Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L'hadronthérapie est une modalité d'irradiation récente particulièrement attractive. Les ions, par leur profil caractéristique de dépôt de dose dans la matière et leur efficacité biologique accrue, sont des particules parfaitement adaptées pour le traitement du cancer. C'est une modalité émergente et les travaux de recherche et de développement qui en font l'objet se poursuivent de manière soutenue. Cependant, il n'existe à ce jour aucun outil permettant de quantifier pour le patient le gain clinique associé aux améliorations proposées, comme l'apport d'une gantry par exemple. Nous proposons dans ce travail de concevoir un module de planification inverse du traitement pour un but prospectif. Détachée des contraintes usuelles de précision et de temps de calcul, notre méthode d'optimisation se base sur un algorithme génétique afin d'approcher d'une solution globale vis-à-vis d'un grand nombre de paramètres balistiques (champs d'irradiation libres) et en associant les diverses régions d'intérêt dosimétrique. La stratégie d'optimisation retenue est progressivement complexifiée afin de prendre en compte de manière efficace les différents enjeux de la planification. La robustesse du plan vis-à-vis des incertitudes inhérentes au traitement, primordiale en hadronthérapie, est évaluée. Dans toutes les situations testées, il apparaît que l'inclusion dans l'optimisation de paramètres habituellement fixés manuellement permet une amélioration de la qualité de traitement. Nous proposons au terme de cette étude un outil prospectif d'optimisation au réglage simple et capable de mener des études comparées sur la pertinence de nouvelles modalités d'irradiation.

Les problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : économie, mécanique des solides, mécanique des fluides. Ce n’est que récemment qu’ils ont commencé d’intéresser les chercheurs étudiant les écoulements et le transport en milieu poreux. Les problèmes de complémentarité sont un cas particulier des inéquations variationnelles. Dans cette thèse, on offre plusieurs contributions aux méthodes numériques pour résoudre les problèmes de complémentarité. Dans la première partie de cette thèse, on étudie les problèmes de complémentarité linéaires 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 où, x l’inconnue est dans Rn et où les données sont q, un vecteur de Rn, et M, une matrice d’ordre n. L’existence et l’unicité de ce problème est obtenue quand la matrice M est une P-matrice. Une méthode très efficace pour résoudre les problèmes de complémentarité est la méthode de Newton-min, une extension de la méthode de Newton aux problèmes non lisses.Dans cette thèse on montre d’abord, en construisant deux familles de contre-exemples, que la méthode de Newton-min ne converge pas pour la classe des P-matrices, sauf si n= 1 ou 2. Ensuite on caractérise algorithmiquement la classe des P-matrices : c’est la classe des matrices qui sont telles que quel que, soit le vecteur q, l’algorithme de Newton-min ne fait pas de cycle de deux points. Enfin ces résultats de non-convergence nous ont conduit à construire une méthode de globalisation de l’algorithme de Newton-min dont nous avons démontré la convergence globale pour les P-matrices. Des résultats numériques montrent l’efficacité de cet algorithme et sa convergence polynomiale pour les cas considérés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à un exemple de problème de complémentarité non linéaire concernant les écoulements en milieu poreux. Il s’agit d’un écoulement liquide-gaz à deux composants eau-hydrogène que l’on rencontre dans le cadre de l’étude du stockage des déchets radioactifs en milieu géologique. Nous présentons un modèle mathématique utilisant des conditions de complémentarité non linéaires décrivant ces écoulements. D’une part, nous proposons une méthode de résolution et un solveur pour ce problème. D’autre part, nous présentons les résultats numériques que nous avons obtenus suite à la simulation des cas-tests proposés par l’ANDRA (Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs) et le GNR MoMaS. En particulier, ces résultats montrent l’efficacité de l’algorithme proposé et sa convergence quadratique pour ces cas-tests / This manuscript deals with numerical methods for linear and nonlinear complementarity problems,and, more specifically, with solving gas phase appearance and disappearance modeled as a complementarity problem. In the first part of this manuscript, we focused on the plain Newton-min method to solve the linear complementarity problem (LCP for short) 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 that can be viewed as a nonsmooth Newton algorithm without globalization technique to solve the system of piecewise linear equations min(x,Mx+q) = 0, which is equivalent to the LCP. When M is an M-matrix of order n, the algorithm was known to converge in at most n iterations. We