Globally convergent, probability-one homotopy methods have proven to be very effective for finding all the isolated solutions to polynomial systems of equations. After many years of development, homotopy path trackers based on probability-one homotopy methods are reliable and fast. Now, theoretical advances reducing the number of homotopy paths that must be tracked, and in the handling of singular solutions, have made probability-one homotopy methods even more practical. This thesis describes the theory behind and performance of the new code POLSYS_PLP, which consists of Fortran 90 modules for finding all isolated solutions of a complex coefficient polynomial system of equations by a probability-one homotopy method. The package is intended to be used in conjunction with HOMPACK90, and makes extensive use of Fortran 90 derived data types to support a partitioned linear product (PLP) polynomial system structure. PLP structure is a generalization of m-homogeneous structure, whereby each component of the system can have a different m-homogeneous structure. POLSYS_PLP employs a sophisticated power series end game for handling singular solutions, and provides support for problem definition both at a high level and via hand-crafted code. Different PLP structures and their corresponding Bezout numbers can be systematically explored before committing to root finding. / Master of Science

We report on some experience with a new version of the well known Gröbner algorithm with factorization and constraint inequalities, implemented in our REDUCE package CALI, [12]. We discuss some of its details and present run time comparisons with other existing implementations on well splitting examples.

Les systèmes polynomiaux réels sont omniprésents dans de nombreux domaines des mathématiques pures et appliquées. A. Khovanskii a fourni une borne fewnomiale supérieure sur le nombre de solutions positives non-dégénérées d'un système polynomial réel de n équations à n variables qui ne dépend que du nombre de monômes apparaissant dans les équations. Cette dernière borne a été récemment améliorée par F. Bihan et F. Sottile, mais la borne résultante peut être encore améliorée, même dans certains cas simples.Le but de ce travail est d'aborder trois problèmes importants dans la théorie des Fewnomials. Considérons une famille de systèmes polynomiaux réels avec une structure donnée (par exemple, support ou le nombre de monômes). Un problème est de trouver de bonnes bornes supérieures pour leurs nombres de solutions réelles (ou positives). Un autre problème est de construire des systèmes dont le nombre de solutions réelles (ou positives) sont proches de la meilleure borne supérieure connue. Lorsqu'une borne supérieure optimale est bien connue, qu'est ce qu'on peut dire dans le cas où elle est atteinte?Dans cette thèse, nous affinons un résultat de M. Avendaño en démontrant que le nombre de points d'intersection réels d'une droite réelle avec une courbe réelle plane définie par un polynôme avec au plus t monômes est soit infini ou ne dépasse pas $6t -7$. En outre, on montre que notre borne est optimale pour t=3 en utilisant les dessins d'enfant réels de Grothendieck. Cela montre que le nombre maximal de points d'intersection réels d'une droite réelle avec une courbe trinomiale réelle plane est onze.Nous considérons ensuite le problème de l'estimation du nombre maximal de points d'intersection transverses positifs d'une courbe plane trinomiale et d'une courbe plane t-nomiale. T-Y Li, J.-M. Rojas et X. Wang ont montré que ce nombre est borné par 2^t - 2, et récemment P. Koiran, N. Portier et S. Tavenas ont trouvé la borne supérieure 2t^3/3 +5t. Nous fournissons la borne supérieure $ 3*2^(t-2) - 1 qui est optimale pour t = 3 et est la plus petite pour t=4,...,9. Ceci est réalisé en utilisant la notion de dessins d'enfant réels. De plus, nous étudions en détail le cas t = 3 et nous donnons une restriction sur les supports des systèmes atteignant la borne optimale cinq.Un circuit est un ensemble de n+ 2 points dans $mathbb{R}^n$ qui sont minimalement affinement dépendants. Il est connu qu'un système supporté sur un circuit a au plus n+1 solutions positives non dégénérées, et que cette borne est optimale. Nous utilisons les dessins d'enfant réels et le patchwork combinatoire de