Cette thèse porte sur l'analyse de la singularité d'un manipulateur plan pour l'application d'une XY-Théta plate-forme. Cette plate-forme possède une cinématique brevetée, conçue pour garder l’erreur finale de position en dessous de 2mμ dans son espace de travail de dimensions 300 mm × 300 mm. Ces performances de haute précision s'expliquent par la proximité des singularités. Certains inconvénients peuvent survenir lorsque la trajectoire se rapproche des singularités, notamment si une vitesse articulaire élevée est atteinte. Par conséquent, l'objectif principal de cette thèse est d'identifier les lieux des singularités. Habituellement, quand un robot non-redondant se déplace dans un espace à trois dimensions, le lieu de singularité est défini par une surface. Une contribution majeure de ce travail de thèse réside dans l'identification d'une ligne hélicoïdale pour définir le lieu de la singularité au sein de l'espace de travail. Une autre partie du travail réalisé a consisté à prendre en compte la redondance du robot à identifier les lieux des singularités et dans ce cas à analyser les problèmes de contrôle liés à la traversée de surfaces de singularités. En dernier lieu, une attention a été portée sur l'indice de maniabilité afin d'évaluer la distance entre le manipulateur et la singularité. / This thesis deals with the singularity analysis of a planar robotic manipulator for the application of an XY-Theta platform. This XY-Theta platform has a patented kinematics designed to keep the final position error below 2 μm in its 300 mm × 300 mm workspace. But as the high precision performances are due to the proximity of singularities, some drawbacksmay also appear when the trajectory is too close to singularities, such as large joint velocities, high forces and torques. Therefore, the main objective of this thesis is to identify the singularity loci. Usually, when a non-redundant robot operates in a 3D space, the singularity locus is represented by a surface. Here, one contribution is the identification of an helicoidal line for the singularity locus within the workspace. Another contribution is to take into account the redundancy of the robot, identify the singularity loci in this case and analyze the control problems linked to the crossing of singularity surfaces. Finally, the manipulability index is calculated to show how far the manipulator is from the singularity configuration.

Ce travail est la synthèse de travaux de recherches en mathématiques, dont les thèmes sont empruntés à la géométrie algébrique, la combinatoire analytique et les probabilités. La première partie concerne les variétés algébriques complexes de dimension trois. On y présente un calcul de la cohomologie singulière de variétés toriques lisses non complètes, ainsi que la construction d'un modèle toroïdal des singularités-quotient, dont le calcul nécessite l'étude combinatoire fine de l'action des groupes finis de matrices unitaires sur le plan projectif. La deuxième partie développe une adaptation "hybride" de la méthode de Darboux et de l'analyse des singularités pour le développement asymptotique des coefficients d'une série entière dans certains cas de frontière naturelle d'analyticité. De nombreux exemples issus de l'analyse combinatoire sont ainsi traités, dont celui de l'analyse d'algorithmes de factorisation de polynômes sur les corps finis qui sont utilisés en calcul formel et pour les codes correcteurs d'erreurs. La troisième partie résout une conjecture sur les arbres $m$-aires de recherche qui sont une structure fondamentale de l'algorithmiques des ensembles de données. Le modèle considéré est un modèle d'urnes qui se généralise en la notion de processus aléatoires de Pòlya dont le comportement asymptotique général est étudié. Dans la quatrième partie, on construit un arbre aléatoire associé à la \emph{Chaos Game Representation} utilisée en bio-mathématique et en bio-informatique du génôme. Les asymptotiques de la hauteur et de la profondeur d'insertion de ces arbres y sont établies.

La combinatoire analytique étudie le comportement asymptotique des suites à travers les propriétés analytiques de leurs fonctions génératrices. Ce domaine a conduit au développement d’outils profonds et puissants avec de nombreuses applications. Au delà de la théorie univariée désormais classique, des travaux récents en combinatoire analytique en plusieurs variables (ACSV) ont montré comment calculer le comportement asymptotique d’une grande classe de fonctions différentiellement finies:les diagonales de fractions rationnelles. Cette thèse examine les méthodes de l’ACSV du point de vue du calcul formel, développe des algorithmes rigoureux et donne les premiers résultats de complexité dans ce domaine sous des hypothèses très faibles. En outre, cette thèse donne plusieurs nouvelles applications de l’ACSV à l’énumération des marches sur des réseaux restreintes à certaines régions: elle apporte la preuve de plusieurs conjectures ouvertes sur les comportements asymptotiques de telles marches,et une étude détaillée de modèles de marche sur des réseaux avec des étapes pondérées. / The field of analytic combinatorics, which studies the asymptotic behaviour ofsequences through analytic properties of their generating functions, has led to thedevelopment of deep and powerful tools with applications across mathematics and thenatural sciences. In addition to the now classical univariate theory, recent work in thestudy of analytic combinatorics in several variables (ACSV) has shown how to deriveasymptotics for the coefficients of certain D-finite functions represented by diagonals ofmultivariate rational functions. This thesis examines the methods of ACSV from acomputer algebra viewpoint, developing rigorous algorithms and giving the firstcomplexity results in this area under conditions which are broadly satisfied.Furthermore, this thesis gives several new applications of ACSV to the enumeration oflattice walks restricted to certain regions. In addition to proving several openconjectures on the asymptotics of such walks, a detailed study of lattice walk modelswith weighted steps is undertaken.