CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Na primeira parte (capÃtulos 2, 3 e 4) desta Tese estudaremos as hipersuperfÃcies de Rp+q+2 que sÃo r-mÃnimas (Sr = 0) e invariantes pela aÃÃo canÃnica do grupo O(p + 1)  O(q + 1). Obteremos uma classificÃÃo completa de todas as hipersu- perfÃcies de Rp+q+2 que sÃo O(p + 1)  O(q + 1)-invariantes e possuem a r-Ãsima curvatura mÃdia nula (2 menor ou igual a r menor ou igual a min{p,q}), analisando se tais hipersuperfÃcies sÃo completas, mergulhadas e (r -1)-estÃveis. Com isto obteremos o seguinte resultado de existÃncia: "Sejam p, q, r pertence a N tais que p + q maior ou igual a r + 5 e 2 menor ou igual a r menor ou igual a min{p, q}, entÃo existe uma hipersuperfÃcie Mp+q+1 està contido Rp+q+2 completa, mergulhada, com r-Ãsima curvatura mÃdia nula que à globalmente (r -1)-estÃvel". No capÃtulo 5 estudaremos os cones C(M) està contido em Rn+1 r-mÃnimos, cuja base Mn-1 està contido em Sn à uma hipersuperficie compacta tal que Sr = 0 e Sr+1 à constante nÃo nula. Provaremos que: "Se r + 2 menor ou igual a n menor ou igual a r + 5, entÃo existe 0 < epsilon < 1 tal que o tronco de cone C(M)epsilon nÃo à (r - 1)-estÃvel". AlÃm disso, construiremos um Toro de Clifford com Sr = 0 e Sr+1 à diferente de 0 para mostrarmos que este resultado nÃo à vÃlido quando n maior ou igual r-Ãsima + 6.

Submitted by JOGEAN MATHEUS CARVALHO FERREIRA (jogeanmcf@gmail.com) on 2018-04-13T15:33:45Z No. of bitstreams: 1 Dissertação-Jogean.pdf: 463408 bytes, checksum: d2ae1ba2ff2f5b812d60078e1735eff9 (MD5) / Approved for entry into archive by Hellen Sayuri Sato null (hellen@ift.unesp.br) on 2018-04-13T17:16:56Z (GMT) No. of bitstreams: 1 ferreira_jmc_me_ift.pdf: 463408 bytes, checksum: d2ae1ba2ff2f5b812d60078e1735eff9 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-13T17:16:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ferreira_jmc_me_ift.pdf: 463408 bytes, checksum: d2ae1ba2ff2f5b812d60078e1735eff9 (MD5) Previous issue date: 2018-02-26 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Supersimetria é um tema de bastante interesse na física, em particular na física de partículas, existem dezenas de modelos supersimétricos e diversos estudos sobre o assunto. Outra área de bastante interesse na física, e na matemática, é a integrabilidade de equações diferenciais, que as vezes é uma propriedade exigida em modelos físicos. Este trabalho é dedicado ao estudo de modelos tanto integráveis quanto supersimétricos para campos clássicos. No primeiro capítulo nós falamos sobre todos os conhecimentos necessários para o entendimento dos capítulos subsequentes; introduzimos conceitos sobre grupos, álgebra de Lie, loop algebra, álgebra de Kac-Moody e propriedades requeridas para construção dos modelos. No capítulo três nós apresentamos dois modelos supersimétricos e integráveis que são obtidos por vias diferentes. No capítulo três nós propomos transformações para eliminar redundâncias e discutimos as principais diferenças entres esses três modelos. / Supersymmetry is a well studied branch of physics having promising physical models applied to theoretical physics and we still are looking forward experimental evidences for such phenomenon. Integrability is another great interesting theme on physics, and mathematics, that is sometimes required for physical models. This works put together supersymmetry and integrability of models based on standard principles. However, we treat of classical point of view, just looking for supersymmetry transformations and integrability of motion equations for fields. In chapter one we speak about groups, Lie algebra, loop algebra, superalgebra and others property needed to constructions of our models, introducing all knowledge for understanding the follows chapters. In chapter two we develop three supersymmetric and integrable models by different ways. In chapter three we discus the correspondence of this three models, proposing transformations with aim of to eliminate redundancies, and discuss the main differences between them. / 131664/2016-6

