Cette thèse est consacrée à l'étude de trois problèmes d'hyperbolicité complexe et presque complexe. La première partie est dédiée à la recherche d'une conséquence quantitative de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi, qui est une propriété qualitative. Le résultat obtenu prend la forme d'une inégalité isopérimétrique qui évoque l'inégalité d'Ahlfors relative aux recouvrements des surfaces de surfaces. Sa démonstration est purement riemannienne.La deuxième partie de la thèse est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Borel, qui affirme que les courbes entières dans le plan projectif complexe évitant quatre droites en position générale sont linéairement dégénérées. Dans un plan projectif presque complexe, les J-droites substituent aux droites projectives et nous disposons d'un énoncé analogue pour les J-courbes entières. La démonstration de ce résultat repose sur l'utilisation de projections centrales et sur la théorie de recouvrement des surfaces d'Ahlfors.La dernière partie est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Bloch, qui affirme qu'une suite non normale de disques holomorphes du plan projectif évitant quatre droites en position générale converge, en un certain sens, vers une réunion de trois droites. Notre résultat implique en particulier l'hyperbolicité du complémentaire dans le plan projectif presque complexe de quatre J-droites modulo trois J-droites. / This thesis is dedicated to the study of three problems of complex and almost complex hyperbolicity. Its first part is dedicated to the research of a quantitative consequence to Kobayashi hyperbolicity, which is a qualitative property. The result we obtain has the form of an isoperimetric inequality that suggests Ahlfors' inequality, the central result of the theory of covering surfaces. Its proof uses only riemannian tools.The second part of the thesis is dedicated to the proof of an almost complex version of Borel's theorem, which says that an entire curve in the compex preojective plane missing four lines in general position is degenerate. In an almost compex context, we can obtain a similar result for entire J-curves just by replacing projective lines by J-lines. The proof of this result uses central projections and Ahlfors' theory of covering surfaces.The last part is dedicated to the proof of an almost complex version of Bloch's theorem, which says that given a sequence of holomorphic discs in the projective plane, either it is normal, either it converges in some sens to a reunion of three lines. Our result will show in particular that the complementary set of four J-lines in general position is hyperbolic modulo three J-lines.

Ce travail de thèse porte sur l’étude de l’hyperbolicité complexe de compactifications de quotients de domaines symétriques bornés, et plus spécifiquement, de quotients de la boule. On souhaite ainsi comprendre la géométrie des courbes entières que ces compactifications contiennent, ainsi que le type de leurs sous-variétés. On prouve d'abord un critère métrique de positivité du fibré co-tangent d’une variété complexe, reposant notamment sur les travaux de J.-P. Demailly et de S. Boucksom. Ce critère peut s’appliquer à une large classe de variétés, dépassant le cadre précédent ; avec Y. Brunebarbe, on s'est ainsi intéressé aux variétés supportant une variation de structures de Hodge complexes. Dans le cas d’un quotient de la boule, ce critère permet de montrer qu’un revêtement ramifié d’une compactification toroïdale lisse, étale sur l’intérieur, et ramifiant à des ordres supérieurs à 7 sur le bord, ne contient que des variétés de type général en dehors de son bord. Dans ce cadre, ceci fournit une version effective d’un théorème de Y. Brunebarbe. On étudie par ailleurs d’autres situations que ces compactifications lisses : avec E.Rousseau et B. Taji, on donne des critères d'hyperbolicité complexe de ces compactifications lorsque les quotients sont singuliers. On présente aussi une version effective d’un théorème de J.-P. Demailly, concernant le caractère big des différentielles de jets sur la compactification donnée. Enfin, on montre que les méthodes métriques présentées précédemment s’étendent au cas de tous les domaines symétriques bornés ; elles fournissent alors des résultats effectifs d'hyperbolicité algébrique et transcendante pour d’autres domaines que la boule. / This work deals with the study of complex hyperbolicity of compactifications of quotients of bounded symmetric domains, and more specifically, of quotients of the ball. We are interested in the geometry of the entire curves such a compactification contains, as well as to the type of its subvarietes. We first prove a metric criterion for the positivity of the cotangent bundle of a complex manifold, based in particular on the work of J.-P. Demailly and of S. Boucksom. This criterion can be applied to a large class of manifolds, going beyond the previous frame; with Y. Brunebarbe, we apply in particular these methods to the case of manifolds supporting a complex variation of Hodge structures.In the case of a ball quotient, the criterion shows that on a ramified cover of a toroidal compactification, étale on the inside part, and ramifying at orders higher than 7 on the boundary, there is no subvariety which is not of general type, and not included in the boundary. In this setting, this gives an effective version of a theorem of Y. Brunebarbe. We also study other situations than these smooth compactifications : with E. Rousseau and B. Taji, we give metric criterions for the complex hyperbolicity of these compactifications, if the quotients are singular. In the case of the ball, we present also an effective version of a theorem of J.-P. Demailly, concerning the bigness of the Green-Griffiths jet differentials on the given compactification. Finally, we show that the previous metric methods can be applied to the case of all bounded symmetric domains ; they give effective hyperbolicity results, algebraic and transcendental, for other bounded symmetric domains than the ball.