Le sujet de cette thèse est l'étude énumérative des cartes combinatoires et ses applications à l'énumération des autres objet s combinatoires.Les cartes combinatoires, aussi appelées simplement « cartes », sont un modèle combinatoire riche. Elles sont définies d'une manière intuitive et géométrique, mais elles sont aussi liées à des structures algébriques plus complexes. Par exemple, l'étude d'une famille de cartes appelées des « constellations » donne un cadre unifié à plusieurs problèmes d'énumération des factorisations dans le groupe symétrique. À la croisée des différents domaines, les cartes peuvent être analysées par une grande variété de méthodes, et leur énumération peut aussi nous aider à compter des autres objets combinatoires. Cette thèse présente un ensemble de résultats et de connexions très riches dans le domaine de l'énumération des cartes. Cette thèse se divise en quatre grandes parties. La première partie, qui correspond aux chapitres 1 et 2, est une introduction à l'étude énumérative des cartes. La deuxième partie, qui correspond aux chapitres 3 et 4, contient mes travaux sur l'énumération des constellations, qui sont des cartes particulières présentant un modèle unifié de certains types de factorisation de l'identité dans le groupe symétrique. La troisième partie, qui correspond aux chapitres 5 et 6, présente ma recherche sur le lien énumératif entre les cartes et des autres objets combinatoires, par exemple les généralisations du treillis de Tamari et les graphes aléatoires qui peuvent être plongés dans une surface donnée. La dernière partie correspond au chapitre 7, dé ns lequel je conclus cette thèse avec des perspectives et des directions de recherche dans l'étude énumérative des cartes. / This thesis deals with the enumerative study of combinatorial maps, and its application to the enumeration of other combinatorial objects. Combinatorial maps, or simply maps, form a rich combinatorial model. They have an intuitive and geometric definition, but are also related to some deep algebraic structures. For instance, a special type of maps called \emph{constellations} provides a unifying framework for some enumeration problems concerning factorizations in the symmetric group. Standing on a position where many domains meet, maps can be studied using a large variety of methods, and their enumeration can also help us count other combinatorial objects. This thesis is a sampling from the rich results and connections in the enumeration of maps.This thesis is structured into four major parts. The first part, including Chapter 1 and 2, consist of an introduction to the enumerative study of maps. The second part, Chapter 3 and 4, contains my work in the enumeration of constellations, which are a special type of maps that can serve as a unifying model of some factorizations of die identity in the symmetric group: The third part, composed by Chapter 5 and 6, shows my research on the enumerative link from maps to other combinatori al objects, such as generalizations of the Tamari lattice and random graphs embeddable onto surfaces. The last part is the closing chapter, in which the thesis concludes with some perspectives and future directions in the enumerative study of maps.

Dans ce mémoire, j'examine différents aspects d'un objet simple mais omniprésent en informatique: la séquence de symboles (appelée selon le contexte mot ou chaîne de caractères). La notion de mot est au carrefour de domaines comme la théorie de l'information et la théorie des langages. S'il est simple, il reste fondamental: nous n'avons, au plus bas niveau, que cela à disposition puisqu'il arrive toujours un moment où une donnée doit être encodée en symboles stockables en mémoire. La quantité d'information croissante de données mise à disposition et qu'on peut stocker, par exemple des génomes d'individus ou des documents numérisés, justifie que les algorithmes et les structures de données qui les manipulent soient optimisés. En conséquence, les besoins d'analyse se font sentir pour guider le choix et la conception des programmes qui manipulent ces données. L'analyse en moyenne est ici particulièrement adaptée puisque les données atteignent une variété et des volumes tellement importants que c'est le cas typique qui traduit le mieux la complexité et non pas le cas le pire. Cela évidemment pose le problème de la modélisation de données qui reste encore très épineux. En effet on souhaite deux choses contradictoires: un modèle au plus près des données, qui traduise vraiment leurs spécificités, mais aussi un modèle permettant de donner des résultats, c'est-à-dire de prédire les performances (et on comprend vite que le modèle doit donc rester relativement simple pour qu'il subsiste un espoir de le traiter!). Les méthodes sont le plus souvent celles de la combinatoire analytique et font appel à un objet mathématique, les séries génératrices, pour mener les analyses à bien.

Le but de cette thèse est d'établir des résultats énumératifs sur certaines classes de chemins et d'animaux. Ces résultats sont obtenus en appliquant la théorie des empilements de pièces développée par Viennot. Nous étudions les excursions discrètes (ou chemins de Dyck généralisés) de hauteur bornée; nous obtenons des résultats énumératifs qui interprètent combinatoirement et étendent des résultats de Banderier, Flajolet et Bousquet-Mélou. Nous décrivons et énumérons plusieurs classes de chemins auto-évitants, dits chemins faiblement dirigés. Ces chemins sont plus nombreux que les chemins prudents qui forment la classe naturelle la plus grande jusqu'alors. Nous calculons le périmètre de site moyen des animaux dirigés, prouvant des conjectures de Conway et Le Borgne. Enfin, nous obtenons des résultats nouveaux sur l'énumération des animaux de Klarner et les animaux multi-dirigés de Bousquet-Mélou et Rechnitzer. / The goal of this thesis is to prove enumerative results on some classes of lattice walks and animals. These results are applications of the theory of heaps of pieces developed by Viennot. We study discrete excursions (or generalized Dyck paths) with bounded height; we obtain enumerative results that give a combinatorial interpretation and extend results by Banderier, Flajolet and Bousquet-Mélou. We describe and enumerate several classes of self-avoiding walks called weakly directed walks. These classes are larger than the class of prudent walks, the largest natural class enumerated so far. We compute the average site perimeter of directed animals, proving conjectures by Conway and Le Borgne. Finally, we obtain new results on the enumeration of Klarner animals and multi-directed animals defined by Bousquet-Mélou and Rechnitzer.