Viro pour donner une caractérisation complète des circuits supportant des systèmes polynomiaux avec le nombre maximal de solutions positives non dégénérées.Nous considérons des systèmes polynomiaux de deux équations à deux variables avec cinq monômes distincts au total. Ceci est l'un des cas les plus simples où la borne supérieure optimale sur le nombre de solutions positives non dégénérées n'est pas connue. F. Bihan et F. Sottile ont prouvé que cette borne optimale est majorée par quinze. D'autre part, les meilleurs exemples avaient seulement cinq solutions positives non dégénérées.Nous considérons des systèmes polynomiaux comme avant, mais défini sur le corps des séries de Puiseux réelles généralisées et localement convergentes. Les images par l'application de valuation des solutions d'un tel système sont des points d'intersection de deux courbes tropicales planes. En utilisant des intersections non transverses des courbes tropicales planes, on obtient une construction d'un système polynomial réel comme ci-dessus ayant sept solutions positives non dégénérées. / Real polynomial systems are ubiquitous in many areas of pure and applied mathematics. A. Khovanskii provided a fewnomial upper bound on the number of non-degenerate positive solutions of a real polynomial system of $n$ equations in n variables that depends only on the number of monomials appearing in the equations. The latter bound was recently improved by F. Bihan and F. Sottile, but the resulting bound still has room for improvement, even in some simple cases.The aim of this work is to tackle three main problems in Fewnomial theory. Consider a family of real polynomial systems with a given structure (for instance, supports or number of monomials). One problem is to find good upper bounds for their numbers of real (or positive) solutions. Another problem is to construct systems whose numbers of real (or positive) solutions are close to the best known upper bound. When a sharp upper bound is known, what can be said about reaching it?In this thesis, we refine a result by M. Avendaño by proving that the number of real intersection points of a real line with a real plane curve defined by a polynomial with at most t monomials is either infinite or does not exceed 6t -7. Furthermore, we prove that our bound is sharp for t=3 using Grothendieck's real dessins d'enfant. This shows that the maximal number of real intersection points of a real line with a real plane trinomial curve is eleven.We then consider the problem of estimating the maximal number of transversal positive intersection points of a trinomial plane curve and a t-nomial plane curve. T-Y Li, J.-M. Rojas and X. Wang showed that this number is bounded by 2^t-2, and recently P. Koiran, N. Portier and S. Tavenas proved the upper bound 2t^3/3 +5t. We provide the upper bound 3*2^{t-2} - 1 that is sharp for t=3 and is the tightest for t=4,...,9. This is achieved using the notion of real dessins d'enfant. Moreover, we study closely the case t=3 and give a restriction on the supports of systems reaching the sharp bound five.A circuit is a set of n+2 points in mathbb{R}^n that is minimally affinely dependent. It is known that a system supported on a circuit has at most n+1 non-degenerate positive solutions, and that this bound is sharp. We use real dessins d'enfant and Viro's combinatorial patchworking to give a full characterization of circuits supporting polynomial systems with the maximal number of non-degenerate positive solutions.We consider polynomial systems of two equations in two variables with a total of five distinct monomials. This is one of the simplest cases where the sharp upper bound on the number of non-degenerate positive solutions is not known. F. Bihan and F. Sottile proved that this sharp bound is not greater than fifteen. On the other hand, the best examples had only five non-degenerate positive solutions. We consider polynomial systems as before, but defined over the field of real generalized locally convergent Puiseux series. The images by the valuation map of the solutions of such a system are intersection points of two plane tropical curves. Using non-transversal intersections of plane tropical curves, we obtain a construction of a real polynomial system as above having seven non-degenerate positive solutions.

