Cette thèse concerne la combinatoire et l'algorithmique des cartes. En utilisant la théorie des espèces de Joyal, on parvient à des résultats énumératifs concernant les cartes non-étiquetées et étiquetées, enracinées ou non, en genre quelconque suivant leur nombre de faces et d'arêtes. Nous relions la combinatoire des cartes à l'asymptotique de la fonction de Airy par un rapprochement inattendu entre la série génératrice du nombre de cartes triangulaires et le développement asymptotique de la fonction de Airy. Nous donnons également un algorithme permettant de dresser une liste exhaustive des cartes triangulaires, en temps amorti constant pour le cas enraciné. / This thesis is about combinatoric and algorithmic aspects of maps. Using the species theory of Joyal, we get enumerative results concerning labeled and unlabeled maps both rooted or not, of any genus, by the number of their edges and faces. We relate the combinatorics of maps to the asymptotics of the Airy function by a unexpected matching of the generating series of triangular maps and the asymptotic development of the Airy function.We also give an algorithm able to produce an exhaustive list of triangular maps, in constant amortized time in the rooted case.

La segmentation est un processus visant à extraire des objets présents dans une image. La plupart des méthodes de segmentation développées jusqu'à présent sont dévolues à une classe d'images particulière (photo satellite, image IRM, etc.). De plus l'information colorimétrique contenue dans les images est insuffisamment prise en compte. Le but de ce travail est de remédier à ces deux limitations. Nous proposons deux méthodes permettant d'extraire des informations pertinentes à partir d'ensembles de couleurs. Nous proposons de plus plusieurs méthodes de segmentation basés sur les cartes planaires et sur une représentation des régions par frontières inter-pixels. Ces méthodes sont très générales et utilisent un environnement de programmation permettant de développer rapidement des logiciels de segmentation.

Une carte combinatoire est un modèle topologique qui permet de représenter les subdivisions de l'espace en cellules et les relations d'adjacences et d'incidences entre ces cellules en n dimensions. Cette structure de données est de plus en plus utilisée en traitement d'images, mais elle manque encore d'outils pour les analyser. Notre but est de définir de nouveaux outils pour les cartes combinatoires nD. Nous nous intéressons plus particulièrement à l'extraction de sous-cartes fréquentes dans une base de cartes. Nous proposons deux signatures qui sont également des formes canoniques de cartes combinatoires. Ces signatures ont chacune leurs avantages et leurs inconvénients. La première permet de décider de l'isomorphisme entre deux cartes en temps linéaire, en contrepartie le coût de stockage en mémoire est quadratique en la taille de la carte. La seconde signature a un coût de stockage en mémoire linéaire en la taille de la carte, cependant le temps de calcul de l'isomorphisme est quadratique. Elles sont utilisables à la fois pour des cartes connexes, non connexes, valuées ou non valuées. Ces signatures permettent de représenter une base de cartes combinatoires et de rechercher un élément de manière efficace. De plus, le temps de recherche ne dépend pas du nombre de cartes présent dans la base. Ensuite, nous formalisons le problème de recherche de sous-cartes fréquentes dans une base de cartes combinatoires nD. Nous implémentons deux algorithmes pour résoudre ce problème. Le premier algorithme extrait les sous-cartes fréquentes par une approche en largeur tandis que le second utilise une approche en profondeur. Nous comparons les performances de ces deux algorithmes sur des bases de cartes synthétiques. Enfin, nous proposons d'utiliser les motifs fréquents dans une application de classification d'images. Chaque image est décrite par une carte qui est transformée en un vecteur représentant le nombre d'occurrences des motifs fréquents. À partir de ces vecteurs, nous utilisons des techniques classiques de classification définies sur les espaces vectoriels. Nous proposons des expérimentations en classification supervisée et non supervisée sur deux bases d'images.