show that this resultno longer holds when M is a P-matrix of order > 3. On the one hand, we offer counter-examplesshowing that the algorithm may cycle in those cases. P-matrices are interesting since they are thoseensuring the existence and uniqueness of the solution to the LCP for an arbitrary q. Incidentally,convergence occurs for a P-matrix of order 1 or 2. On the other hand, we provide a new algorithmic characterization of P-matricity : we show that a nondegenerate square real matrix M is a P-matrixif and only if, whatever is the real vector q, the Newton-min algorithm does not cycle between twopoints. In order to force the convergence of the Newton-min algorithm with P-matrices, we havederived a new method, which is robust, easy to describe, and simple to implement. It is globallyconvergent and the numerical results reported in this manuscript show that it outperforms a methodof Harker and Pang. In the second part of this manuscript, we consider the modeling of migration of hydrogen produced by the corrosion of the nuclear waste packages in an underground storage including the dissolution of hydrogen. It results in a set of nonlinear partial differential equations with nonlinear complementarity constraints. We show how to apply a robust and efficient solution strategy, the Newton-min method considered for LCP in the first part, to this geoscience problem and investigates its applicability and efficiency on this difficult problem. The practical interest of this solution technique is corroborated by numerical experiments from the Couplex Gas benchmark proposed by Andra and GNR MoMas. In particular, numerical results show that the Newton-min method is quadratically convergent for these problems

L'hadronthérapie est une modalité d'irradiation récente particulièrement attractive. Les ions, par leur profil caractéristique de dépôt de dose dans la matière et leur efficacité biologique accrue, sont des particules parfaitement adaptées pour le traitement du cancer. C’est une modalité émergente et les travaux de recherche et de développement qui en font l'objet se poursuivent de manière soutenue. Cependant, il n'existe à ce jour aucun outil permettant de quantifier pour le patient le gain clinique associé aux améliorations proposées, comme l’apport d’une gantry par exemple. Nous proposons dans ce travail de concevoir un module de planification inverse du traitement pour un but prospectif. Détachée des contraintes usuelles de précision et de temps de calcul, notre méthode d'optimisation se base sur un algorithme génétique afin d'approcher d'une solution globale vis-à-vis d'un grand nombre de paramètres balistiques (champs d’irradiation libres) et en associant les diverses régions d'intérêt dosimétrique. La stratégie d'optimisation retenue est progressivement complexifiée afin de prendre en compte de manière efficace les différents enjeux de la planification. La robustesse du plan vis-à-vis des incertitudes inhérentes au traitement, primordiale en hadronthérapie, est évaluée. Dans toutes les situations testées, il apparaît que l'inclusion dans l'optimisation de paramètres habituellement fixés manuellement permet une amélioration de la qualité de traitement. Nous proposons au terme de cette étude un outil prospectif d'optimisation au réglage simple et capable de mener des études comparées sur la pertinence de nouvelles modalités d’irradiation. / Hadrontherapy is a recent and particularly attractive modality. Characterized by a specific dose deposition profile in matter and by a high biological effectiveness, ions are found to be very well-suited for cancer treatment. As an emergent modality, the research in hadrontherapy is extremely active and promises many improvements for the future. However, there is no tool to date to quantify the clinical benefit for the patient related to the proposed improvements, the use of a gantry for example. In this work, we propose to use the treatment planning system, usually dedicated to clinical practice, in a prospective purpose. Suppressing the classical constraints of precision and time, our optimization method is based on a genetic algorithm designed to approach a global solution including a high number of balistic parameters (free irradiation fields) for all regions of dosimetric interest. The optimization strategy is progressively complicated in order to efficientely take into account the main issues of the inverse planning problem. The robustness of plans towards the uncertainties related to the application of the treatment, essential in hadrontherapy, is evaluated. The results show that the inclusion, in the optimization, of parameters usually fixed by the human planner leads systematically to an improved treatment quality. The final product of this work is a prospective optimization tool characterized by an easy set-up system and the ability to perform comparative studies on the relevance of new irradiation modalities.