La combinatoire analytique étudie le comportement asymptotique des suites à travers les propriétés analytiques de leurs fonctions génératrices. Ce domaine a conduit au développement d’outils profonds et puissants avec de nombreuses applications. Au delà de la théorie univariée désormais classique, des travaux récents en combinatoire analytique en plusieurs variables (ACSV) ont montré comment calculer le comportement asymptotique d’une grande classe de fonctions différentiellement finies:les diagonales de fractions rationnelles. Cette thèse examine les méthodes de l’ACSV du point de vue du calcul formel, développe des algorithmes rigoureux et donne les premiers résultats de complexité dans ce domaine sous des hypothèses très faibles. En outre, cette thèse donne plusieurs nouvelles applications de l’ACSV à l’énumération des marches sur des réseaux restreintes à certaines régions: elle apporte la preuve de plusieurs conjectures ouvertes sur les comportements asymptotiques de telles marches,et une étude détaillée de modèles de marche sur des réseaux avec des étapes pondérées. / The field of analytic combinatorics, which studies the asymptotic behaviour ofsequences through analytic properties of their generating functions, has led to thedevelopment of deep and powerful tools with applications across mathematics and thenatural sciences. In addition to the now classical univariate theory, recent work in thestudy of analytic combinatorics in several variables (ACSV) has shown how to deriveasymptotics for the coefficients of certain D-finite functions represented by diagonals ofmultivariate rational functions. This thesis examines the methods of ACSV from acomputer algebra viewpoint, developing rigorous algorithms and giving the firstcomplexity results in this area under conditions which are broadly satisfied.Furthermore, this thesis gives several new applications of ACSV to the enumeration oflattice walks restricted to certain regions. In addition to proving several openconjectures on the asymptotics of such walks, a detailed study of lattice walk modelswith weighted steps is undertaken.

La résolution de systèmes polynomiaux est un problème aux multiples applications, et les bases de Gröbner sont un outil important dans ce cadre. Il est connu que de nombreux systèmes issus d'applications présentent une structure supplémentaire par rapport à des systèmes arbitraires, et que ces structures peuvent souvent être exploitées pour faciliter le calcul de bases de Gröbner.Dans cette thèse, on s'intéresse à deux exemples de telles structures, pour différentes applications. Tout d'abord, on étudie les systèmes homogènes avec poids, qui sont homogènes si on calcule le degré en affectant un poids à chaque variable. Cette structure apparaît naturellement dans de nombreuses applications, dont un problème de cryptographie (logarithme discret). On montre comment les algorithmes existants, efficaces pour les polynômes homogènes, peuvent être adaptés au cas avec poids, avec des bornes de complexité générique divisées par un facteur polynomial en le produit des poids.Par ailleurs, on étudie un problème de classification de racines réelles pour des variétés définies par des déterminants. Ce problème a une application directe en théorie du contrôle, pour l'optimisation de contraste de l'imagerie à résonance magnétique. Ce système particulier s'avère insoluble avec les stratégies générales pour la classification. On montre comment ces stratégies peuvent tirer profit de la structure déterminantielle du système, et on illustre ce procédé en apportant des réponses aux questions posées par le problème d'optimisation de contraste. / Polynomial system solving is a problem with numerous applications, and Gröbner bases are an important tool in this context. Previous studies have shown that systèmes arising in applications usually exhibit more structure than arbitrary systems, and that these structures can be used to make computing Gröbner bases easier.In this thesis, we consider two examples of such structures. First, we study weighted homogeneous systems, which are homogeneous if we give to each variable an arbitrary degree. This structure appears naturally in many applications, including a cryptographical problem (discrete logarithm). We show how existing algorithms, which are efficient for homogeneous systems, can be adapted to a weighted setting, and generically, we show that their complexity bounds can be divided by a factor polynomial in the product of the weights.Then we consider a real roots classification problem for varieties defined by determinants. This problem has a direct application in control theory, for contrast optimization in magnetic resonance imagery. This specific system appears to be out of reach of existing algorithms. We show how these algorithms can benefit from the determinantal structure of the system, and as an illustration, we answer the questions from the application to contrast optimization.