Un programme concurrent est composé de plusieurs unités logiques : les processus. Chaque processus a un comportement qui lui est propre : il exécute ses actions de façon séquentielle. Un objectif important est de s'assurer que de tels systèmes concurrents complexes soient cependant exempts de défaut. Cette problématique est étudiée dans le cadre de la théorie de la concurrence. Quand plusieurs processus s’exécutent en parallèle, l’ordre d’exécution des actions du programme global n’est plus déterminé. On assiste au fameux phénomène "d’explosion combinatoire" faisant référence au très grand nombre d’exécutions globales possibles. Les diverses techniques et méthodes d'analyse existantes (model checking, analyse statique, tests automatisés, etc) se heurtent irrémédiablement à cette "explosion". Cette thèse s'inscrit dans un projet à long terme d'étude quantitative de ce phénomène et de développement des techniques d’analyse statistique basées sur la génération aléatoire uniforme. Notre objectif dans cette thèse est de traiter une composante fondamentale de la concurrence : la synchronisation. Ce mécanisme permet aux processus de communiquer entre eux. Dans cette thèse nous proposons un modèle combinatoire de structures croissantes pour modéliser les exécutions de programmes concurrents synchronisés. Avec des outils de combinatoire analytique nous obtenons plusieurs résultats exacts et asymptotiques sur le nombre moyen d'exécutions dans des sous-classes de programmes concurrents. Nous présentons aussi plusieurs algorithmes de génération aléatoire uniforme de structures croissantes et de leurs étiquetages. / A concurrent program is a composition of several logical blocks: the processes. Each process has its own behavior, independent from the others: it sequentially runs its actions. An important goal is to ensure that such concurrent complex systems are faultless. This problem is studied in the field of concurrency theory. When several process are running in parallel, the running order of the actions of the total program is no more decided. This is the well-known "combinatorial explosion" phenomena, meaning that the number of possible runs of the global program is huge. The analysis techniques and methods existing (model checking, static analysis, automated testing, etc) are irremediably limited by this "explosion". This thesis is a part of a long-term project about the quantitative study of this phenomena and the development of statistic analysis methods based on the uniform random generation. Our specific goal is to study a fundamental principle of the concurrency theory: the synchronization. This mechanism allows communications between the processes. In this thesis we propose a combinatorial model of increasingly labeled structures to deal with runs of synchronized concurrent programs. Using the tools of analytic combinatorics we obtain close formulas and asymptotic equivalents for the average number of runs in several subclasses of concurrent programs. We also present algorithms of uniform random generation of increasingly labeled structures and for their increasing labelings.

Le but de cette thèse est d'établir des résultats énumératifs sur certaines classes de chemins et d'animaux. Ces résultats sont obtenus en appliquant la théorie des empilements de pièces développée par Viennot. Nous étudions les excursions discrètes (ou chemins de Dyck généralisés) de hauteur bornée; nous obtenons des interprétations combinatoires et des extensions de résultats de Banderier, Flajolet et Bousquet-Mélou. Nous décrivons et énumérons plusieurs classes de chemins auto-évitants, dits chemins faiblement dirigés. Ces chemins sont plus nombreux que les chemins prudents qui forment la classe naturelle la plus grande jusqu'alors. Nous calculons le périmètre de site moyen des animaux dirigés, prouvant des conjectures de Conway et Le Borgne. Enfin, nous obtenons des résultats nouveaux sur l'énumération des animaux de Klarner et les animaux multi-dirigés de Bousquet-Mélou et Rechnitzer.