Une carte combinatoire est un modèle topologique qui permet de représenter les subdivisions de l’espace en cellules et les relations d’adjacences et d’incidences entre ces cellules en n dimensions. Cette structure de données est de plus en plus utilisée en traitement d’images, mais elle manque encore d’outils pour les analyser. Notre but est de définir de nouveaux outils pour les cartes combinatoires nD. Nous nous intéressons plus particulièrement à l’extraction de sous-cartes fréquentes dans une base de cartes. Nous proposons deux signatures qui sont également des formes canoniques de cartes combinatoires. Ces signatures ont chacune leurs avantages et leurs inconvénients. La première permet de décider de l’isomorphisme entre deux cartes en temps linéaire, en contrepartie le coût de stockage en mémoire est quadratique en la taille de la carte. La seconde signature a un coût de stockage en mémoire linéaire en la taille de la carte, cependant le temps de calcul de l’isomorphisme est quadratique. Elles sont utilisables à la fois pour des cartes connexes, non connexes, valuées ou non valuées. Ces signatures permettent de représenter une base de cartes combinatoires et de rechercher un élément de manière efficace. De plus, le temps de recherche ne dépend pas du nombre de cartes présent dans la base. Ensuite, nous formalisons le problème de recherche de sous-cartes fréquentes dans une base de cartes combinatoires nD. Nous implémentons deux algorithmes pour résoudre ce problème. Le premier algorithme extrait les sous-cartes fréquentes par une approche en largeur tandis que le second utilise une approche en profondeur. Nous comparons les performances de ces deux algorithmes sur des bases de cartes synthétiques. Enfin, nous proposons d’utiliser les motifs fréquents dans une application de classification d’images. Chaque image est décrite par une carte qui est transformée en un vecteur représentant le nombre d’occurrences des motifs fréquents. À partir de ces vecteurs, nous utilisons des techniques classiques de classification définies sur les espaces vectoriels. Nous proposons des expérimentations en classification supervisée et non supervisée sur deux bases d’images. / A combinatorial map is a topological model that can represent the subdivisions of space into cells and their adjacency relations in n dimensions. This data structure is increasingly used in image processing, but it still lacks tools for analysis. Our goal is to define new tools for combinatorial maps nD. We are particularly interested in the extraction of submaps in a database of maps. We define two combinatorial map signatures : the first one has a quadratic space complexity and may be used to decide of isomorphism with a new map in linear time whereas the second one has a linear space complexity and may be used to decide of isomorphism in quadratic time. They can be used for connected maps, non connected maps, labbeled maps or non labelled maps. These signatures can be used to efficiently search for a map in a database.Moreover, the search time does not depend on the number of maps in the database. Then, we formalize the problem of finding frequent submaps in a database of combinatorial nD maps. We implement two algorithms for solving this problem. The first algorithm extracts the submaps with a breadth-first search approach and the second uses a depth-first search approach. We compare the performance of these two algorithms on synthetic database of maps. Finally, we propose to use the frequent patterns in an image classification application. Each image is described by a map that is transformed into a vector representing the number of occurrences of frequent patterns. From these vectors, we use standard techniques of classification defined on vector spaces. We propose experiments in supervised and unsupervised classification on two images databases.

Le sujet de cette thèse est l'étude énumérative des cartes combinatoires et ses applications à l'énumération des autres objet s combinatoires.Les cartes combinatoires, aussi appelées simplement « cartes », sont un modèle combinatoire riche. Elles sont définies d'une manière intuitive et géométrique, mais elles sont aussi liées à des structures algébriques plus complexes. Par exemple, l'étude d'une famille de cartes appelées des « constellations » donne un cadre unifié à plusieurs problèmes d'énumération des factorisations dans le groupe symétrique. À la croisée des différents domaines, les cartes peuvent être analysées par une grande variété de méthodes, et leur énumération peut aussi nous aider à compter des autres objets combinatoires. Cette thèse présente un ensemble de résultats et de connexions très riches dans le domaine de l'énumération des cartes. Cette thèse se divise en quatre grandes parties. La première partie, qui correspond aux chapitres 1 et 2, est une introduction à l'étude énumérative des cartes. La deuxième partie, qui correspond aux chapitres 3 et 4, contient mes travaux sur l'énumération des constellations, qui sont des cartes particulières présentant un modèle unifié de certains types de factorisation de l'identité dans le groupe symétrique. La troisième partie, qui correspond aux chapitres 5 et 6, présente ma recherche sur le lien énumératif entre les cartes et des autres objets combinatoires, par exemple les généralisations du treillis de Tamari et les graphes aléatoires qui peuvent être plongés dans une surface donnée. La dernière partie correspond au chapitre 7, dé ns lequel je conclus cette thèse avec des perspectives et des directions de recherche dans l'étude énumérative des cartes. / This thesis deals with the enumerative study of combinatorial maps, and its application to the enumeration of other combinatorial objects. Combinatorial maps, or simply maps, form a rich combinatorial model. They have an intuitive and geometric definition, but are also related to some deep algebraic structures. For instance, a special type of maps called \emph{constellations} provides a unifying framework for some enumeration problems concerning factorizations in the symmetric group. Standing on a position where many domains meet, maps can be studied using a large variety of methods, and their enumeration can also help us count other combinatorial objects. This thesis is a sampling from the rich results and connections in the enumeration of maps.This thesis is structured into four major parts. The first part, including Chapter 1 and 2, consist of an introduction to the enumerative study of maps. The second part, Chapter 3 and 4, contains my work in the enumeration of constellations, which are a special type of maps that can serve as a unifying model of some factorizations of die identity in the symmetric group: The third part, composed by Chapter 5 and 6, shows my research on the enumerative link from maps to other combinatori al objects, such as generalizations of the Tamari lattice and random graphs embeddable onto surfaces. The last part is the closing chapter, in which the thesis concludes with some perspectives and future directions in the enumerative study of maps.