La complexité algorithmique est l'étude des ressources nécessaires — le temps, la mémoire, … — pour résoudre un problème de manière algorithmique. Dans ce cadre, la théorie de la complexité algébrique est l'étude de la complexité algorithmique de problèmes de nature algébrique, concernant des polynômes.Dans cette thèse, nous étudions différents aspects de la complexité algébrique. D'une part, nous nous intéressons à l'expressivité des déterminants de matrices comme représentations des polynômes dans le modèle de complexité de Valiant. Nous montrons que les matrices symétriques ont la même expressivité que les matrices quelconques dès que la caractéristique du corps est différente de deux, mais que ce n'est plus le cas en caractéristique deux. Nous construisons également la représentation la plus compacte connue du permanent par un déterminant. D'autre part, nous étudions la complexité algorithmique de problèmes algébriques. Nous montrons que la détection de racines dans un système de n polynômes homogènes à n variables est NP-difficile. En lien avec la question « VP = VNP ? », version algébrique de « P = NP ? », nous obtenons une borne inférieure pour le calcul du permanent d'une matrice par un circuit arithmétique, et nous exhibons des liens unissant ce problème et celui du test d'identité polynomiale. Enfin nous fournissons des algorithmes efficaces pour la factorisation des polynômes lacunaires à deux variables. / Computational complexity is the study of the resources — time, memory, …— needed to algorithmically solve a problem. Within these settings, algebraic complexity theory is the study of the computational complexity of problems of algebraic nature, concerning polynomials. In this thesis, we study several aspects of algebraic complexity. On the one hand, we are interested in the expressiveness of the determinants of matrices as representations of polynomials in Valiant's model of complexity. We show that symmetric matrices have the same expressiveness as the ordinary matrices as soon as the characteristic of the underlying field in different from two, but that this is not the case anymore in characteristic two. We also build the smallest known representation of the permanent by a determinant.On the other hand, we study the computational complexity of algebraic problems. We show that the detection of roots in a system of n homogeneous polynomials in n variables in NP-hard. In line with the “VP = VNP ?”question, which is the algebraic version of “P = NP?” we obtain a lower bound for the computation of the permanent of a matrix by an arithmetic circuit, and we point out the links between this problem and the polynomial identity testing problem. Finally, we give efficient algorithms for the factorization of lacunary bivariate polynomials.

La classe des systèmes non-linéaires dont la dynamique est définie par un champ de vecteurs polynomial est étudié. Des modèles polynomiaux peuvent représenter différents systèmes réels ou bien définir des approximations plus riches que des modèles linéaires pour des systèmes non-linéaires différentiables. Des techniques de programmation semi-définie développées récemment ont rendu possible l'étude de cette classe de systèmes avec des outils numériques. Le problème d'analyse en stabilité locale est résolu via des conditions basées sur la positivité de polynomes. Dans le cadre de la synthèse de lois de commande nous proposons un changement de variables linéaire pour traiter la synthèse de lois de commande non-linéaire qui garantissent la stabilité locale. Les ensembles définissant des estimations de la région d'attraction, définis par des courbes de niveau de la fonction de Lyapunov pour le système, sont également donnés par des fonctions polynomiales / We study the class of nonlinear dynamical systems which vector field is defined by polynomial functions. A large set of systems can be modeled using such class of functions. Tests for stability are formulated as semidefinite programming problems by considering positive polinomials to belong to the class of Sum of Squares polynomials. Polynomial control law gains are computed based on a linear change of coordinates and guarantee the local stability of the closed-loop system. Lyapunov theory is then applied in order to obtain estimates of the region of attraction for stable equilibrium points. Such estimates are given by level sets of polynomial positive functions