La combinatoire analytique étudie le comportement asymptotique des suites à travers les propriétés analytiques de leurs fonctions génératrices. Ce domaine a conduit au développement d’outils profonds et puissants avec de nombreuses applications. Au delà de la théorie univariée désormais classique, des travaux récents en combinatoire analytique en plusieurs variables (ACSV) ont montré comment calculer le comportement asymptotique d’une grande classe de fonctions différentiellement finies:les diagonales de fractions rationnelles. Cette thèse examine les méthodes de l’ACSV du point de vue du calcul formel, développe des algorithmes rigoureux et donne les premiers résultats de complexité dans ce domaine sous des hypothèses très faibles. En outre, cette thèse donne plusieurs nouvelles applications de l’ACSV à l’énumération des marches sur des réseaux restreintes à certaines régions: elle apporte la preuve de plusieurs conjectures ouvertes sur les comportements asymptotiques de telles marches,et une étude détaillée de modèles de marche sur des réseaux avec des étapes pondérées. / The field of analytic combinatorics, which studies the asymptotic behaviour ofsequences through analytic properties of their generating functions, has led to thedevelopment of deep and powerful tools with applications across mathematics and thenatural sciences. In addition to the now classical univariate theory, recent work in thestudy of analytic combinatorics in several variables (ACSV) has shown how to deriveasymptotics for the coefficients of certain D-finite functions represented by diagonals ofmultivariate rational functions. This thesis examines the methods of ACSV from acomputer algebra viewpoint, developing rigorous algorithms and giving the firstcomplexity results in this area under conditions which are broadly satisfied.Furthermore, this thesis gives several new applications of ACSV to the enumeration oflattice walks restricted to certain regions. In addition to proving several openconjectures on the asymptotics of such walks, a detailed study of lattice walk modelswith weighted steps is undertaken.

Cette thèse se compose de plusieurs travaux portant sur l'énumération et le comportement asymptotique de structures combinatoires apparentées aux partitions d'entiers. Un premier travail s'intéresse aux partitions d'entiers bipartites, qui constituent une généralisation bidimensionnelle des partitions d'entiers. Des équivalents du nombre de partitions sont obtenus dans le régime critique où l'un des entiers est de l'ordre du carré de l'autre entier et au delà de ce régime critique. Ceci complète les résultats établis dans les années cinquante par Auluck, Nanda et Wright. Le deuxième travail traite des chaînes polygonales à sommets entiers dans le plan. Pour un modèle statistique introduit par Sinaï, une représentation intégrale exacte de la fonction de partition est donnée. Ceci conduit à un équivalent du nombre de chaînes joignant deux points distants qui fait intervenir les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Une analyse combinatoire détaillée des chaînes convexes est présentée. Elle permet de montrer l'existence d'une forme limite pour les chaînes convexes aléatoires ayant peu de sommets, répondant ainsi à une question ouverte de Vershik. Un troisième travail porte sur les zonotopes à sommets entiers en dimension supérieure. Un équivalent simple est donné pour le logarithme du nombre de zonotopes contenus dans un cône convexe et dont les extrémités sont fixées. Une loi des grands nombres est établie et la forme limite est caractérisée par la transformée de Laplace du cône. / This thesis consists of several works dealing with the enumeration and the asymptotic behaviour of combinatorial structures related to integer partitions. A first work concerns partitions of large bipartite integers, which are a bidimensional generalization of integer partitions. Asymptotic formulæ are obtained in the critical regime where one of the numbers is of the order of magnitude of the square of the other number, and beyond this critical regime. This completes the results established in the fifties by Auluck, Nanda, and Wright. The second work deals with lattice convex chains in the plane. In a statistical model introduced by Sinaï, an exact integral representation of the partition function is given. This leads to an asymptotic formula for the number of chains joining two distant points, which involves the non trivial zeros of the Riemann zeta function. A detailed combinatorial analysis of convex chains is presented. It makes it possible to prove the existence of a limit shape for random convex chains with few vertices, answering an open question of Vershik. A third work focuses on lattice zonotopes in higher dimensions. An asymptotic equality is given for the logarithm of the number of zonotopes contained in a convex cone and such that the endings of the zonotope are fixed. A law of large numbers is established and the limit shape is characterized by the Laplace transform of the cone.

Cette thèse étudie les urnes de Pólya à travers le prisme de la combinatoire analytique. Les urnes sont des modèles, conceptuellement très simples, de dynamique de croissance ou d'extinction dont les comportements limites sont extrêmement variés. Ces modèles sont largement étudiés par des approches probabilistes mais la compréhension précise des diverses lois limites reste une question ouverte. Les travaux de Flajolet et al. en 2005 ont illustré que pour ces questions, une approche par combinatoire analytique peut se révéler très fructueuse: l'étude des propriétés (nature, singularités) des séries génératrices associées aux urnes donne accès à des lois limites avec grande précision. Cette thèse s'inscrit dans la continuité de ces travaux et commence par identifier les séries des urnes de nature algébrique, grâce à un algorithme sophistiqué issu du calcul formel (Divination/Preuve automatique). Pour les classes d'urnes algébriques, nous menons des analyses, exacte et asymptotique, afin de connaître avec précision les comportements limites (structures des moments, vitesse de convergence, aspects limites locaux). Puis, l'étude d'urnes non algébriques est faite au travers d'exemples concrets portant sur la modélisation de réseaux sociaux, ainsi que sur la combinatoire des formules booléennes. Enfin, à travers des modèles d'urnes plus généraux (absence d'équilibre, présence d'aléa au sein des règles de substitution), nous montrons que l'approche symbolique de la combinatoire analytique est robuste. En particulier, une étude combinatoire générale des urnes sans condition d'équilibre est réalisée pour la première fois, unissant toute urne à une équation aux dérivées partielles.