Uma generalização dos modelos de Toda bidimensionais pela inclusão de campos de Dirac é estudada através de métodos algébricos que possibilitam a construção de cargas e soluções para o modelo. Após desenvolver o formalismo matemático necessário, as cargas conservadas do modelo em questão são determinadas para soluções sóliton, a partir da órbita do vácuo. Uma comparação direta com o modelo de sine-Gordon revela que o mesmo processo de interação entre os sólitons ocorre em ambas as teorias, indicando a possibilidade deste modelo ser utilizado para analisar a equivalência entre esse modelo e os de sine-Gordon e Thirring. / A generalization of two dimensional Toda models by the inclusion of Dirac fields is studied through algebraic methods that allow the construction of charges and solutions. After developing the necessary mathematical formalism, the conserved charges of such model are determined forsoliton solutions belonging to the orbits of the vacuum. A direct comparison between Toda model coupled to matter fields and sine-Gordon model shows that the same interaction process among solitons occurs in both theories, indicating the possibility of this model to be used to analyze the equivalence between sine-Gordon and Thirring models.

Os modelos de Toda admitem uma representação de suas equações de movimento em termos da curvatura nula, isto é, existem potenciais que são funcionais dos campos da teoria e pertencem a uma álgebra de Kac-Moody tal que a condição de curvatura nula seja equivalente às equações de movimento. Para a construção das soluções solitônicas e cargas conservadas são necessários a gradação inteira da álgebra de Kac-Moody e a existência de soluções de vácuo, de forma que os potenciais assumam valores em uma subálgebra abeliana quando calculados nestas soluções de vácuo. A gradação da álgebra é de extrema importância pois garante que o potencial transformado tenha a mesma estrutura que o potencial de vácuo. As cargas conservadas são então construídas partindo de soluções da órbita do vácuo por meio de transformações de dressing, que consistem na aplicação da decomposição de Gauss para a produção de um potencial transformado a partir de duas transformações de Gauge. Nesta dissertação calculamos as infinitas cargas conservadas dos modelos de Toda sl(3) e também sl(N), avaliadas nas soluções pertencentes à órbita do vácuo sob transformações de dressing. As soluções de interesse físico, como sólitons e breathers pertencem a esta órbita, e as cargas conservadas para tais soluções são escritas como uma soma sobre os sólitons. Mostramos que a energia e o momento proveem de termos de superfície. / The Toda models admit a zero curvature representation of their equations of motion, i.e. there exist potentials, (A), wich are functionals of the fields of the theory and which belong to a Kac-Moody algebra G such that the zero curvature condition is equivalent to the equations of motion. For the construction of the solitons solutions and conserved charges is required an integer gradation of the Kac-Moody algebra and a ``vacuum solution\'\', such that the potentials evaluated on it belong to an abelian subalgebra. The gradation of the algebra is of extreme importance since it guarantees that the transformed potential have the same structure as the vacuum potential. The conserved charges are then constructed using the dressing method, that through the Gauss decomposition, leads to the transformed potentials by two gauge transformations. In this dissertation we calculate the infinite conserved charges of models Toda sl (3) and also sl (N) evaluated on the solutions belonging to the orbit of the vacuum under dressing transformations. The solutions of physical interest, like solitons and breathers belong to this orbit and the conserved charges for such solutions are written as a sum over the number the solitons. We show that the energy and momentum are boundary terms.