Cette thèse s’intéresse au calcul de solutions globales de problèmes de commande optimaleen boucle ouverte. La méthodologie générale se base sur l’approche par les moments, oùun problème d’optimisation est relâché en un problème généralisé des moments, dont unehiérarchie de relaxations semi-définies peut être résolue numériquement. L’approche esttout d’abord appliquée aux problèmes impulsionnels linéaires à temps variant, en modélisantle contrôle par une mesure. Les conditions semi-définies qui en résultent permettentde s’affranchir complètement des difficultés liées à la discrétisation temporelle. Ensuite, ense basant sur le formalisme des mesures d’occupations, la méthode peut être étendue auxsystèmes impulsionnels non-linéaires, et fournit une suite monotone de bornes inférieuresau coût optimal. Enfin, les résultats précédents peuvent être transposés aux systèmes àcommutation, en modélisant chaque mode par une mesure d’occupation associée. Ceci permetd’obtenir des gains substantiels en charge de calcul par rapport à l’approche classiqueoù l’espace de contrôle est mesuré / This thesis details a global method for optimal control of open-loop systems. This is doneby relaxing the control problem as a generalized moment problem, which can be solvednumerically by a hierarchy of semi-definite relaxations. The approach is first applied tothe impulsive control of linear time varying systems, by modeling the controls by a measure.The resulting semi-definite conditions circumvent time discretiziation and relateddifficulties. By the use of occupation measures, the method is then extended to a classof impulsive non-linear problems. This results in a monotone sequence of lower boundsto the original control problem. Finally, those results are transposed to switched system,by modeling each mode by a corresponding occupation measure. This allows for largecomputational gains with respect to the classical approach, where the control space ismeasured

Cette thèse porte sur la commande H∞ par loop-shaping pour les systèmes linéaires à temps invariant d'ordre faible avec ou sans retard et dépendant de paramètres inconnus. L'objectif est d'obtenir des correcteurs H∞ paramétriques, c'est-à-dire dépendant explicitement des paramètres inconnus, pour application à des viseurs gyrostabilisés.L'existence de ces paramètres inconnus ne permet plus l'utilisation des techniques numériques classiques pour la résolution du problème H∞ par loop-shaping. Nous avons alors développé une nouvelle méthodologie permettant de traiter les systèmes linéaires de dimension finie grâce à l'utilissation de techniques modernes de calcul formel dédiées à la résolution des systèmes polynomiaux (bases de Gröbner, variétés discriminantes, etc.).Une telle approche présente de multiples avantages: étude de sensibilités du critère H∞ par rapport aux paramètres, identification de valeurs de paramètres singulières ou remarquables, conception de correcteurs explicites optimaux/robustes, certification numérique des calculs, etc. De plus, nous montrons que cette approche peut s'étendre à une classe de systèmes à retard.Plus généralement, cette thèse s'appuie sur une étude symbolique des équations de Riccati algébriques. Les méthodologies génériques développées ici peuvent s'étendre à de nombreux problèmes de l'automatique, notamment la commande LQG, le filtrage de Kalman ou invariant. / This PhD thesis deals with the H∞ loop-shaping design for low order linear time invariant systems depending on unknown parameters. The objective of the PhD thesis is to obtain parametric H∞ controllers, i.e. controllers which depend explicitly on the unknown model parameters, and to apply them to the stabilization of gyrostabilized sights.Due to the unknown parameters, no numerical algorithm can solve the robust control problem. Using modern symbolic techniques dedicated to the solving of polynomial systems (Gröbner bases, discriminant varieties, etc.), we develop a new methodology to solve this problem for finite-dimensional linear systems.This approach shows several advantages : we can study the sensibilities of the H∞ criterion to the parameter variations, identify singular or remarquable values of the parameters, compute controllers which depend explicitly on the parameters, certify the numerical computations, etc. Furthermore, we show that this approach can be extended to a class of linear time-delay systems.More generally, this PhD thesis develops an algebraic approach for the study of algebraic Riccati equations. Thus, the methodology obtained can be extended to many different problems such as LQG control and Kalman or invariant filtering.