Les modèles 3D de bâtiment sont largement utilisés dans l'industrie de la construction et sont nécessités par plusieurs applications telles que la représentation architecturale et les processus de simulation. Malheureusement, ces modèles manquent souvent d'informations d'une importance majeure pour permettre d'effectuer des opérations d'analyse et de calcul. Les modèles originaux sont alors souvent reconstruits par les différents acteurs qui les utilisent afin de les rendre plus adaptés à leur besoins. Dans le but de pallier ce problème, nous introduisons une approche permettant d'enrichir un modèle 3D de bâtiment et le rendre beaucoup plus interopérable. À partir de l'information géométrique seulement, nous rajoutons au modèle des informations topologiques et sémantiques. Une subdivision cellulaire de l'espace occupé par le bâtiment est d'abord effectuée en se basant sur sa géométrie, puis les relations topologiques entre les cellules sont reconstruites et explicitement définies. Des étiquettes sémantiques sont ensuite attribuées aux composants identifiés du bâtiment à l'aide de la topologie reconstruite et des règles heuristiques prédéfinies. Une structure de données topologique appelée carte combinatoire 3D (3-carte) est utilisée comme une base solide pour la mise au point des opération de reconstruction et le traitement des informations reconstruites. À partir du modèle enrichi, nous montrons comment extraire des données pour des applications dédiées, par exemple la simulation acoustique et lancer de rayon pour la navigation intérieure. Notre méthode se présente comme un pont entre les approches de modélisation et les applications d'analyse du bâtiment qui utilisent ces modèles. Il est entièrement automatique et présente des résultats intéressants sur plusieurs types de modèles / 3D building models are widely used in the civil engineering industry. While the models are needed by several applications, such as architectural representations and simulation processes, they often lack of information that are of major importance for the consistency of the calculations. The original models are then often rebuilt in the way that fits better to the intended applications. To overcome this drawback, we introduce a framework allowing to enrich a 3D model of a building presenting just a geometry, in a way more interoperable model, by adding to it topological and semantic information. A cellular subdivision of the building space is first performed relying on its geometry, then the topological relationships between the cells are explicitely defined. Semantic labels are then attributed to the identified components based on the topology and defined heuristic rules. A 3D combinatorial map data structure (3-map) is used to handle the reconstructed information. From the enriched model we show how to extract applications-driven information allowing to perform acoustic simulation and indoor ray tracing navigation. The approach stands as a bridge between the modeling approaches and the applications in building analysis using the model. It is fully automatic and present interesting results on several types of building models

