In this dissertation, we exhibit two instances of polyhedra in combinatorial convex geometry. The first instance arises in the context of Ehrhart theory, and the polyhedra are the central objects of study. The second instance arises in algebraic statistics, and the polyhedra act as a conduit through which we study a nonpolyhedral problem. In the first case, we examine combinatorial and algebraic properties of the Ehrhart h*-polynomial of the r-stable (n,k)-hypersimplices. These are a family of polytopes which form a nested chain of subpolytopes within the (n,k)-hypersimplex. We show that a well-studied unimodular triangulation of the (n,k)-hypersimplex restricts to a triangulation of each r-stable (n,k)-hypersimplex within. We then use this triangulation to compute the facet-defining inequalities of these polytopes. In the k=2 case, we use shelling techniques to devise a combinatorial interpretation of the coefficients of the h*-polynomials in terms of independent sets of certain graphs. From this, we then extract some results on unimodality. We also characterize the Gorenstein r-stable (n,k)-hypersimplices, and we conclude that these also have unimodal h*-polynomials. In the second case, for a graph G on p vertices we consider the closure of the cone of concentration matrices of G. The extreme rays of this cone, and their associated ranks, have applications in maximum likelihood estimation for the undirected Gaussian graphical model associated to G. Consequently, the extreme ranks of this cone have been well-studied. Yet, there are few graph classes for which all the possible extreme ranks are known. We show that the facet-normals of the cut polytope of G can serve to identify extreme rays of this nonpolyhedral cone. We see that for graphs without K5 minors each facet-normal of the cut polytope identifies an extreme ray in the cone, and we determine the rank of this extreme ray. When the graph is also series-parallel, we find that all possible extreme ranks arise in this fashion, thereby extending the collection of graph classes for which all the possible extreme ranks are known.

Une classe de graphes est close par mineurs si, pour tout graphe dans la classe et tout mineur de ce graphe, le mineur est ́egalement dans la classe. Par un fameux th ́eor`eme de Robertson et Seymour, nous savons que car- act ́eriser une telle classe peut ˆetre fait `a l’aide d’un nombre fini de mineurs exclus minimaux. Ceux-ci sont des graphes qui n’appartiennent pas `a la classe et qui sont minimaux dans le sens des mineurs pour cette propri ́et ́e.Dans cette thèse, nous étudions trois problèmes à propos de classes de graphes closes par mineurs. Les deux premiers sont reliés à la caractérisation de certaines classes de graphes, alors que le troisième étudie une relation de “packing-covering” dans des graphes excluant un mineur.Pour le premier problème, nous étudions des plongements isométriques de graphes dont les arêtes sont pondérées dans des espaces métriques. Principalement, nous nous intêressons aux espaces ell_2 et ell_∞. E ́tant donné un graphe pondéré, un plongement isométrique associe à chaque sommet du graphe un vecteur dans l’autre espace de sorte que pour chaque arête du graphe le poids de celle-ci est égal à la distance entre les vecteurs correspondant à ses sommets. Nous disons qu’une fonction de poids sur les arêtes est une fonction de distances réalisable s’il existe un tel plongement. Le paramètre f_p(G) détermine la dimension k minimale d’un espace ell_p telle que toute fonction de distances réalisable de G peut être plongée dans ell_p^k. Ce paramètre est monotone dans le sens des mineurs. Nous caractérisons les graphes tels que f_p(G) a une grande valeur en termes de mineurs inévitables pour p = 2 et p = ∞. Une famille de graphes donne des mineurs inévitables pour un invariant monotone pour les mineurs, si ces graphes “expliquent” pourquoi l’invariant est grand.Le deuxième problème étudie les mineurs exclus minimaux pour la classe de graphes avec φ(G) borné par une constante k, où φ(G) est un paramètre lié au dominant des coupes d’un graphe G. Ce polyèdre contient tous les points qui, composante par composante, sont plus grands ou égaux à une combination convexe des vecteurs d’incidence de coupes dans G. Le paramètre φ(G) est égal au membre de droite maximum d’une description linéaire du dominant des coupes de G en forme entière minimale. Nous étudions les mineurs exclus minimaux pour la propriété φ(G) <= 4 et montrons une nouvelle borne sur φ(G) en termes du “vertex cover number”.Le dernier problème est d’un autre type. Nous étudions une relation de “packing-covering” dans les classes de graphes excluant un mineur. Étant donné un graphe G, une boule de centre v et de rayon r est l’ensemble de tous les sommets de G qui sont à distance au plus r de v. Pour un graphe G et une collection de boules donnés nous pouvons définir un hypergraphe H dont les sommets sont ceux de G et les arêtes correspondent aux boules de la collection. Il est bien connu que dans l’hypergraphe H, le “transversal number” τ(H) vaut au moins le “packing number” ν(H). Nous montrons une borne supérieure sur ν(H) qui est linéaire en τ(H), résolvant ainsi un problème ouvert de Chepoi, Estellon et Vaxès. / A class of graphs is closed under taking minors if for each graph in the class and each minor of this graph, the minor is also in the class. By a famous result of Robertson and Seymour, we know that characterizing such a class can be done by identifying a finite set of minimal excluded minors, that is, graphs which do not belong to the class and are minor-minimal for this property.In this thesis, we study three problems in minor-closed classes of graphs. The first two are related to the characterization of some graph classes, while the third one studies a packing-covering relation for graphs excluding a minor.In the first problem, we study isometric embeddings of edge-weighted graphs into metric spaces. In particular, we consider ell_2- and ell_∞-spaces. Given a weighted graph, an isometric embedding maps the vertices of this graph to vectors such that for each edge of the graph the weight of the edge equals the distance between the vectors representing its ends. We say that a weight function on the edges of the graph is a realizable distance function if such an embedding exists. The minor-monotone parameter f_p(G) determines the minimum dimension k of an ell_p-space such that any realizable distance function of G is realizable in ell_p^k. We characterize graphs with large f_p(G) value in terms of unavoidable minors for p = 2 and p = ∞. Roughly speaking, a family of graphs gives unavoidable minors for a minor-monotone parameter if these graphs “explain” why the parameter is high.The second problem studies the minimal excluded minors of the class of graphs such that φ(G) is bounded by some constant k, where φ(G) is a parameter related to the cut dominant of a graph G. This unbounded polyhedron contains all points that are componentwise larger than or equal to a convex combination of incidence vectors of cuts in G. The parameter φ(G) is equal to the maximum right-hand side of a facet-defining inequality of the cut dominant of G in minimum integer form. We study minimal excluded graphs for the property φ(G) <= 4 and provide also a new bound of φ(G) in terms of the vertex cover number.The last problem has a different flavor as it studies a packing-covering relation in classes of graphs excluding a minor. Given a graph G, a ball of center v and radius r is the set of all vertices in G that are at distance at most r from v. Given a graph and a collection of balls, we can define a hypergraph H such that its vertices are the vertices of G and its edges correspond to the balls in the collection. It is well-known that, in the hypergraph H, the transversal number τ(H) is at least the packing number ν(H). We show that we can bound τ(H) from above by a linear function of ν(H) for every graphs G and ball collections H if the graph G excludes a minor, solving an open problem by Chepoi, Estellon et Vaxès. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished