L'assimilation de données est une classe de méthode mathématiques très usitées en météorologie ou en océanographie. Elle permettent de recomposer de façon adéquate l'état du système au moyen des informations fournies par le modèle d'une part et les observations d'autre part. Parmi celles-ci, les méthodes d'assimilation variationnelles ont connu récemment un fort développement jusqu'à fournir les méthodes opérationnelles dans les principaux centres de météorologie. Cependant ces méthodes ne prennent généralement pas en compte l'inexactitude des modèles. Tout au long de cette thèse, on s'est attaché à décrire et expérimenter des variantes " modèle inexacte " de la méthode 4D-Variationnelle applicable tant du point de vue algorithmique que du coût en temps de calcul.<br />Deux méthodes sont étudiées plus en détail. Premièrement, le Nudging optimal qui consiste en adjoindre au 4D-Var un rappel newtonien de l'état du modèle vers les observations et dont l'amplitude sera estimé par contrôle optimal. D'autre part le " contrôle de l'erreur systématique " considère l'erreur modèle comme étant un terme ne variant pas, ou très peu, dans le temps, ce terme étant également estimé par contrôle.<br />Dans un premier temps ces méthodes sont appliquées à des cas académiques de modèles simplifiés en assimilant des données simulées. La méthode de contrôle de la part systématique de l'erreur est ensuite appliquée à un modèle d'océan aux équations primitives dans le cadre d'une expérience réaliste afin de valider les bons résultats obtenus pour les configurations académiques.

La simulation de systèmes d'ingénierie non linéaire complexes tels que les écoulements de fluide compressibles peut être ciblée pour rendre plus efficace et précise l'approximation d'une quantité spécifique (scalaire) d'intérêt du système. En mettant de côté l'erreur de modélisation et l'incertitude paramétrique, on peut y parvenir en combinant des estimations d'erreurs axées sur des objectifs et des raffinements adaptatifs de maillage spatial anisotrope. A cette fin, un cadre élégant et efficace est celui de l'adaptation dite basé-métrique où une estimation d'erreur a priori est utilisée comme indicateur d’adaptation de maillage. Dans cette thèse on propose une nouvelle extension de cette approche au cas des approximations de système portant une composante stochastique. Dans ce cas, un problème d'optimisation est formulé et résolu pour un meilleur contrôle des sources d'erreurs. Ce problème est posé dans le cadre continu de l'espace de métrique riemannien. Des développements algorithmiques sont également proposés afin de déterminer les sources dominates d’erreur et effectuer l’adaptation dans les espaces physique ou des paramètres incertains. L’approche proposé est testée sur divers problèmes comprenant une entrée de scramjet supersonique soumise à des incertitudes paramétriques géométriques et opérationnelles. Il est démontré que cette approche est capable de bien capturé les singularités dans l’escape stochastique, tout en équilibrant le budget de calcul et les raffinements de maillage dans les deux espaces. / The simulation of complex nonlinear engineering systems such as compressible fluid flows may be targeted to make more efficient and accurate the approximation of a specific (scalar) quantity of interest of the system. Putting aside modeling error and parametric uncertainty, this may be achieved by combining goal-oriented error estimates and adaptive anisotropic spatial mesh refinements. To this end, an elegant and efficient framework is the one of (Riemannian) metric-based adaptation where a goal-based a priori error estimation is used as indicator for adaptivity. This thesis proposes a novel extension of this approach to the case of aforementioned system approximations bearing a stochastic component. In this case, an optimisation problem leading to the best control of the distinct sources of errors is formulated in the continuous framework of the Riemannian metric space. Algorithmic developments are also presented in order to quantify and adaptively adjust the error components in the deterministic and stochastic approximation spaces. The capability of the proposed method is tested on various problems including a supersonic scramjet inlet subject to geometrical and operational parametric uncertainties. It is demonstrated to accurately capture discontinuous features of stochastic compressible flows impacting pressure-related quantities of interest, while balancing computational budget and refinements in both spaces.

Nous présentons ici plusieurs améliorations d'un algorithme de modélisation de l'éclairage, la méthode de radiosité. Pour commencer, une analyse détaillée de la méthode de radiosité hiérarchique permet de souligner ses points faibles et de mettre en évidence deux améliorations simples : une évaluation paresseuse des interactions entre les objets, et un nouveau critère de raffinement qui élimine en grande partie les raffinements inutiles. Un bref rappel des propriétés des fonctions de plusieurs variables et de leurs dérivées suit, qui permet d'abord de déduire une réécriture de l'expression de la radiosité, d'où un calcul numérique plus précis. Les méthodes d'estimation de l'erreur produite au cours du processus de modélisation de la lumière sont introduites. Nous voyons alors comment les propriétés de concavité de la fonction de radiosité permettent -- grâce au calcul des dérivées successives de la radiosité -- un contrôle complet de l'erreur commise dans la modélisation des interactions entre les objets, et donc un encadrement précis de la radiosité. Nous présentons un critère de raffinement basé sur cette modélisation des interactions, et un algorithme complet de radiosité hiérarchique intégrant ce critère de raffinement, et donc permettant un contrôle de l'erreur commise sur la radiosité au cours de la résolution. Finalement, nous présentons les méthodes de calcul pratique des dérivées successives de la radiosité (gradient et Hessien) dans le cas d'un émetteur constant sans obstacles tout d'abord, puis dans le cas d'un émetteur constant en présence d'obstacles et dans le cas d'un émetteur sur lequel la radiosité varie de façon linéaire.