Les cartes combinatoires sont des dessins de graphes sur des surfaces (orientable ou non), considérés à déformation près. On propose une méthode bijective de découpage d'une carte, appelée ouverture, qui à une carte associe une autre carte, dessinée sur la même surface, possédant une unique face, et munie de décorations supplémentaires appelées bourgeons. Cette construction généralise l'ouverture décrite pour le cas des cartes planaires dans [Sch97].Plusieurs travaux datant des années 90 ont permis de démontrer par des méthodes calculatoires poussées des propriétés concernant la série génératrice des cartes d'une surface donnée. En particulier, dans le cas d'une surface orientable, cette série peut s'écrire comme une fonction rationnelle d'une certaine série d'arbres. Ceci est valable que les cartes soient énumérées simplement par arêtes [BenCan91], ou également par sommets et faces [BenCanRic93]. Un résultat similaire plus faible peut également être exprimé dans le cas des cartes non orientables [AG00]. Ces propriétés de rationalité des séries génératrices de cartes expriment en fait des propriétés combinatoires structurelles fortes concernant les cartes elles-même, et la recherche d'une interprétation combinatoire de ces propriétés a été un moteur important du développement de la combinatoire bijective des cartes.L'utilisation de notre algorithme d'ouverture produit une carte qui peut à son tour être décomposée successivement en cartes plus petites munies de décorations additionnelles.Après une analyse approfondie des objets ainsi obtenus et de leur séries génératrices, ceci permet de démontrer combinatoirement les résultats de rationalité évoqués plus haut.Une k-triangulation d'un polygone fini est un ensemble maximal (pour l'inclusion) de diagonales, qui ne possède pas k+1 diagonales se croisant 2 à 2. On appelle k-étoile un ensemble de 2k+1 points et 2k+1 diagonales tel que chaque point est relié à ses deux points opposés. Les travaux de [PilSan07] ont permis de montrer qu'une k-triangulation peut être décomposée en un complexe de k-étoiles, et que les multitriangulations peuvent être obtenue l'une de l'autre par une succession d'opérations élémentaires appelées flips.Notre objectif est d'étendre ces résultats au cas des multitriangulations d'une surface quelconque. Dans cette optique, on commence par étudier une certaine classe de multitriangulations d'un polygone ayant un nombre infini de côtés, et à étendre à ce contexte les résultats principaux de [PilSan07]. En utilisant la construction classique du recouvrement universelle d'une surface quelconque, on espère ensuite pouvoir réduire l'étude d'une multitriangulations quelconque à celle d'une multitriangulation périodique d'un polygone infini, et on présente dans ce sens une ébauche de preuve, sous forme de plusieurs conjectures élémentaires. / A combinatorial map is the embedding of a graph on a surface (orientable or not), considered up to deformation. We describe a bijective method, called opening, that allows to reduce a map into a smaller map on the same surface, with only one face, along with some additional decorations called blossoms. This construction generalizes the opening described in the case of planar maps in [Sch97].Several papers from the 90's used advanced calculation methods to obtain properties on the generating series of maps on a given surface. In particular, in case the surface is orientable, this series can be written as a rational function of the generating series of some trees. This is valid both in case the maps are enumerated by their number of edges only [BenCan91], by both their number of vertices and faces [BenCanRic93]. A similar weaker result was also obtained in the case of non-orientable surfaces [AG00]. Actually, these rationality properties concerning the generating series of maps imply strong structural properties concerning the maps themselves, and providing a combinatorial interpretation of these properties has been an important motivation in the development of the bijective combinatorics of maps.The opening algorithm that we describe produces a map that can be further successively decomposed into smaller maps along with additional decorations. A deep analysis of the maps obtained this way, and their generating series, then allows to recover in a combinatorial way the rationality results described earlier.A k-triangulation of a finite polygon is a set of diagonals, maximal for the set-inclusion, such that no k+1 of its diagonals are pairwise crossing. A k-star is a set of 2k+1 points and 2k+1 diagonals such that each point is adjacent to its two opposite points. The work of [PilSan07] showed that a k-triangulation can be decomposed into a complex k-stars, and that multitriangulations can be obtained one from another by a succession of local elementary operations called flips.Our purpose is to extend these results to the case of multitriangulations on any surface. In this regard, we first study a class of multitriangulations of a polygon with an infinite number of sides, and extend to this context the main results of [PilSan07]. Using the classical construction of the universal cover of a surface, we then hope to reduce the case of a multitriangulations in any surface to that of a periodic multitriangulation of an infinite polygon. We present some element of such a proof, along with some conjectures that would allow to conclude.

Les maillages volumiques sont très répandus en informatique graphique, en visualisation scientifique et en calcul numérique. Des opérations de subdivision, de simplification ou de remaillage sont parfois utilisées afin d’accélérer les traitements sur ces maillages. Afin de maîtriser la complexité de l’objet et des traitements numériques qui lui sont appliqués, une solution consiste alors à le représenter à différentes échelles. Les modèles existants sont conçus pour des approches spécifiques rendant leur utilisation limitée aux applications pour lesquelles ils ont été pensés. Nos travaux de recherche présentent un nouveau modèle pour la représentation de maillages multirésolutions en dimension quelconque basé sur le formalisme des cartes combinatoires. Nous avons d’abord appliqué notre modèle aux volumes de subdivision multirésolutions. Dans ce cadre, nous présentons plusieurs algorithmes de raffinement d’un maillage grossier initial. Ces algorithmes supportent des hiérarchies obtenues par subdivision régulière et adaptative. Nous proposons ensuite deux représentations, opposés en terme de coût spatial et temporel, pour ce modèle. / Volume meshes are widespread in computer graphics, scientific visualization and numerical computation. Subdivision, simplification or remeshing operations are sometimes used to speed up processing of these meshes. A solution to manage the complexity of the object and numerical processing applied to it consist in presenting this object at different scales. Nevertheless, existing models are designed for specific approaches making them limited to applications for which they were designed. Our research work present a new model for the representation of multiresolution meshes in any dimension based on the combinatorial maps model. We first applied our model to the multiresolution subdivision volumes. In this framework, we present several refinement algorithms of an initial coarse mesh. These algorithms support hierarchies obtained by regular and adaptive subdivision. Finally, we propose two representations, opposed in term of time and space complexity, of this model.