Submitted by Santos Davilene (davilenes@ufba.br) on 2017-05-30T22:02:04Z No. of bitstreams: 1 Tese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdf: 1176212 bytes, checksum: 682151271cf115f6a5ac0fea44cd999a (MD5) / Approved for entry into archive by Vanessa Reis (vanessa.jamile@ufba.br) on 2017-06-01T12:55:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Tese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdf: 1176212 bytes, checksum: 682151271cf115f6a5ac0fea44cd999a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-01T12:55:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdf: 1176212 bytes, checksum: 682151271cf115f6a5ac0fea44cd999a (MD5) / Este trabalho fornece algumas contribuições originais para o estudo geométrico de equações evolutivas que descrevem superfícies pseudo-esféricas (equações PEs). Por definição, uma equação PE para funções z = z(x; t) _e equivalente _as equações de estrutura d!1 = !3 ^ !2, d!2 = !1 ^ !3, d!3 =!1 ^ !2 de uma variedade Riemanniana 2-dimensional com curvatura Gaussiana K = 􀀀1, com 1-formas !i = fi1 dx+fi2 dt, i = 1; 2; 3, satisfazendo a condições de não-degeneração !1 ^ !2 6= 0 e com fij funções suaves de x, t, z e suas derivadas com respeito a x e t. Usando a noções de representação a curvatura nula (RCN), pode-se dizer que toda equação PE admite uma RCN a valores em sl (2;R). / A primeira contribui¸c˜ao deste trabalho diz respeito a uma classifica¸c˜ao completa e explícita de equações PEs evolutivas de segunda ordem da forma zt = A(x, t, z)z2 + B(x, t, z, z1), com z = z (x, t) e zi = ∂ i z ∂xi , sob as hip´oteses que fij = fij (x, t, z, z1, z2) e f21 = η. De acordo com a classifica¸c˜ao dada, estas equações subdividem-se em trˆes classes principais (chamadas de Tipos I-III) juntamente com os correspondentes sistemas de 1-formas {ω1, ω2, ω3} que, em virtude da hipótese f21 = η, definem para cada tipo uma fam´ılia a 1-parˆametro de RCNs associadas. Nesta classe de equações PEs encontram-se em particular algumas equações já conhecidas, dentre as quais as equações integráveis classificadas por Svinolupov e Sokolov, a equa¸c˜ao de Boltzmann, e equa¸c˜oes de rea¸c˜ao e difus˜ao como a equa¸c˜ao de Murray. Ulteriores novos exemplos explicitos s˜ao tamb´em apresentados. A segunda contribuição ´e relativa ao problema de existência de imersões isométricas locais, no espaço Euclidiano 3-dimensional E3 , para as fam´ılias de superf´ıcies pseudo-esf´ericas descritas pelas equa¸c˜oes PEs da classifica¸c˜ao acima. O resultado principal obtido neste caso ´e que estas imers˜oes existem somente para as equa¸c˜oes do Tipo I, que possuem forma de lei de conserva¸c˜ao, e isso levou `a uma extens˜ao natural deste resultado ao caso das equa¸c˜oes evolutivas de ordem k da forma Dt (f(x, t, z)) = Dx (Ω(x, t, z, z1, . . . , zk)). No ˆambito da literatura existente sobre este problema, todos os resultados obtidos nesta parte do trabalho s˜ao novos; em particular al´em de equa¸c˜oes de segunda ordem, como por exemplo as equa¸c˜oes de Boltzmann, Murray e as equa¸c˜oes de Svinolupov e Sokolov, entre os exemplos de equa¸c˜oes PEs que admitem este tipo de imers˜ao isom´etrica h´a tamb´em equa¸c˜oes de ordem superior como as equa¸c˜oes de Kuramoto-Sivashinsky, Sawada-Kotera, Kaup-Kupershmidt e inteiras hierarquias de equa¸c˜oes integr´aveis como as de Burgers, mKdV e KdV. Finalmente, n´os consideramos o problema de construir fam´ılias a 1-parˆametro n˜ao-triviais de RCNs para equações PEs. Este problema ´e de interesse especial para as aplicações da teoria das RCNs, por exemplo no calculo de soluções exatas e hierarquias infinitas de leis de conserva¸c˜ao, e tem sido resolvido no caso mais geral de RCNs a valores em g, com g uma sub-´álgebra de gl(n, R) ou gl(n, C), usando a teoria de simetrias clássicas de equacões diferenciais.

