de la gravité quantique en deux dimensions a été récemment précisée. Cet espace est interprété comme un espace-temps quantique, obtenu comme limite à grande échelle d’un ensemble statistique de surfaces discrètes aléatoires. En deux dimensions, on peut donc étudier les propriétés fractales de la gravité quantique via une approche discrète. Il est bien connu que les généralisations directes en dimensions supérieures échouent à produire des espace-temps quantiques aux propriétés adéquates : en dimension D>2, la limite en distribution des triangulations qui survivent dans la limite de faible gravité est l’arbre continu aléatoire, ou polymères branchés en physique. Si en deux dimensions on parvient aux mêmes conclusions en considérant non pas des triangulations, mais des surfaces discrètes aléatoires obtenues par recollements de 2p-gones, nous savons depuis peu que ce n’est pas toujours le cas en dimension D>2. L’apparition de nouvelles limites continues dans le cadre de théories de gravité impliquant des espaces discrets aléatoires reste une question ouverte. Nous étudions des espaces obtenus par recollements de blocs élémentaires, comme des polytopes à facettes triangulaires. Dans la limite de faible gravité, seuls les espaces qui maximisent la courbure moyenne survivent. Les identifier est cependant une tâche ardue dans le cas général, pour lequel les résultats sont obtenus numériquement. Afin d’obtenir des résultats analytiques, une coloration des (D-1)-cellules, les facettes, a été introduite. En toute dimension paire, on peut trouver des familles d’espaces discrets colorés de courbure moyenne maximale dans la classe d’universalité des arbres – convergeant vers l’arbre continu aléatoire, des cartes planaires – convergeant vers la carte brownienne, ou encore dans la classe de prolifération des bébé-univers. Cependant, ces résultats sont obtenus en raison de la simplicité de blocs élémentaires dont la structure uni ou bidimensionnelle ne rend pas compte de la riche diversité des blocs colorés en dimensions supérieures. Le premier objectif de cette thèse est donc d’établir des outils combinatoires qui permettraient une étude systématique des blocs élémentaires colorés et des espaces discrets qu’ils génèrent. Le principal résultat de ce travail est l’établissement d’une bijection entre ces espaces et des familles de cartes combinatoires, qui préserve l’information sur la courbure locale. Elle permet l’utilisation de résultats sur les surfaces discrètes et ouvre la voie à une étude systématique des espaces discrets en dimensions supérieures à deux. Cette bijection est appliquée à la caractérisation d’un certain nombre de blocs de petites tailles ainsi qu’à une nouvelle famille infinie. Le lien avec les modèles de tenseurs aléatoires est détaillé. Une attention particulière est donnée à la détermination du nombre maximal de (D-2)-cellules et de l’action appropriée du modèle de tenseurs correspondant. Nous montrons comment utiliser la bijection susmentionnée pour identifier les contributions à un tout ordre du développement en 1/N des fonctions à 2n points du modèle SYK coloré, et appliquons ceci à l’énumération des cartes unicellulaires généralisées – les espaces discrets obtenus par recollement d’un unique bloc élémentaire – selon leur courbure moyenne. Pour tout choix de blocs colorés, nous montrons comment réécrire la théorie d’Einstein-Hilbert discrète correspondante comme un modèle de matrices aléatoires avec traces partielles, dit représentation en champs intermédiaires. / In two dimensions, the Euclidean Einstein-Hilbert action, which describes gravity in the absence of matter, can be discretized over random triangulations. In the physical limit of small Newton's constant, only planar triangulations survive. The limit in distribution of planar triangulations - the Brownian map - is a continuum fractal space which importance in the context of two-dimensional quantum gravity has been made more precise over the last years. It is interpreted as a quantum continuum space-time, obtained in the thermodynamical limit from a statistical ensemble of random discrete surfaces. The fractal properties of two-dimensional quantum gravity can therefore be studied from a discrete approach. It is well known that direct higher dimensional generalizations fail to produce appropriate quantum space-times in the continuum limit: the limit in distribution of dimension D>2 triangulations which survive in the limit of small Newton's constant is the continuous random tree, also called branched polymers in physics. However, while in two dimensions, discretizing the Einstein-Hilbert action over random 2p-angulations - discrete surfaces obtained by gluing 2p-gons together - leads to the same conclusions as for triangulations, this is not always the case in higher dimensions, as was discovered recently. Whether new continuum limit arise by considering discrete Einstein-Hilbert theories of more general random discrete spaces in dimension D remains an open question.We study discrete spaces obtained by gluing together elementary building blocks, such as polytopes with triangular facets. Such spaces generalize 2p-angulations in higher dimensions. In the physical limit of small Newton's constant, only discrete spaces which maximize the mean curvature survive. However, identifying them is a task far too difficult in the general case, for which quantities are estimated throughout numerical computations. In order to obtain analytical results, a coloring of (D-1)-cells has been introduced. In any even dimension, we can find families of colored discrete spaces of maximal mean curvature in the universality classes of trees - converging towards the continuous random tree, of planar maps - converging towards the Brownian map, or of proliferating baby universes. However, it is the simple structure of the corresponding building blocks which makes it possible to obtain these results: it is similar to that of one or two dimensional objects and does not render the rich diversity of colored building blocks in dimensions three and higher.This work therefore aims at providing combinatorial tools which would enable a systematic study of the building blocks and of the colored discrete spaces they generate. The main result of this thesis is the derivation of a bijection between colored discrete spaces and colored combinatorial maps, which preserves the information on the local curvature. It makes it possible to use results from combinatorial maps and paves the way to a systematical study of higher dimensional colored discrete spaces. As an application, a number of blocks of small sizes are analyzed, as well as a new infinite family of building blocks. The relation to random tensor models is detailed. Emphasis is given to finding the lowest bound on the number of (D-2)-cells, which is equivalent to determining the correct scaling for the corresponding tensor model. We explain how the bijection can be used to identify the graphs contributing at any given order of the 1/N expansion of the 2n-point functions of the colored SYK model, and apply this to the enumeration of generalized unicellular maps - discrete spaces obtained from a single building block - according to their mean curvature. For any choice of colored building blocks, we show how to rewrite the corresponding discrete Einstein-Hilbert theory as a random matrix model with partial traces, the so-called intermediate field representation.