Le problème général de la preuve de propriétés de programmes impératifs est indécidable. Pour deslangages de programmation et de propriétés plus restrictifs, des sous-problèmes décidables sontconnus. En pratique, grâce à des heuristiques, les outils de preuve de programmes automatisent despreuves qui sortent du cadre théorique de ces sous-problèmes décidables connus. Nous illustronscette réussite pratique en construisant un catalogue de preuves, pour des programmes et despropriétés de nature similaire et de complexité croissante. Ces programmes sont principalementdes générateurs de cartes combinatoires.Ainsi, ce travail contribue aux domaines de recherche de la combinatoire énumérative et dugénie logiciel. Nous distribuons une bibliothèque C de générateurs exhaustifs bornés de tableauxstructurés, formellement spécifiés en ACSL et vérifiés avec le greffon WP de la plateforme d’analyseFrama-C. Nous proposons également une méthodologie de test qui facilite la preuve interactive enCoq, une étude formelle des cartes originale, et de nouveaux résultats en combinatoire énumérative. / The general problem of proving properties of imperative programs is undecidable. Some subproblems– restricting the languages of programs and properties – are known to be decidable. Inpractice, thanks to heuristics, program proving tools sometimes automate proofs for programs andproperties living outside of the theoretical framework of known decidability results. We illustrate thisfact by building a catalog of proofs, for similar programs and properties of increasing complexity. Mostof these programs are combinatorial map generators.Thus, this work contributes to the research fields of enumerative combinatorics and softwareengineering. We distribute a C library of bounded exhaustive generators of structured arrays, formallyspecified in ACSL and verified with the WP plugin of the Frama-C analysis platform. We also proposea testing-based methodology to assist interactive proof in Coq, an original formal study of maps, andnew results in enumerative combinatorics.

Ce mémoire résume nos principales contributions aux cartes combinatoires et cartes généralisées, deux modèles combinatoires représentant des subdivisions d'objets en cellules (sommets, arêtes, faces, volumes, ...). Ces modèles possèdent plusieurs avantages qui justifient leurs utilisations dans plusieurs domaines comme la modélisation géométrique et l'analyse d'images : ils sont définis en dimension quelconque à partir d'un seul type d'élément ; ils décrivent les cellules de la subdivision ainsi que toutes les relations d'adjacence et d'incidence entre ces cellules ; des contraintes de cohérence permettent de tester la validité des objets manipulés ; ils autorisent la mise en oeuvre d'algorithmes locaux, qui sont simples et efficaces en complexité. Nos travaux portent sur l'étude de ces modèles et sur la définition d'algorithmes. Nous avons tout d'abord défini quatre opérations de base : la suppression, la contraction, l'insertion et l'éclatement. Ces opérations sont les briques de base permettant de modifier un objet et peuvent être vues comme une généralisation des opérateurs d'Euler. Elles sont définies de manière générale en dimension quelconque. Il est ensuite possible d'ajouter des contraintes supplémentaires selon les applications et selon les propriétés spécifiques à conserver. Ces opérations sont au coeur de nos travaux. Nous les avons utilisées pour définir la carte topologique 2D et 3D, un modèle décrivant la partition d'une image en régions, puis pour définir des opérations de fusion et de découpe sur les cartes topologiques. Nous avons également défini les pyramides généralisées qui peuvent être vues comme des piles de cartes, chacune étant obtenue par simplification de la carte précédente. Enfin, nous avons proposé des algorithmes de calcul d'invariants topologiques : la caractéristique d'Euler-Poincaré, le schéma polygonal canonique, les nombres de Betti et les groupes d'homologies. Dans ces quatre cas, nous avons à nouveau utilisé les opérations de base afin de proposer des méthodes de mise à jour locales, ou pour simplifier la carte dans l'objectif d'accélérer les calculs du fait de la diminution du nombre de cellules. Nous avons utilisé ces travaux théoriques dans différentes applications. En modélisation géométrique, nous présentons le modeleur Moka qui est un modeleur géométrique à base topologique. Différentes applications se sont basées sur ce modeleur et nous présentons plus en détail une méthode de reconstruction automatique de bâtiments 3D à partir de plans numériques 2D. En traitement d'images, nous avons utilisé les cartes topologiques afin de proposer des algorithmes de segmentation d'images 2D et 3D pouvant intégrer un contrôle topologique.