Os modelos de Toda admitem uma representação de suas equações de movimento em termos da curvatura nula, isto é, existem potenciais que são funcionais dos campos da teoria e pertencem a uma álgebra de Kac-Moody tal que a condição de curvatura nula seja equivalente às equações de movimento. Para a construção das soluções solitônicas e cargas conservadas são necessários a gradação inteira da álgebra de Kac-Moody e a existência de soluções de vácuo, de forma que os potenciais assumam valores em uma subálgebra abeliana quando calculados nestas soluções de vácuo. A gradação da álgebra é de extrema importância pois garante que o potencial transformado tenha a mesma estrutura que o potencial de vácuo. As cargas conservadas são então construídas partindo de soluções da órbita do vácuo por meio de transformações de dressing, que consistem na aplicação da decomposição de Gauss para a produção de um potencial transformado a partir de duas transformações de Gauge. Nesta dissertação calculamos as infinitas cargas conservadas dos modelos de Toda sl(3) e também sl(N), avaliadas nas soluções pertencentes à órbita do vácuo sob transformações de dressing. As soluções de interesse físico, como sólitons e breathers pertencem a esta órbita, e as cargas conservadas para tais soluções são escritas como uma soma sobre os sólitons. Mostramos que a energia e o momento proveem de termos de superfície. / The Toda models admit a zero curvature representation of their equations of motion, i.e. there exist potentials, (A), wich are functionals of the fields of the theory and which belong to a Kac-Moody algebra G such that the zero curvature condition is equivalent to the equations of motion. For the construction of the solitons solutions and conserved charges is required an integer gradation of the Kac-Moody algebra and a ``vacuum solution\'\', such that the potentials evaluated on it belong to an abelian subalgebra. The gradation of the algebra is of extreme importance since it guarantees that the transformed potential have the same structure as the vacuum potential. The conserved charges are then constructed using the dressing method, that through the Gauss decomposition, leads to the transformed potentials by two gauge transformations. In this dissertation we calculate the infinite conserved charges of models Toda sl (3) and also sl (N) evaluated on the solutions belonging to the orbit of the vacuum under dressing transformations. The solutions of physical interest, like solitons and breathers belong to this orbit and the conserved charges for such solutions are written as a sum over the number the solitons. We show that the energy and momentum are boundary terms.

Uma generalização dos modelos de Toda bidimensionais pela inclusão de campos de Dirac é estudada através de métodos algébricos que possibilitam a construção de cargas e soluções para o modelo. Após desenvolver o formalismo matemático necessário, as cargas conservadas do modelo em questão são determinadas para soluções sóliton, a partir da órbita do vácuo. Uma comparação direta com o modelo de sine-Gordon revela que o mesmo processo de interação entre os sólitons ocorre em ambas as teorias, indicando a possibilidade deste modelo ser utilizado para analisar a equivalência entre esse modelo e os de sine-Gordon e Thirring. / A generalization of two dimensional Toda models by the inclusion of Dirac fields is studied through algebraic methods that allow the construction of charges and solutions. After developing the necessary mathematical formalism, the conserved charges of such model are determined forsoliton solutions belonging to the orbits of the vacuum. A direct comparison between Toda model coupled to matter fields and sine-Gordon model shows that the same interaction process among solitons occurs in both theories, indicating the possibility of this model to be used to analyze the equivalence between sine-Gordon and Thirring models.