Se considera una ecuación de evolución singularmente perturbada del tipo reacción-difusión, donde la no-linealidad depende de la densidad espacialmente normalizada, es decir incluye un funcional. El dominio es acotado y se impone en su frontera la condición de flujo nulo.

El objetivo de este trabajo consiste en estudiar el comportamiento asintótico de las soluciones de un sistema dispersivo no lineal de tipo Benjamin-Bona- Mahony cuando t se aproxima al infinito. / Tesis

El objetivo principal en este trabajo es estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de las soluciones del problema de valor inicial ∂ᵘt+ ∂ᶟᵪu + α∂ᶟᵪv + uᵖ∂ᵪu + vp∂ᵛᵪ = 0 ∂tᵛ + ∂ᶟᵪ v + α∂ᶟᵪu + vᵖ∂ᵪᵛ + ∂ᵪ (uvᵖ) = 0 u (x, 0) = u₀ v (x, 0) = v₀, donde α es una constante real menor que 1. El sistema se considera para x ∈ R y t ≥ 0. El exponente p es un entero mayor o igual a 1. El sistema tiene la estructura de un par de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a través de ambos efectos dispersivos y no lineales, y es un caso particular del sistema derivado por Gear y Grimshaw como un modelo para describir la interacción fuerte de ondas largas débilmente no lineales. Para esto se demuestra, mediante la teoría de T. Kato para ecuaciones de evolución cuasi lineales del tipo hiperbólico, que el problema está bien formulado localmente en los espacios clásicos de Sobolev Hs (R) × Hs (R) para s ≥ 3. Usando el método de la fase estacionaria analizamos la parte lineal del sistema y entonces usando la versión integral de nuestro problema se genera el siguiente resultado: existe una constante C > 0 tal que: II(u, v) (t)IIH³͚ ≤ C (1 + t)-⅓ cuando t → ∞, suponiendo que el dato inicial en t = 0 satisface las condiciones para p ≥ 4 y |α| < 1. / Tesis

Se estudia el comportamiento asintótico de la solución global del problema no lineal L∂tu + ∂ₓu +a (t) uP∂ₓu =O, X ϵ R, t > O u(O) = φ(x) donde φ ϵ Hs (R), p es un entero positivo y L : Hs(R) → L²(R) es el operador seudo-diferencial definido por Lu(y) = m(y)u(y)u ϵ Hs(R). Para esto se utiliza el método de la fase estacionaria.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / Las curvas autocontractantes (ver definición \ref{autocontractante}) han sido extensamente estudiadas debido a su relación con sistemas dinámicos de tipo gradiente y sus aplicaciones tanto en algoritmos de optimización de tipo descenso (Convergencia del algoritmo Proximal), como de soluciones a encontrar curvas que sean perpendiculares a foliaciones convexas del espacio (ver \cite{daniilidis2010asymptotic}, \cite{daniilidis2015rectifiability}). También, de manera independiente, en la década del 90 los matemáticos Manselli y Pucci trabajaron en estudiar el largo de ciertas curvas, que a posteriori, corresponden exactamente a las curvas autocontractantes salvo porque estén revertidas en orientación y supuestas rectificables de antemano (ver \cite{manselli1991maximum}). La rectificabilidad en curvas irregulares resulta ser un problema complicado dado que no hay una caracterización de esta propiedad salvo hipótesis fuertes, como del estilo que sean diferenciables, o bien, que posean curvatura finita (ver \cite{GTIC}, Capítulo 5). Este trabajo está enfocado en extender lo más posible una técnica que prueba rectificabilidad (en un sentido que quedará claro en el capítulo 2), para el caso de las $\lambda$-curvas, que a saber, son curvas en un espacio métrico $\gamma:I\subseteq \R\to (X,d)$, tales que para $t_1,t_2,t_3\in I$, con $t_1<t_2<t_3$, satisfacen: \[d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))\leq d(\gamma(t_1),\jo(t_3))+\lambda d(\gamma(t_2),\gamma(t_3)).\] Se puede apreciar que una curva autocontractante con orientación invertida corresponde al caso $\lambda=0$, por lo tanto la clase de $\lambda$-curvas es más amplia y su estudio contiene lo anterior mencionado. También, se presentan propiedades geométricas de las $\lambda$-curvas y su estrecha relación con curvas autocontractantes definidas en espacios de Banach de dimensión infinita. En esta misma línea, se muestran 2 ejemplos para probar que las curvas autocontractantes definidas sobre espacios de Banach, contenidas en un compacto, no tienen por qué ser rectificables, ni si quiera localmente rectificables.

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El objetivo principal en este trabajo es estudiar el comportamiento asint´otico en el tiempo de las soluciones del problema de valor inicial ∂ᵘt+ ∂ᶟᵪu + α∂ᶟᵪv + uᵖ∂ᵪu + vp∂ᵛᵪ = 0 ∂tᵛ + ∂ᶟᵪ v + α∂ᶟᵪu + vᵖ∂ᵪᵛ + ∂ᵪ (uvᵖ) = 0 u (x, 0) = u₀ v (x, 0) = v₀, donde α es una constante real menor que 1. El sistema se considera para x ∈ R y t ≥ 0. El exponente p es un entero mayor o igual a 1. El sistema tiene la estructura de un par de ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a través de ambos efectos dispersivos y no lineales, y es un caso particular del sistema derivado por Gear y Grimshaw como un modelo para describir la interacción fuerte de ondas largas débilmente no lineales. Para esto se demuestra, mediante la teoría de T. Kato para ecuaciones de evolución cuasi lineales del tipo hiperbólico, que el problema está bien formulado localmente en los espacios clásicos de Sobolev Hs (R) × Hs (R) para s ≥ 3. Usando el método de la fase estacionaria analizamos la parte lineal del sistema y entonces usando la versión integral de nuestro problema se genera el siguiente resultado: existe una constante C > 0 tal que: II(u, v) (t)IIH³͚ ≤ C (1 + t)-⅓ cuando t → ∞, suponiendo que el dato inicial en t = 0 satisface las condiciones para p ≥ 4 y |α| < 1. / Tesis

El objetivo de este trabajo consiste en estudiar el comportamiento asintótico de las soluciones de un sistema dispersivo no lineal de tipo Benjamin-Bona- Mahony cuando t se aproxima al infinito. / Tesis