Au cours des dernières années, s’est développé un intérêt tout particulier pour l’optimisation sans dérivée. Ce domaine de recherche se divise en deux catégories: une déterministe et l’autre stochastique. Bien qu’il s’agisse du même domaine, peu de liens ont déjà été établis entre ces deux branches. Cette thèse a pour objectif de combler cette lacune, en montrant comment les techniques issues de l’optimisation déterministe peuvent améliorer la performance des stratégies évolutionnaires, qui font partie des meilleures méthodes en optimisation stochastique. Sous certaines hypothèses, les modifications réalisées assurent une forme de convergence globale, c’est-à-dire une convergence vers un point stationnaire de premier ordre indépendamment du point de départ choisi. On propose ensuite d’adapter notre algorithme afin qu’il puisse traiter des problèmes avec des contraintes générales. On montrera également comment améliorer les performances numériques des stratégies évolutionnaires en incorporant un pas de recherche au début de chaque itération, dans laquelle on construira alors un modèle quadratique utilisant les points où la fonction coût a déjà été évaluée. Grâce aux récents progrès techniques dans le domaine du calcul parallèle, et à la nature parallélisable des stratégies évolutionnaires, on propose d’appliquer notre algorithme pour résoudre un problème inverse d’imagerie sismique. Les résultats obtenus ont permis d’améliorer la résolution de ce problème. / In recent years, there has been significant and growing interest in Derivative-Free Optimization (DFO). This field can be divided into two categories: deterministic and stochastic. Despite addressing the same problem domain, only few interactions between the two DFO categories were established in the existing literature. In this thesis, we attempt to bridge this gap by showing how ideas from deterministic DFO can improve the efficiency and the rigorousness of one of the most successful class of stochastic algorithms, known as Evolution Strategies (ES’s). We propose to equip a class of ES’s with known techniques from deterministic DFO. The modified ES’s achieve rigorously a form of global convergence under reasonable assumptions. By global convergence, we mean convergence to first-order stationary points independently of the starting point. The modified ES’s are extended to handle general constrained optimization problems. Furthermore, we show how to significantly improve the numerical performance of ES’s by incorporating a search step at the beginning of each iteration. In this step, we build a quadratic model using the points where the objective function has been previously evaluated. Motivated by the recent growth of high performance computing resources and the parallel nature of ES’s, an application of our modified ES’s to Earth imaging Geophysics problem is proposed. The obtained results provide a great improvement for the problem resolution.

Les problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : économie, mécanique des solides, mécanique des fluides. Ce n'est que récemment qu'ils ont commencé d'intéresser les chercheurs étudiant les écoulements et le transport en milieu poreux. Les problèmes de complémentarité sont un cas particulier des inéquations variationnelles. Dans cette thèse, on offre plusieurs contributions aux méthodes numériques pour résoudre les problèmes de complémentarité. Dans la première partie de cette thèse, on étudie les problèmes de complémentarité linéaires 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 où, x l'inconnue est dans Rn et où les données sont q, un vecteur de Rn, et M, une matrice d'ordre n. L'existence et l'unicité de ce problème est obtenue quand la matrice M est une P-matrice. Une méthode très efficace pour résoudre les problèmes de complémentarité est la méthode de Newton-min, une extension de la méthode de Newton aux problèmes non lisses.Dans cette thèse on montre d'abord, en construisant deux familles de contre-exemples, que la méthode de Newton-min ne converge pas pour la classe des P-matrices, sauf si n= 1 ou 2. Ensuite on caractérise algorithmiquement la classe des P-matrices : c'est la classe des matrices qui sont telles que quel que, soit le vecteur q, l'algorithme de Newton-min ne fait pas de cycle de deux points. Enfin ces résultats de non-convergence nous ont conduit à construire une méthode de globalisation de l'algorithme de Newton-min dont nous avons démontré la convergence globale pour les P-matrices. Des résultats numériques montrent l'efficacité de cet algorithme et sa convergence polynomiale pour les cas considérés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à un exemple de problème de complémentarité non linéaire concernant les écoulements en milieu poreux. Il s'agit d'un écoulement liquide-gaz à deux composants eau-hydrogène que l'on rencontre dans le cadre de l'étude du stockage des déchets radioactifs en milieu géologique. Nous présentons un modèle mathématique utilisant des conditions de complémentarité non linéaires décrivant ces écoulements. D'une part, nous proposons une méthode de résolution et un solveur pour ce problème. D'autre part, nous présentons les résultats numériques que nous avons obtenus suite à la simulation des cas-tests proposés par l'ANDRA (Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs) et le GNR MoMaS. En particulier, ces résultats montrent l'efficacité de l'algorithme proposé et sa convergence quadratique pour ces cas-tests