L'étude des courbes entières dans les variétés complexes a déjà une longue histoire que l'on peut faire remonter au petit théorème de Picard. Les variétés complexes hyperboliques sont actuellement très étudiées notamment par les liens fascinants que l'hyperbolicité a avec la géométrie arithmétique. A la suite de Lang et Vojta, on dispose de conjectures sur les liens entre hyperbolicité analytique et arithmétique e.g. la densité des courbes entières et celle des points rationnels.On décrit dans ce texte de synthèse différentes approches possibles du problème de l'hyperbolicité: équations différentielles algébriques, structures orbifoldes et courants d'Ahlfors.

Ce travail de thèse porte sur l’étude de l’hyperbolicité complexe de compactifications de quotients de domaines symétriques bornés, et plus spécifiquement, de quotients de la boule. On souhaite ainsi comprendre la géométrie des courbes entières que ces compactifications contiennent, ainsi que le type de leurs sous-variétés. On prouve d'abord un critère métrique de positivité du fibré co-tangent d’une variété complexe, reposant notamment sur les travaux de J.-P. Demailly et de S. Boucksom. Ce critère peut s’appliquer à une large classe de variétés, dépassant le cadre précédent ; avec Y. Brunebarbe, on s'est ainsi intéressé aux variétés supportant une variation de structures de Hodge complexes. Dans le cas d’un quotient de la boule, ce critère permet de montrer qu’un revêtement ramifié d’une compactification toroïdale lisse, étale sur l’intérieur, et ramifiant à des ordres supérieurs à 7 sur le bord, ne contient que des variétés de type général en dehors de son bord. Dans ce cadre, ceci fournit une version effective d’un théorème de Y. Brunebarbe. On étudie par ailleurs d’autres situations que ces compactifications lisses : avec E.Rousseau et B. Taji, on donne des critères d'hyperbolicité complexe de ces compactifications lorsque les quotients sont singuliers. On présente aussi une version effective d’un théorème de J.-P. Demailly, concernant le caractère big des différentielles de jets sur la compactification donnée. Enfin, on montre que les méthodes métriques présentées précédemment s’étendent au cas de tous les domaines symétriques bornés ; elles fournissent alors des résultats effectifs d'hyperbolicité algébrique et transcendante pour d’autres domaines que la boule. / This work deals with the study of complex hyperbolicity of compactifications of quotients of bounded symmetric domains, and more specifically, of quotients of the ball. We are interested in the geometry of the entire curves such a compactification contains, as well as to the type of its subvarietes. We first prove a metric criterion for the positivity of the cotangent bundle of a complex manifold, based in particular on the work of J.-P. Demailly and of S. Boucksom. This criterion can be applied to a large class of manifolds, going beyond the previous frame; with Y. Brunebarbe, we apply in particular these methods to the case of manifolds supporting a complex variation of Hodge structures.In the case of a ball quotient, the criterion shows that on a ramified cover of a toroidal compactification, étale on the inside part, and ramifying at orders higher than 7 on the boundary, there is no subvariety which is not of general type, and not included in the boundary. In this setting, this gives an effective version of a theorem of Y. Brunebarbe. We also study other situations than these smooth compactifications : with E. Rousseau and B. Taji, we give metric criterions for the complex hyperbolicity of these compactifications, if the quotients are singular. In the case of the ball, we present also an effective version of a theorem of J.-P. Demailly, concerning the bigness of the Green-Griffiths jet differentials on the given compactification. Finally, we show that the previous metric methods can be applied to the case of all bounded symmetric domains ; they give effective hyperbolicity results, algebraic and transcendental, for other bounded symmetric domains than the ball.